第3章 粒子・積層複合材料

3.1 粒子強化複合材料の基礎

3.1.1 粒子強化の分類

粒子強化複合材料は、母材中に粒子状の強化材を分散させた材料です。 強化メカニズムにより以下に分類されます：

3.1.2 MMC (Metal Matrix Composites)

金属を母材とする複合材料で、軽量・高強度・高耐熱性が特徴です。

3.1.3 CMC (Ceramic Matrix Composites)

セラミックス母材に繊維や粒子を複合化し、脆性を改善した材料です。

3.2 粒子強化の力学モデル

3.2.1 弾性率の予測

球状粒子による強化では、Hashin-Shtrikman の上限・下限モデルが よく用いられます。等方性材料の場合：

体積弾性率 (Bulk modulus)

せん断弾性率 (Shear modulus)

ヤング率とポアソン比は以下から計算：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def hashin_shtrikman_moduli(K_m, G_m, K_p, G_p, V_p):
    """
    Hashin-Shtrikman モデルによる複合材料の弾性率計算

    Parameters:
    -----------
    K_m, G_m : float
        母材の体積弾性率、せん断弾性率 [GPa]
    K_p, G_p : float
        粒子の体積弾性率、せん断弾性率 [GPa]
    V_p : float or array
        粒子体積分率

    Returns:
    --------
    E_c, nu_c : float or array
        複合材料のヤング率、ポアソン比
    """
    # 体積弾性率
    K_c = K_m + V_p / (1/(K_p - K_m) + 3*(1 - V_p)/(3*K_m + 4*G_m))

    # せん断弾性率
    G_c = G_m + V_p / (1/(G_p - G_m) + 6*(K_m + 2*G_m)*(1 - V_p)/(5*G_m*(3*K_m + 4*G_m)))

    # ヤング率とポアソン比
    E_c = 9 * K_c * G_c / (3 * K_c + G_c)
    nu_c = (3 * K_c - 2 * G_c) / (2 * (3 * K_c + G_c))

    return E_c, nu_c

def E_nu_to_K_G(E, nu):
    """ヤング率・ポアソン比から体積・せん断弾性率への変換"""
    K = E / (3 * (1 - 2 * nu))
    G = E / (2 * (1 + nu))
    return K, G

# Al合金母材の特性
E_m = 70.0   # GPa
nu_m = 0.33
K_m, G_m = E_nu_to_K_G(E_m, nu_m)

# SiC粒子の特性
E_p = 450.0  # GPa
nu_p = 0.17
K_p, G_p = E_nu_to_K_G(E_p, nu_p)

# 体積分率範囲
V_p_range = np.linspace(0, 0.5, 100)

# 弾性率計算
E_c, nu_c = hashin_shtrikman_moduli(K_m, G_m, K_p, G_p, V_p_range)

# 混合則(上限・下限)との比較
E_voigt = E_m * (1 - V_p_range) + E_p * V_p_range  # 上限
E_reuss = 1 / ((1 - V_p_range)/E_m + V_p_range/E_p)  # 下限

# 可視化
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# ヤング率
ax1.plot(V_p_range, E_c, 'b-', linewidth=2, label='Hashin-Shtrikman')
ax1.plot(V_p_range, E_voigt, 'r--', linewidth=1.5, label='Voigt (上限)')
ax1.plot(V_p_range, E_reuss, 'g--', linewidth=1.5, label='Reuss (下限)')
ax1.fill_between(V_p_range, E_reuss, E_voigt, alpha=0.2, color='gray',
                  label='混合則の範囲')
ax1.set_xlabel('SiC 体積分率')
ax1.set_ylabel('ヤング率 [GPa]')
ax1.set_title('SiC/Al 複合材料のヤング率')
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax1.legend()

# ポアソン比
ax2.plot(V_p_range, nu_c, 'b-', linewidth=2, label='Hashin-Shtrikman')
ax2.axhline(y=nu_m, color='r', linestyle='--', label=f'Al母材 ({nu_m:.2f})')
ax2.axhline(y=nu_p, color='g', linestyle='--', label=f'SiC粒子 ({nu_p:.2f})')
ax2.set_xlabel('SiC 体積分率')
ax2.set_ylabel('ポアソン比')
ax2.set_title('SiC/Al 複合材料のポアソン比')
ax2.grid(True, alpha=0.3)
ax2.legend()

plt.tight_layout()
plt.savefig('particle_composite_modulus.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.close()

# 実用的な粒子分率での値
V_p_practical = np.array([0.10, 0.15, 0.20, 0.25, 0.30])
E_c_practical, nu_c_practical = hashin_shtrikman_moduli(K_m, G_m, K_p, G_p, V_p_practical)

print("SiC/Al 複合材料の弾性特性:")
print("="*60)
print(f"{'V_p':>6} {'E_c [GPa]':>12} {'増加率[%]':>12} {'ポアソン比':>12}")
print("-"*60)
for vp, ec, nuc in zip(V_p_practical, E_c_practical, nu_c_practical):
    increase = (ec / E_m - 1) * 100
    print(f"{vp:6.2f} {ec:12.1f} {increase:12.1f} {nuc:12.3f}")

3.2.2 強度の予測

粒子強化複合材料の強度は、以下の因子の複合効果で決まります：

• 荷重分担効果: 粒子が荷重を負担
• 転位強化: 粒子周辺の転位密度増加
• Orowanメカニズム: 転位が粒子をバイパス
• 熱膨張差: 冷却時の残留応力

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def particle_strengthening(sigma_m, V_p, d_p, b, G_m):
    """
    粒子強化複合材料の降伏強度予測

    Parameters:
    -----------
    sigma_m : float
        母材の降伏強度 [MPa]
    V_p : float
        粒子体積分率
    d_p : float
        粒子直径 [μm]
    b : float
        バーガースベクトル [nm]
    G_m : float
        母材のせん断弾性率 [GPa]

    Returns:
    --------
    sigma_c : float
        複合材料の降伏強度 [MPa]
    """
    # 荷重分担項(簡易モデル)
    sigma_load = sigma_m * (1 + 0.5 * V_p)

    # Orowan 強化項
    # 粒子間距離の推定
    lambda_p = d_p * (np.sqrt(np.pi / (4 * V_p)) - 1)  # [μm]

    # Orowan 応力 [MPa]
    G_m_MPa = G_m * 1000  # GPa → MPa
    b_m = b * 1e-9  # nm → m
    lambda_p_m = lambda_p * 1e-6  # μm → m

    sigma_orowan = 0.4 * G_m_MPa * b_m / lambda_p_m / 1e6  # MPa

    # 総強度(簡易的な加算則)
    sigma_c = sigma_load + sigma_orowan

    return sigma_c

# Al合金母材
sigma_m = 100  # MPa (焼鈍材)
b = 0.286      # nm (Alのバーガースベクトル)
G_m = 26       # GPa

# SiC粒子サイズの影響
d_p_range = np.logspace(-1, 1.5, 50)  # 0.1-30 μm
V_p_values = [0.10, 0.15, 0.20, 0.25]

plt.figure(figsize=(10, 6))

for V_p in V_p_values:
    sigma_c = []
    for d_p in d_p_range:
        s_c = particle_strengthening(sigma_m, V_p, d_p, b, G_m)
        sigma_c.append(s_c)

    plt.plot(d_p_range, sigma_c, linewidth=2, label=f'V_p = {V_p:.2f}')

plt.xscale('log')
plt.xlabel('粒子直径 [μm]')
plt.ylabel('複合材料の降伏強度 [MPa]')
plt.title('粒子サイズと降伏強度の関係 (SiC/Al)')
plt.grid(True, alpha=0.3, which='both')
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.savefig('particle_size_strengthening.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.close()

# 最適粒子サイズの検討
V_p_opt = 0.20
d_p_test = np.array([0.5, 1.0, 2.0, 5.0, 10.0])

print("粒子サイズと強化効果:")
print("="*60)
print(f"{'粒子直径 [μm]':>15} {'降伏強度 [MPa]':>18} {'強化率 [%]':>15}")
print("-"*60)

for d_p in d_p_test:
    sigma_c = particle_strengthening(sigma_m, V_p_opt, d_p, b, G_m)
    strengthening = (sigma_c / sigma_m - 1) * 100
    print(f"{d_p:15.1f} {sigma_c:18.1f} {strengthening:15.1f}")

3.3 Orowan メカニズム

3.3.1 転位と粒子の相互作用

Orowanメカニズムは、転位が粒子を切断できない場合に、 粒子間をバイパス(迂回)することで生じる強化機構です。

ここで、\(G\): せん断弾性率、\(b\): バーガースベクトル、\(\lambda\): 粒子間距離

粒子間距離は、粒子サイズと体積分率から推定できます：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

def orowan_stress(d_p, V_p, G_m, b):
    """
    Orowan 応力の計算

    Parameters:
    -----------
    d_p : float
        粒子直径 [μm]
    V_p : float
        粒子体積分率
    G_m : float
        母材せん断弾性率 [GPa]
    b : float
        バーガースベクトル [nm]

    Returns:
    --------
    sigma_orowan : float
        Orowan 応力 [MPa]
    """
    # 粒子間距離 [m]
    lambda_p = d_p * 1e-6 * (np.sqrt(np.pi / (4 * V_p)) - 1)

    # 粒子間距離が正の場合のみ計算
    if lambda_p <= 0:
        return 0

    # Orowan 応力 [MPa]
    G_m_Pa = G_m * 1e9  # GPa → Pa
    b_m = b * 1e-9      # nm → m

    sigma_orowan = 0.4 * G_m_Pa * b_m / lambda_p / 1e6  # MPa

    return sigma_orowan

def ductility_reduction_factor(V_p):
    """
    延性低下係数の推定(経験的モデル)

    V_p が大きいほど延性は低下する
    """
    return np.exp(-3 * V_p)

# Al合金パラメータ
G_m = 26  # GPa
b = 0.286  # nm

# パラメータ範囲
d_p_range = np.logspace(-1, 1.2, 40)  # 0.1-16 μm
V_p_range = np.linspace(0.05, 0.40, 40)

# メッシュグリッド作成
D_p, V_p_grid = np.meshgrid(d_p_range, V_p_range)

# Orowan 応力の計算
sigma_orowan_grid = np.zeros_like(D_p)
performance_index = np.zeros_like(D_p)

for i in range(len(V_p_range)):
    for j in range(len(d_p_range)):
        sigma_o = orowan_stress(D_p[i,j], V_p_grid[i,j], G_m, b)
        sigma_orowan_grid[i,j] = sigma_o

        # 性能指数: 強度 × 延性係数
        ductility = ductility_reduction_factor(V_p_grid[i,j])
        performance_index[i,j] = sigma_o * ductility

# 3D プロット
fig = plt.figure(figsize=(16, 6))

# Orowan 応力
ax1 = fig.add_subplot(131, projection='3d')
surf1 = ax1.plot_surface(np.log10(D_p), V_p_grid, sigma_orowan_grid,
                          cmap='viridis', alpha=0.8)
ax1.set_xlabel('log₁₀(粒子直径) [μm]')
ax1.set_ylabel('体積分率')
ax1.set_zlabel('Orowan応力 [MPa]')
ax1.set_title('Orowan 強化効果')
fig.colorbar(surf1, ax=ax1, shrink=0.5)

# 性能指数
ax2 = fig.add_subplot(132, projection='3d')
surf2 = ax2.plot_surface(np.log10(D_p), V_p_grid, performance_index,
                          cmap='plasma', alpha=0.8)
ax2.set_xlabel('log₁₀(粒子直径) [μm]')
ax2.set_ylabel('体積分率')
ax2.set_zlabel('性能指数 [強度×延性]')
ax2.set_title('総合性能指数')
fig.colorbar(surf2, ax=ax2, shrink=0.5)

# 等高線プロット
ax3 = fig.add_subplot(133)
contour = ax3.contourf(np.log10(D_p), V_p_grid, performance_index,
                        levels=20, cmap='plasma')
ax3.set_xlabel('log₁₀(粒子直径) [μm]')
ax3.set_ylabel('体積分率')
ax3.set_title('性能指数の等高線')
fig.colorbar(contour, ax=ax3)

# 最適点を探す
max_idx = np.unravel_index(np.argmax(performance_index), performance_index.shape)
d_p_opt = D_p[max_idx]
V_p_opt = V_p_grid[max_idx]
sigma_opt = sigma_orowan_grid[max_idx]

ax3.plot(np.log10(d_p_opt), V_p_opt, 'r*', markersize=15,
         label=f'最適点: d_p={d_p_opt:.2f} μm, V_p={V_p_opt:.2f}')
ax3.legend()

plt.tight_layout()
plt.savefig('orowan_optimization.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.close()

print("Orowan 強化の最適設計:")
print("="*60)
print(f"最適粒子直径: {d_p_opt:.2f} μm")
print(f"最適体積分率: {V_p_opt:.2f}")
print(f"Orowan 応力: {sigma_opt:.1f} MPa")
print(f"粒子間距離: {d_p_opt * (np.sqrt(np.pi/(4*V_p_opt)) - 1):.2f} μm")

3.4 積層複合材料

3.4.1 積層材の種類と特徴

異なる材料を層状に積層することで、各層の特性を活かした複合材料を設計できます。

3.4.2 積層材の熱応力

熱膨張係数が異なる材料を積層すると、温度変化により界面に応力が発生します。

ここで、\(E_i\): 各層の弾性率、\(\alpha_i\): 熱膨張係数、\(t_i\): 層厚さ、\(\Delta T\): 温度変化

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def thermal_stress_bilayer(E1, E2, alpha1, alpha2, t1, t2, delta_T):
    """
    二層積層材の熱応力計算

    Parameters:
    -----------
    E1, E2 : float
        各層のヤング率 [GPa]
    alpha1, alpha2 : float
        各層の熱膨張係数 [/°C]
    t1, t2 : float
        各層の厚さ [mm]
    delta_T : float
        温度変化 [°C]

    Returns:
    --------
    sigma1, sigma2 : float
        各層の熱応力 [MPa]
    """
    # 熱応力(簡易モデル)
    E1_GPa = E1 * 1000  # GPa → MPa
    E2_GPa = E2 * 1000

    sigma_thermal = (E1_GPa * E2_GPa * (alpha1 - alpha2) * delta_T /
                     (E1_GPa * t2 + E2_GPa * t1))

    # 層1は圧縮、層2は引張(α1 > α2 の場合)
    sigma1 = -sigma_thermal * t2 / t1
    sigma2 = sigma_thermal

    return sigma1, sigma2

# Al/Ti 積層材
E_Al = 70   # GPa
E_Ti = 110  # GPa
alpha_Al = 23e-6  # /°C
alpha_Ti = 9e-6   # /°C

# 層厚さ比を変えた場合
t_total = 10  # mm (総厚さ)
t1_ratio = np.linspace(0.1, 0.9, 50)
t1 = t1_ratio * t_total
t2 = (1 - t1_ratio) * t_total

delta_T = -155  # °C (180°C → 25°C)

sigma_Al = []
sigma_Ti = []

for t1_val, t2_val in zip(t1, t2):
    s_Al, s_Ti = thermal_stress_bilayer(E_Al, E_Ti, alpha_Al, alpha_Ti,
                                         t1_val, t2_val, delta_T)
    sigma_Al.append(s_Al)
    sigma_Ti.append(s_Ti)

sigma_Al = np.array(sigma_Al)
sigma_Ti = np.array(sigma_Ti)

# 可視化
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# 熱応力
ax1.plot(t1_ratio, sigma_Al, 'b-', linewidth=2, label='Al層応力')
ax1.plot(t1_ratio, sigma_Ti, 'r-', linewidth=2, label='Ti層応力')
ax1.axhline(y=0, color='k', linestyle='--', linewidth=0.5)
ax1.set_xlabel('Al層厚さ比 (t_Al / t_total)')
ax1.set_ylabel('熱応力 [MPa]')
ax1.set_title(f'Al/Ti 積層材の熱応力 (ΔT = {delta_T}°C)')
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax1.legend()

# 降伏強度との比較
sigma_y_Al = 100  # MPa (焼鈍Al)
sigma_y_Ti = 350  # MPa (純Ti)

# 安全率
SF_Al = np.abs(sigma_y_Al / sigma_Al)
SF_Ti = np.abs(sigma_y_Ti / sigma_Ti)
SF_min = np.minimum(SF_Al, SF_Ti)

ax2.plot(t1_ratio, SF_Al, 'b-', linewidth=2, label='Al層安全率')
ax2.plot(t1_ratio, SF_Ti, 'r-', linewidth=2, label='Ti層安全率')
ax2.plot(t1_ratio, SF_min, 'k--', linewidth=2, label='最小安全率')
ax2.axhline(y=1.0, color='g', linestyle=':', linewidth=1.5, label='安全限界')
ax2.set_xlabel('Al層厚さ比 (t_Al / t_total)')
ax2.set_ylabel('安全率')
ax2.set_title('各層の安全率')
ax2.set_ylim([0, 10])
ax2.grid(True, alpha=0.3)
ax2.legend()

plt.tight_layout()
plt.savefig('laminate_thermal_stress.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.close()

# 最適厚さ比(安全率最大)
opt_idx = np.argmax(SF_min)
t1_opt_ratio = t1_ratio[opt_idx]

print("Al/Ti 積層材の熱応力解析:")
print("="*60)
print(f"温度変化: {delta_T}°C")
print(f"最適Al層厚さ比: {t1_opt_ratio:.2f}")
print(f"最小安全率: {SF_min[opt_idx]:.2f}")
print(f"\n厚さ比 {t1_opt_ratio:.2f} での応力:")
print(f"  Al層応力: {sigma_Al[opt_idx]:.1f} MPa")
print(f"  Ti層応力: {sigma_Ti[opt_idx]:.1f} MPa")

3.4.3 傾斜機能材料 (FGM)

組成を連続的に変化させることで、熱応力を緩和した材料です。 代表例: ZrO₂(セラミック) → Ni(金属) の傾斜材料

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def fgm_property_profile(z, n, prop_ceramic, prop_metal):
    """
    べき乗則に基づくFGMの特性分布

    Parameters:
    -----------
    z : array
        厚さ方向座標(0: セラミック側、1: 金属側)
    n : float
        傾斜指数(n=1: 線形、n>1: セラミック側に偏在)
    prop_ceramic, prop_metal : float
        セラミックと金属の特性値

    Returns:
    --------
    prop : array
        位置 z での特性値
    """
    V_metal = z**n
    prop = prop_ceramic * (1 - V_metal) + prop_metal * V_metal
    return prop

# ZrO2/Ni FGM
E_ZrO2 = 200   # GPa
E_Ni = 210     # GPa
alpha_ZrO2 = 10e-6   # /°C
alpha_Ni = 13e-6     # /°C

# 厚さ方向座標
z = np.linspace(0, 1, 100)

# 傾斜指数の影響
n_values = [0.5, 1.0, 2.0, 5.0]

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

for n in n_values:
    E_profile = fgm_property_profile(z, n, E_ZrO2, E_Ni)
    alpha_profile = fgm_property_profile(z, n, alpha_ZrO2, alpha_Ni)

    ax1.plot(z, E_profile, linewidth=2, label=f'n = {n}')
    ax2.plot(z, alpha_profile * 1e6, linewidth=2, label=f'n = {n}')

ax1.set_xlabel('厚さ方向座標 z (0: ZrO₂, 1: Ni)')
ax1.set_ylabel('ヤング率 [GPa]')
ax1.set_title('FGM のヤング率分布')
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax1.legend()

ax2.set_xlabel('厚さ方向座標 z (0: ZrO₂, 1: Ni)')
ax2.set_ylabel('熱膨張係数 [×10⁻⁶ /°C]')
ax2.set_title('FGM の熱膨張係数分布')
ax2.grid(True, alpha=0.3)
ax2.legend()

plt.tight_layout()
plt.savefig('fgm_property_profile.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.close()

print("傾斜機能材料(FGM)の特性分布:")
print("="*60)
print(f"{'傾斜指数 n':>12} {'中央部 E [GPa]':>18} {'中央部 α [10⁻⁶/°C]':>25}")
print("-"*60)

for n in n_values:
    E_mid = fgm_property_profile(0.5, n, E_ZrO2, E_Ni)
    alpha_mid = fgm_property_profile(0.5, n, alpha_ZrO2, alpha_Ni)
    print(f"{n:12.1f} {E_mid:18.1f} {alpha_mid*1e6:25.2f}")

3.5 まとめ

本章では、粒子強化と積層複合材料について学びました：

• 粒子強化複合材料の分類(分散強化、粒子強化、充填材)
• MMC/CMC の種類と製造法
• Hashin-Shtrikman モデルによる弾性率予測
• Orowan メカニズムと最適粒子設計
• 積層材の熱応力と傾斜機能材料(FGM)

次章では、複合材料の機械的評価法(引張試験、曲げ試験、衝撃試験)と 非破壊検査(超音波、X線CT、サーモグラフィ)について学びます。

演習問題

参考文献

1. Chawla, N. and Chawla, K. K., "Metal Matrix Composites", 2nd ed., Springer, 2013, pp. 89-156, 234-278
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