第1章複合材料の基礎

学習目標

基礎レベル: 複合材料の定義と分類を理解し、基本的な混合則を計算できる
応用レベル: Halpin-Tsai理論を適用し、繊維配向の影響を定量的に評価できる
発展レベル: 界面強度と機械的特性の関係を解析し、材料設計に応用できる

1.1 複合材料とは

1.1.1 複合材料の定義

複合材料(Composite Materials)は、2種類以上の材料を巨視的に組み合わせることで、単一材料では得られない優れた特性を実現する材料です。主に以下の要素から構成されます：

強化材(Reinforcement): 高い強度・剛性を担う成分(繊維、粒子など)
母材(Matrix): 強化材を保持し、荷重を伝達する成分(樹脂、金属、セラミックス)
界面(Interface): 強化材と母材の境界領域(特性発現の鍵)

flowchart TD A[複合材料の分類] --> B[強化材形態] A --> C[母材種類] B --> D[繊維強化
CFRP, GFRP] B --> E[粒子強化
MMC, CMC] B --> F[積層材
Laminate] C --> G[樹脂基
PMC] C --> H[金属基
MMC] C --> I[セラミック基
CMC] style A fill:#e1f5ff style D fill:#ffe1e1 style E fill:#ffe1e1 style F fill:#ffe1e1 style G fill:#e1ffe1 style H fill:#e1ffe1 style I fill:#e1ffe1

1.1.2 複合材料の利点

複合材料が広く用いられる理由は以下の特性にあります：

特性	説明	代表例
高比強度・比剛性	密度あたりの強度・剛性が高い	航空機構造材(CFRP)
異方性制御	方向により特性を設計可能	積層板の配向設計
複合特性	電気・熱・機械特性の複合化	導電性複合材料
成形自由度	複雑形状の一体成形が可能	RTM成形品

1.2 混合則(Rule of Mixtures)

1.2.1 基本的な混合則

複合材料の特性は、構成材料の特性と体積分率から予測できます。最も単純なモデルが混合則(ROM)です。

弾性率の混合則(Voigt モデル)

繊維方向(縦方向)の弾性率 $E_L$ は、等ひずみ仮定により：

$$E_L = E_f V_f + E_m V_m = E_f V_f + E_m (1 - V_f)$$

ここで、$E_f$: 繊維の弾性率、$E_m$: 母材の弾性率、$V_f$: 繊維体積分率

横方向弾性率(Reuss モデル)

繊維に垂直な方向(横方向)の弾性率 $E_T$ は、等応力仮定により：

$$\frac{1}{E_T} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{V_m}{E_m}$$

例題 1.1: CFRP の弾性率計算

炭素繊維(E_f = 230 GPa)とエポキシ樹脂(E_m = 3.5 GPa)からなる一方向CFRPの縦弾性率と横弾性率を計算せよ。繊維体積分率 V_f = 0.60 とする。

import numpy as np

# 材料特性
E_f = 230  # 炭素繊維の弾性率 [GPa]
E_m = 3.5  # エポキシの弾性率 [GPa]
V_f = 0.60  # 繊維体積分率

# 縦弾性率(Voigt モデル)
E_L = E_f * V_f + E_m * (1 - V_f)

# 横弾性率(Reuss モデル)
E_T = 1 / (V_f / E_f + (1 - V_f) / E_m)

print(f"縦弾性率 E_L: {E_L:.1f} GPa")
print(f"横弾性率 E_T: {E_T:.2f} GPa")
print(f"異方性比 E_L/E_T: {E_L/E_T:.1f}")

# 出力:
# 縦弾性率 E_L: 139.4 GPa
# 横弾性率 E_T: 7.29 GPa
# 異方性比 E_L/E_T: 19.1

1.2.2 強度の混合則

引張強度についても同様の関係が成り立ちますが、破壊メカニズムにより修正が必要です：

$$\sigma_c = \sigma_f V_f + \sigma_m' (1 - V_f)$$

ここで、$\sigma_m'$ は繊維破断時のひずみにおける母材の応力です。これは、繊維と母材が同時に破断するわけではないことを考慮しています。

例題 1.2: 複合材料の引張強度予測

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 材料特性
sigma_f = 3500  # 繊維引張強度 [MPa]
sigma_m = 80    # 母材引張強度 [MPa]
epsilon_f = 0.015  # 繊維破断ひずみ
E_m = 3500     # 母材弾性率 [MPa]

# 繊維破断時の母材応力
sigma_m_prime = min(E_m * epsilon_f, sigma_m)

# 体積分率に対する強度変化
V_f_range = np.linspace(0, 0.8, 100)
sigma_c = sigma_f * V_f_range + sigma_m_prime * (1 - V_f_range)

# 可視化
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.plot(V_f_range, sigma_c, 'b-', linewidth=2, label='複合材料強度')
plt.axhline(y=sigma_m, color='r', linestyle='--', label='母材強度')
plt.xlabel('繊維体積分率 V_f')
plt.ylabel('引張強度 [MPa]')
plt.title('繊維体積分率と複合材料強度の関係')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.savefig('composite_strength_rom.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.close()

print(f"繊維破断時の母材応力: {sigma_m_prime:.1f} MPa")
print(f"V_f=0.6 での複合材料強度: {sigma_f*0.6 + sigma_m_prime*0.4:.0f} MPa")

1.3 Halpin-Tsai 理論

1.3.1 理論の概要

Halpin-Tsai理論は、繊維の形状因子(アスペクト比)を考慮したより精度の高い弾性率予測モデルです。特に横方向弾性率の予測精度が向上します。

$$E_c = E_m \frac{1 + \zeta \eta V_f}{1 - \eta V_f}$$

ここで、

$$\eta = \frac{(E_f / E_m) - 1}{(E_f / E_m) + \zeta}$$

$\zeta$ は形状因子で、繊維のアスペクト比(長さ/直径)と配向に依存します：

縦方向: $\zeta = 2(l/d)$ (繊維長さ/直径)
横方向: $\zeta = 2$ (円形断面繊維の場合)

例題 1.3: Halpin-Tsai モデルによる弾性率計算

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def halpin_tsai_modulus(E_f, E_m, V_f, zeta):
    """
    Halpin-Tsai理論による複合材料弾性率の計算

    Parameters:
    -----------
    E_f : float
        繊維弾性率 [GPa]
    E_m : float
        母材弾性率 [GPa]
    V_f : float or array
        繊維体積分率
    zeta : float
        形状因子

    Returns:
    --------
    E_c : float or array
        複合材料弾性率 [GPa]
    """
    eta = (E_f / E_m - 1) / (E_f / E_m + zeta)
    E_c = E_m * (1 + zeta * eta * V_f) / (1 - eta * V_f)
    return E_c

# 材料特性
E_f = 230  # 炭素繊維 [GPa]
E_m = 3.5  # エポキシ [GPa]

# 体積分率範囲
V_f_range = np.linspace(0, 0.7, 100)

# 各方向の弾性率計算
# 縦方向(混合則でも十分精度が高い)
E_L_rom = E_f * V_f_range + E_m * (1 - V_f_range)

# 横方向(Halpin-Tsai)
zeta_T = 2  # 横方向の形状因子
E_T_ht = halpin_tsai_modulus(E_f, E_m, V_f_range, zeta_T)

# 横方向(Reuss モデルと比較)
E_T_reuss = 1 / (V_f_range / E_f + (1 - V_f_range) / E_m)

# 可視化
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# 縦弾性率
ax1.plot(V_f_range, E_L_rom, 'b-', linewidth=2, label='混合則(Voigt)')
ax1.set_xlabel('繊維体積分率 V_f')
ax1.set_ylabel('縦弾性率 E_L [GPa]')
ax1.set_title('縦方向弾性率')
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax1.legend()

# 横弾性率
ax2.plot(V_f_range, E_T_ht, 'r-', linewidth=2, label='Halpin-Tsai')
ax2.plot(V_f_range, E_T_reuss, 'g--', linewidth=2, label='混合則(Reuss)')
ax2.set_xlabel('繊維体積分率 V_f')
ax2.set_ylabel('横弾性率 E_T [GPa]')
ax2.set_title('横方向弾性率の比較')
ax2.grid(True, alpha=0.3)
ax2.legend()

plt.tight_layout()
plt.savefig('halpin_tsai_comparison.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.close()

# V_f = 0.6 での値を出力
V_f_test = 0.6
E_L = E_f * V_f_test + E_m * (1 - V_f_test)
E_T_ht_val = halpin_tsai_modulus(E_f, E_m, V_f_test, zeta_T)
E_T_reuss_val = 1 / (V_f_test / E_f + (1 - V_f_test) / E_m)

print(f"V_f = {V_f_test}")
print(f"縦弾性率 E_L: {E_L:.1f} GPa")
print(f"横弾性率 E_T (Halpin-Tsai): {E_T_ht_val:.2f} GPa")
print(f"横弾性率 E_T (Reuss): {E_T_reuss_val:.2f} GPa")
print(f"予測差: {abs(E_T_ht_val - E_T_reuss_val):.2f} GPa")

1.3.2 短繊維複合材料への適用

短繊維複合材料では、繊維のアスペクト比が有限であるため、縦方向弾性率もHalpin-Tsai理論で補正する必要があります。

例題 1.4: 短繊維複合材料の弾性率

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def short_fiber_modulus(E_f, E_m, V_f, aspect_ratio):
    """
    短繊維複合材料の縦弾性率(Halpin-Tsai)

    Parameters:
    -----------
    aspect_ratio : float
        繊維のアスペクト比 (l/d)
    """
    zeta_L = 2 * aspect_ratio
    eta_L = (E_f / E_m - 1) / (E_f / E_m + zeta_L)
    E_L = E_m * (1 + zeta_L * eta_L * V_f) / (1 - eta_L * V_f)

    zeta_T = 2
    eta_T = (E_f / E_m - 1) / (E_f / E_m + zeta_T)
    E_T = E_m * (1 + zeta_T * eta_T * V_f) / (1 - eta_T * V_f)

    return E_L, E_T

# 材料特性
E_f = 230  # GPa
E_m = 3.5  # GPa
V_f = 0.5

# アスペクト比の影響
aspect_ratios = np.array([5, 10, 20, 50, 100, 1000])
E_L_values = []
E_T_values = []

for ar in aspect_ratios:
    E_L, E_T = short_fiber_modulus(E_f, E_m, V_f, ar)
    E_L_values.append(E_L)
    E_T_values.append(E_T)

E_L_values = np.array(E_L_values)
E_T_values = np.array(E_T_values)

# 長繊維の場合(混合則)
E_L_continuous = E_f * V_f + E_m * (1 - V_f)

# 可視化
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.semilogx(aspect_ratios, E_L_values, 'bo-', linewidth=2,
             markersize=8, label='短繊維 E_L (Halpin-Tsai)')
plt.axhline(y=E_L_continuous, color='r', linestyle='--',
            linewidth=2, label=f'長繊維 E_L (混合則): {E_L_continuous:.1f} GPa')
plt.xlabel('アスペクト比 (l/d)')
plt.ylabel('縦弾性率 E_L [GPa]')
plt.title(f'短繊維のアスペクト比と弾性率の関係 (V_f = {V_f})')
plt.grid(True, alpha=0.3, which='both')
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.savefig('short_fiber_aspect_ratio.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.close()

# 結果出力
print("アスペクト比と弾性率の関係:")
print("-" * 50)
for ar, E_L, E_T in zip(aspect_ratios, E_L_values, E_T_values):
    efficiency = (E_L / E_L_continuous) * 100
    print(f"l/d = {ar:4.0f}: E_L = {E_L:6.1f} GPa ({efficiency:5.1f}%), "
          f"E_T = {E_T:5.2f} GPa")

1.4 界面の役割

1.4.1 界面強度の重要性

複合材料の性能は、強化材と母材の界面特性に大きく依存します。界面が担う主な役割は：

荷重伝達: 母材から繊維へ応力を効率的に伝える
亀裂抑制: き裂の進展を界面で偏向・停止させる
破壊エネルギー: 界面剥離により破壊エネルギーを吸収

flowchart LR A[荷重印加] --> B[母材に応力発生] B --> C{界面せん断応力} C --> D[繊維に荷重伝達] D --> E[繊維が主荷重負担] C --> F{界面強度} F -->|強い| G[効率的な荷重伝達
高強度] F -->|弱い| H[界面剥離
低強度] style A fill:#e1f5ff style E fill:#c8e6c9 style G fill:#c8e6c9 style H fill:#ffcdd2

1.4.2 界面せん断応力

繊維に沿った界面せん断応力 $\tau_i$ は、Kelly-Tyson モデルにより：

$$\tau_i = \frac{\sigma_f d}{2l}$$

ここで、$\sigma_f$: 繊維応力、$d$: 繊維直径、$l$: 繊維長さ。臨界繊維長 $l_c$ は、繊維が最大強度を発揮できる最小長さで：

$$l_c = \frac{\sigma_f^* d}{2\tau_i}$$

$\sigma_f^*$: 繊維の引張強度、$\tau_i$: 界面せん断強度

例題 1.5: 臨界繊維長の計算

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 材料特性
sigma_f_max = 3500  # 繊維引張強度 [MPa]
tau_i = 50          # 界面せん断強度 [MPa]
d = 7e-3            # 繊維直径 [mm]

# 臨界繊維長
l_c = (sigma_f_max * d) / (2 * tau_i)

print(f"繊維直径: {d} mm")
print(f"繊維引張強度: {sigma_f_max} MPa")
print(f"界面せん断強度: {tau_i} MPa")
print(f"臨界繊維長: {l_c:.2f} mm")
print(f"臨界アスペクト比 (l_c/d): {l_c/d:.0f}")

# 繊維長さに対する強度効率
fiber_lengths = np.linspace(0.1, 3*l_c, 100)
strength_efficiency = np.where(
    fiber_lengths >= l_c,
    1.0,  # l >= l_c: 100%効率
    fiber_lengths / l_c  # l < l_c: 比例的に低下
)

# 可視化
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# 繊維長さと強度効率
ax1.plot(fiber_lengths, strength_efficiency * 100, 'b-', linewidth=2)
ax1.axvline(x=l_c, color='r', linestyle='--', linewidth=2,
            label=f'臨界繊維長 l_c = {l_c:.2f} mm')
ax1.axhline(y=100, color='g', linestyle=':', alpha=0.5)
ax1.set_xlabel('繊維長さ [mm]')
ax1.set_ylabel('強度効率 [%]')
ax1.set_title('繊維長さと強度効率の関係')
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax1.legend()
ax1.set_ylim([0, 110])

# 界面せん断応力分布(l > l_c の場合)
l_fiber = 2 * l_c  # 例として 2*l_c の繊維
x = np.linspace(0, l_fiber, 100)
# 繊維軸方向応力(線形増加、中央で最大)
sigma_fiber = np.where(
    x <= l_fiber/2,
    2 * tau_i * x / d,  # 繊維端から増加
    2 * tau_i * (l_fiber - x) / d  # 対称
)

ax2.plot(x, sigma_fiber, 'r-', linewidth=2)
ax2.axhline(y=sigma_f_max, color='g', linestyle='--',
            label=f'繊維強度 {sigma_f_max} MPa')
ax2.set_xlabel('繊維軸方向位置 [mm]')
ax2.set_ylabel('繊維内応力 [MPa]')
ax2.set_title(f'繊維内応力分布 (l = {l_fiber:.2f} mm)')
ax2.grid(True, alpha=0.3)
ax2.legend()

plt.tight_layout()
plt.savefig('critical_fiber_length.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.close()

1.4.3 界面処理の効果

繊維表面処理(サイジング、カップリング剤)は界面強度を向上させます。代表的な処理方法と効果：

処理方法	メカニズム	効果
シランカップリング剤	化学結合形成	界面せん断強度 20-40% 向上
酸化処理	表面官能基増加	濡れ性改善、接着力向上
プラズマ処理	表面活性化	極性基導入、化学結合促進
サイジング剤	保護膜形成	繊維損傷防止、濡れ性制御

例題 1.6: 界面処理の効果シミュレーション

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def composite_strength_with_interface(V_f, tau_i, sigma_f_max, d, l):
    """
    界面強度を考慮した複合材料強度

    Parameters:
    -----------
    tau_i : float
        界面せん断強度 [MPa]
    l : float
        繊維長さ [mm]
    """
    # 臨界繊維長
    l_c = (sigma_f_max * d) / (2 * tau_i)

    # 繊維の有効強度
    if l >= l_c:
        sigma_f_eff = sigma_f_max * (1 - l_c / (2 * l))
    else:
        sigma_f_eff = tau_i * l / d

    # 複合材料強度(簡易混合則)
    sigma_c = sigma_f_eff * V_f

    return sigma_c, l_c

# パラメータ設定
V_f = 0.5
sigma_f_max = 3500  # MPa
d = 0.007          # mm
l = 5.0            # mm

# 界面強度の範囲(未処理 vs 処理済み)
tau_i_range = np.linspace(20, 80, 50)
sigma_c_values = []
l_c_values = []

for tau_i in tau_i_range:
    sigma_c, l_c = composite_strength_with_interface(V_f, tau_i, sigma_f_max, d, l)
    sigma_c_values.append(sigma_c)
    l_c_values.append(l_c)

sigma_c_values = np.array(sigma_c_values)
l_c_values = np.array(l_c_values)

# 可視化
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# 界面強度と複合材料強度
ax1.plot(tau_i_range, sigma_c_values, 'b-', linewidth=2)
ax1.axvline(x=40, color='r', linestyle='--', alpha=0.5, label='未処理')
ax1.axvline(x=55, color='g', linestyle='--', alpha=0.5, label='処理済み')
ax1.set_xlabel('界面せん断強度 τ_i [MPa]')
ax1.set_ylabel('複合材料強度 [MPa]')
ax1.set_title(f'界面強度の影響 (V_f={V_f}, l={l} mm)')
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax1.legend()

# 臨界繊維長
ax2.plot(tau_i_range, l_c_values, 'r-', linewidth=2)
ax2.axhline(y=l, color='g', linestyle='--', label=f'実際の繊維長 {l} mm')
ax2.fill_between(tau_i_range, 0, l, alpha=0.2, color='green',
                  label='l > l_c (効率的)')
ax2.set_xlabel('界面せん断強度 τ_i [MPa]')
ax2.set_ylabel('臨界繊維長 l_c [mm]')
ax2.set_title('界面強度と臨界繊維長の関係')
ax2.grid(True, alpha=0.3)
ax2.legend()

plt.tight_layout()
plt.savefig('interface_treatment_effect.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.close()

# 具体的な数値比較
tau_i_untreated = 40  # MPa
tau_i_treated = 55    # MPa

sigma_c_untreated, l_c_untreated = composite_strength_with_interface(
    V_f, tau_i_untreated, sigma_f_max, d, l)
sigma_c_treated, l_c_treated = composite_strength_with_interface(
    V_f, tau_i_treated, sigma_f_max, d, l)

print("界面処理の効果:")
print("-" * 60)
print(f"未処理繊維:")
print(f"  界面せん断強度: {tau_i_untreated} MPa")
print(f"  臨界繊維長: {l_c_untreated:.2f} mm")
print(f"  複合材料強度: {sigma_c_untreated:.0f} MPa")
print(f"\n処理済み繊維:")
print(f"  界面せん断強度: {tau_i_treated} MPa")
print(f"  臨界繊維長: {l_c_treated:.2f} mm")
print(f"  複合材料強度: {sigma_c_treated:.0f} MPa")
print(f"\n強度向上率: {(sigma_c_treated/sigma_c_untreated - 1)*100:.1f}%")

1.5 まとめ

本章では、複合材料の基礎として以下の内容を学びました：

複合材料の定義と分類(繊維強化、粒子強化、積層材)
混合則(Voigt/Reussモデル)による弾性率・強度予測
Halpin-Tsai理論による精密な弾性率計算
短繊維複合材料におけるアスペクト比の影響
界面の役割と臨界繊維長の概念
界面処理による特性向上メカニズム

次章では、繊維強化複合材料に焦点を当て、CFRP/GFRPの製造法、積層理論(Classical Laminate Theory)、A-B-D行列について学びます。

演習問題

基礎レベル

問題 1.1: 混合則の基本計算

ガラス繊維(E_f = 70 GPa)とポリエステル樹脂(E_m = 2.8 GPa)からなる一方向GFRPについて、以下を計算せよ。繊維体積分率 V_f = 0.55。

縦弾性率 E_L (Voigt モデル)
横弾性率 E_T (Reuss モデル)
異方性比 E_L/E_T

問題 1.2: 体積分率の決定

CFRP複合材料の密度が 1.55 g/cm³ である。炭素繊維の密度 1.80 g/cm³、エポキシ樹脂の密度 1.20 g/cm³ として、繊維体積分率 V_f を求めよ。 (ヒント: 密度の混合則 $\rho_c = \rho_f V_f + \rho_m (1-V_f)$ を使用)

問題 1.3: 強度の混合則

繊維引張強度 2800 MPa、母材引張強度 65 MPa、繊維破断ひずみ 0.012、母材弾性率 3200 MPa の材料系で、V_f = 0.65 の複合材料の引張強度を予測せよ。

応用レベル

問題 1.4: Halpin-Tsai 理論の適用

短繊維複合材料(V_f = 0.4, E_f = 230 GPa, E_m = 3.5 GPa) において、アスペクト比 l/d = 20 の繊維を用いる場合の縦弾性率を Halpin-Tsai理論で計算し、混合則(Voigt)の結果と比較せよ。

問題 1.5: 臨界繊維長の影響

炭素繊維(直径 7 μm、引張強度 3500 MPa)とエポキシ樹脂の界面せん断強度が 45 MPa である場合の臨界繊維長を求め、繊維長が 2 mm、4 mm、6 mm の場合の強度効率を計算せよ。

問題 1.6: 界面処理の設計

繊維長 3 mm の短繊維複合材料で、繊維強度の 95% 以上を活用したい。必要な界面せん断強度を求めよ。 (繊維: 直径 10 μm、引張強度 4000 MPa)

問題 1.7: プログラミング課題

以下の機能を持つPythonプログラムを作成せよ：

繊維と母材の特性を入力
体積分率 0-0.7 の範囲で弾性率を計算(混合則とHalpin-Tsai)
結果をグラフ表示
最適な繊維体積分率を提案(コスト関数を定義)

発展レベル

問題 1.8: 多軸応力下の解析

一方向CFRPに縦方向応力 σ_x = 500 MPa と横方向応力 σ_y = 50 MPa が同時に作用する場合、 Tsai-Hill破壊規準を用いて安全率を計算せよ。 (縦引張強度 1500 MPa、横引張強度 50 MPa、せん断強度 70 MPa)

Tsai-Hill規準: $\left(\frac{\sigma_x}{X}\right)^2 - \frac{\sigma_x \sigma_y}{X^2} + \left(\frac{\sigma_y}{Y}\right)^2 + \left(\frac{\tau_{xy}}{S}\right)^2 = \frac{1}{SF^2}$

問題 1.9: 確率論的アプローチ

繊維強度がワイブル分布に従う場合(形状パラメータ m=5、尺度パラメータ σ₀=3500 MPa)、複合材料の強度分布をモンテカルロシミュレーションで推定せよ。繊維本数 N=1000 本、V_f = 0.6 とする。

問題 1.10: 最適化問題

以下の制約条件下で、複合材料のコスト/性能比を最小化する繊維体積分率と繊維長さを求めよ：

目標弾性率: E_L ≥ 100 GPa
繊維コスト: 50 円/kg、母材コスト: 5 円/kg
繊維長さ範囲: 1-10 mm
体積分率範囲: 0.3-0.7

scipy.optimize を用いた最適化プログラムを実装せよ。

参考文献

Jones, R. M., "Mechanics of Composite Materials", 2nd ed., Taylor & Francis, 1999, pp. 45-89
Hull, D. and Clyne, T. W., "An Introduction to Composite Materials", 2nd ed., Cambridge University Press, 1996, pp. 12-38, 112-145
Mallick, P. K., "Fiber-Reinforced Composites: Materials, Manufacturing, and Design", 3rd ed., CRC Press, 2007, pp. 67-103
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Chawla, K. K., "Composite Materials: Science and Engineering", 3rd ed., Springer, 2012, pp. 78-124, 156-187
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第1章 複合材料の基礎