第2章 繊維強化複合材料

2.1 繊維強化複合材料の種類

2.1.1 CFRP (炭素繊維強化プラスチック)

炭素繊維(Carbon Fiber)を強化材とする複合材料で、航空宇宙、自動車、スポーツ用品に広く使用されます。

2.1.2 GFRP (ガラス繊維強化プラスチック)

ガラス繊維(Glass Fiber)を強化材とする複合材料で、コストパフォーマンスに優れます。

2.2 単層(Lamina)の力学

2.2.1 応力-ひずみ関係

一方向繊維強化単層の主軸座標系(1-2系、繊維方向を1軸)における 応力-ひずみ関係は以下のように表されます：

ここで、縮約剛性マトリクス \([Q]\) の成分は：

\(E_1, E_2\): 縦・横弾性率、\(\nu_{12}, \nu_{21}\): ポアソン比、\(G_{12}\): せん断弾性率
(相反定理: \(\nu_{12}/E_1 = \nu_{21}/E_2\))

import numpy as np

def lamina_stiffness_matrix(E1, E2, nu12, G12):
    """
    単層の縮約剛性マトリクス [Q] を計算

    Parameters:
    -----------
    E1 : float
        縦弾性率 [GPa]
    E2 : float
        横弾性率 [GPa]
    nu12 : float
        主ポアソン比
    G12 : float
        せん断弾性率 [GPa]

    Returns:
    --------
    Q : ndarray (3x3)
        縮約剛性マトリクス [GPa]
    """
    # 相反定理から nu21 を計算
    nu21 = nu12 * E2 / E1

    # Q マトリクスの成分
    denom = 1 - nu12 * nu21
    Q11 = E1 / denom
    Q22 = E2 / denom
    Q12 = nu12 * E2 / denom
    Q66 = G12

    Q = np.array([
        [Q11, Q12, 0],
        [Q12, Q22, 0],
        [0, 0, Q66]
    ])

    return Q

# CFRP/エポキシ 単層の材料特性
E1 = 140.0   # GPa
E2 = 10.0    # GPa
nu12 = 0.30
G12 = 5.0    # GPa

Q = lamina_stiffness_matrix(E1, E2, nu12, G12)

print("縮約剛性マトリクス [Q] (GPa):")
print(Q)
print(f"\nQ11 = {Q[0,0]:.2f} GPa")
print(f"Q22 = {Q[1,1]:.2f} GPa")
print(f"Q12 = {Q[0,1]:.2f} GPa")
print(f"Q66 = {Q[2,2]:.2f} GPa")

# 応力計算例: ε1=0.005, ε2=0, γ12=0
strain = np.array([0.005, 0, 0])
stress = Q @ strain

print(f"\nひずみ [ε1, ε2, γ12]: {strain}")
print(f"応力 [σ1, σ2, τ12] (MPa): {stress}")
print(f"繊維方向応力 σ1: {stress[0]:.1f} MPa")

2.2.2 座標変換(Off-Axis Loading)

繊維が荷重方向と角度 \(\theta\) をなす場合、座標変換が必要です。 全体座標系(x-y)での剛性マトリクス \([\bar{Q}]\) は：

変換マトリクス \([T]\) は：

ここで、\(c = \cos\theta\)、\(s = \sin\theta\)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def transformation_matrix(theta_deg):
    """
    応力・ひずみ変換マトリクス [T]

    Parameters:
    -----------
    theta_deg : float
        繊維配向角度 [度]

    Returns:
    --------
    T : ndarray (3x3)
        変換マトリクス
    """
    theta = np.radians(theta_deg)
    c = np.cos(theta)
    s = np.sin(theta)

    T = np.array([
        [c**2, s**2, 2*s*c],
        [s**2, c**2, -2*s*c],
        [-s*c, s*c, c**2 - s**2]
    ])

    return T

def offaxis_stiffness(Q, theta_deg):
    """
    Off-axis 剛性マトリクス [Q̄] を計算

    Parameters:
    -----------
    Q : ndarray (3x3)
        主軸座標系での剛性マトリクス
    theta_deg : float
        繊維配向角度 [度]

    Returns:
    --------
    Q_bar : ndarray (3x3)
        Off-axis 剛性マトリクス
    """
    T = transformation_matrix(theta_deg)
    T_inv = np.linalg.inv(T)

    Q_bar = T_inv @ Q @ T_inv.T

    return Q_bar

# CFRP材料特性
E1 = 140.0
E2 = 10.0
nu12 = 0.30
G12 = 5.0

Q = lamina_stiffness_matrix(E1, E2, nu12, G12)

# 配向角度の範囲
angles = np.arange(0, 91, 5)
Q_bar_11 = []
Q_bar_22 = []
Q_bar_66 = []
Q_bar_16 = []  # カップリング項

for theta in angles:
    Q_bar = offaxis_stiffness(Q, theta)
    Q_bar_11.append(Q_bar[0, 0])
    Q_bar_22.append(Q_bar[1, 1])
    Q_bar_66.append(Q_bar[2, 2])
    Q_bar_16.append(Q_bar[0, 2])

# 可視化
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# 剛性成分
ax1.plot(angles, Q_bar_11, 'b-', linewidth=2, label='Q̄₁₁ (x方向)')
ax1.plot(angles, Q_bar_22, 'r-', linewidth=2, label='Q̄₂₂ (y方向)')
ax1.plot(angles, Q_bar_66, 'g-', linewidth=2, label='Q̄₆₆ (せん断)')
ax1.set_xlabel('繊維配向角度 θ [度]')
ax1.set_ylabel('剛性成分 [GPa]')
ax1.set_title('Off-Axis 剛性の角度依存性')
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax1.legend()

# カップリング項
ax2.plot(angles, Q_bar_16, 'm-', linewidth=2)
ax2.axhline(y=0, color='k', linestyle='--', alpha=0.3)
ax2.set_xlabel('繊維配向角度 θ [度]')
ax2.set_ylabel('Q̄₁₆ [GPa]')
ax2.set_title('伸張-せん断カップリング')
ax2.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('offaxis_stiffness.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.close()

print(f"0度 (繊維方向): Q̄11 = {Q_bar_11[0]:.1f} GPa")
print(f"45度: Q̄11 = {Q_bar_11[9]:.1f} GPa, Q̄16 = {Q_bar_16[9]:.1f} GPa")
print(f"90度 (繊維垂直): Q̄11 = {Q_bar_11[-1]:.1f} GPa")

2.3 古典積層理論 (Classical Laminate Theory)

2.3.1 積層板の仮定

古典積層理論(CLT)は以下の仮定に基づきます：

• 各層は完全に接着されている(層間すべりなし)
• 板厚方向の垂直応力は無視できる(平面応力状態)
• Kirchhoff-Love仮定: 板厚方向の法線は変形後も法線のまま

これにより、積層板の中央面からの距離 \(z\) における面内ひずみは：

\(\epsilon^0\): 中央面のひずみ、\(\kappa\): 曲率

2.3.2 A-B-D マトリクス

積層板の合応力・合モーメントと中央面ひずみ・曲率の関係：

各マトリクスの物理的意味：

• [A]: 伸張剛性マトリクス (Extensional stiffness)
• [B]: 伸張-曲げカップリングマトリクス (Coupling stiffness)
• [D]: 曲げ剛性マトリクス (Bending stiffness)

計算式：

import numpy as np

class Laminate:
    """積層板の解析クラス"""

    def __init__(self, Q, layup, t_ply):
        """
        Parameters:
        -----------
        Q : ndarray (3x3)
            単層の主軸剛性マトリクス
        layup : list of float
            積層構成 [θ1, θ2, ..., θn] (度)
        t_ply : float
            単層厚さ [mm]
        """
        self.Q = Q
        self.layup = layup
        self.t_ply = t_ply
        self.n_plies = len(layup)
        self.total_thickness = self.n_plies * t_ply

        # z座標の計算(中央面を基準)
        self.z = np.linspace(
            -self.total_thickness/2,
            self.total_thickness/2,
            self.n_plies + 1
        )

    def compute_ABD(self):
        """A-B-D マトリクスを計算"""
        A = np.zeros((3, 3))
        B = np.zeros((3, 3))
        D = np.zeros((3, 3))

        for k in range(self.n_plies):
            # 各層の Q̄ マトリクス
            Q_bar = offaxis_stiffness(self.Q, self.layup[k])

            # 層の厚さ座標
            z_k = self.z[k]
            z_k1 = self.z[k + 1]

            # A, B, D の計算
            A += Q_bar * (z_k1 - z_k)
            B += 0.5 * Q_bar * (z_k1**2 - z_k**2)
            D += (1/3) * Q_bar * (z_k1**3 - z_k**3)

        return A, B, D

    def is_symmetric(self):
        """積層構成が対称かどうか判定"""
        n = len(self.layup)
        for i in range(n // 2):
            if self.layup[i] != self.layup[n - 1 - i]:
                return False
        return True

# CFRP材料特性
E1 = 140.0
E2 = 10.0
nu12 = 0.30
G12 = 5.0
Q = lamina_stiffness_matrix(E1, E2, nu12, G12)

# 積層構成の例
layup_symmetric = [0, 45, -45, 90, 90, -45, 45, 0]  # 対称積層
layup_unsymmetric = [0, 45, -45, 90]                 # 非対称積層

t_ply = 0.125  # mm

# 対称積層板
lam_sym = Laminate(Q, layup_symmetric, t_ply)
A_sym, B_sym, D_sym = lam_sym.compute_ABD()

print("=== 対称積層板 [0/45/-45/90]s ===")
print(f"積層構成: {layup_symmetric}")
print(f"総板厚: {lam_sym.total_thickness} mm")
print(f"対称性: {lam_sym.is_symmetric()}")
print("\n[A] マトリクス (N/mm):")
print(A_sym)
print("\n[B] マトリクス (N·mm):")
print(B_sym)
print(f"B マトリクスのノルム: {np.linalg.norm(B_sym):.2e} (対称積層では ≈ 0)")
print("\n[D] マトリクス (N·mm²):")
print(D_sym)

# 非対称積層板
lam_unsym = Laminate(Q, layup_unsymmetric, t_ply)
A_unsym, B_unsym, D_unsym = lam_unsym.compute_ABD()

print("\n\n=== 非対称積層板 [0/45/-45/90] ===")
print(f"積層構成: {layup_unsymmetric}")
print(f"対称性: {lam_unsym.is_symmetric()}")
print("\n[B] マトリクス (N·mm):")
print(B_unsym)
print(f"B マトリクスのノルム: {np.linalg.norm(B_unsym):.2e} (伸張-曲げカップリング有)")

2.3.3 準等方性積層板

特定の積層構成により、面内で等方的な特性を持つ積層板を設計できます。 準等方性(Quasi-isotropic)の条件は、3層以上で \(180°/n\) ずつ角度が異なる配向：

• 3層: [0/60/-60] または [0/60/120]
• 4層: [0/45/-45/90] (最も一般的)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def check_quasi_isotropic(A):
    """
    準等方性を判定

    準等方性の条件:
    - A11 = A22
    - A16 = A26 = 0
    - A66 = (A11 - A12) / 2
    """
    tol = 1e-6

    condition1 = np.abs(A[0,0] - A[1,1]) < tol
    condition2 = np.abs(A[0,2]) < tol and np.abs(A[1,2]) < tol
    condition3 = np.abs(A[2,2] - (A[0,0] - A[0,1])/2) < tol

    is_quasi_iso = condition1 and condition2 and condition3

    return is_quasi_iso, {
        'A11 = A22': condition1,
        'A16 = A26 = 0': condition2,
        'A66 = (A11-A12)/2': condition3
    }

# CFRP材料
E1 = 140.0
E2 = 10.0
nu12 = 0.30
G12 = 5.0
Q = lamina_stiffness_matrix(E1, E2, nu12, G12)

# 様々な積層構成をテスト
layups = {
    '[0/45/-45/90]': [0, 45, -45, 90],
    '[0/60/-60]': [0, 60, -60],
    '[0/90]': [0, 90],
    '[45/-45]': [45, -45]
}

t_ply = 0.125

print("準等方性の判定:\n" + "="*60)
for name, layup in layups.items():
    lam = Laminate(Q, layup, t_ply)
    A, B, D = lam.compute_ABD()

    is_qi, conditions = check_quasi_isotropic(A)

    print(f"\n積層構成: {name}")
    print(f"準等方性: {is_qi}")
    for cond, result in conditions.items():
        status = "✓" if result else "✗"
        print(f"  {status} {cond}")

    if is_qi:
        # 等価等方性特性を計算
        E_eq = A[0,0] / lam.total_thickness
        nu_eq = A[0,1] / A[0,0]
        G_eq = A[2,2] / lam.total_thickness

        print(f"  等価ヤング率: {E_eq:.1f} GPa")
        print(f"  等価ポアソン比: {nu_eq:.3f}")
        print(f"  等価せん断弾性率: {G_eq:.1f} GPa")

2.4 積層板の強度予測

2.4.1 最大応力規準

各層の主軸座標系での応力が許容値を超えないこと：

2.4.2 Tsai-Wu 破壊規準

多軸応力状態における破壊を予測する二次形式の規準：

係数の決定：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

class TsaiWuCriterion:
    """Tsai-Wu破壊規準"""

    def __init__(self, X_t, X_c, Y_t, Y_c, S):
        """
        Parameters:
        -----------
        X_t, X_c : float
            縦方向引張・圧縮強度 [MPa]
        Y_t, Y_c : float
            横方向引張・圧縮強度 [MPa]
        S : float
            せん断強度 [MPa]
        """
        self.X_t = X_t
        self.X_c = X_c
        self.Y_t = Y_t
        self.Y_c = Y_c
        self.S = S

        # Tsai-Wu 係数の計算
        self.F1 = 1/X_t - 1/X_c
        self.F2 = 1/Y_t - 1/Y_c
        self.F11 = 1/(X_t * X_c)
        self.F22 = 1/(Y_t * Y_c)
        self.F66 = 1/S**2
        self.F12 = -0.5 * np.sqrt(self.F11 * self.F22)

    def failure_index(self, sigma1, sigma2, tau12):
        """
        破壊指数を計算

        Returns:
        --------
        FI : float
            破壊指数 (FI < 1: 安全、FI = 1: 破壊、FI > 1: 破損)
        """
        FI = (self.F1 * sigma1 + self.F2 * sigma2 +
              self.F11 * sigma1**2 + self.F22 * sigma2**2 +
              self.F66 * tau12**2 + 2 * self.F12 * sigma1 * sigma2)

        return FI

    def safety_factor(self, sigma1, sigma2, tau12):
        """安全率を計算"""
        FI = self.failure_index(sigma1, sigma2, tau12)
        if FI <= 0:
            return np.inf
        return 1 / np.sqrt(FI)

# CFRP/エポキシの強度特性
X_t = 1500  # MPa
X_c = 1200  # MPa
Y_t = 50    # MPa
Y_c = 200   # MPa
S = 70      # MPa

criterion = TsaiWuCriterion(X_t, X_c, Y_t, Y_c, S)

# 破壊包絡線の作成(σ1-σ2 平面)
sigma1_range = np.linspace(-X_c, X_t, 200)
sigma2_range = np.linspace(-Y_c, Y_t, 200)

# グリッド作成
S1, S2 = np.meshgrid(sigma1_range, sigma2_range)
FI_grid = np.zeros_like(S1)

for i in range(len(sigma2_range)):
    for j in range(len(sigma1_range)):
        FI_grid[i, j] = criterion.failure_index(S1[i, j], S2[i, j], 0)

# 可視化
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 6))

# 破壊包絡線(τ12 = 0)
contour = ax1.contour(S1, S2, FI_grid, levels=[1.0], colors='r', linewidths=2)
ax1.contourf(S1, S2, FI_grid, levels=[0, 1.0], colors=['lightgreen'], alpha=0.3)
ax1.set_xlabel('σ₁ [MPa]')
ax1.set_ylabel('σ₂ [MPa]')
ax1.set_title('Tsai-Wu 破壊包絡線 (τ₁₂ = 0)')
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax1.axhline(y=0, color='k', linewidth=0.5)
ax1.axvline(x=0, color='k', linewidth=0.5)

# 特定応力状態での安全率
test_cases = [
    (500, 20, 0, "引張-引張"),
    (500, -50, 0, "引張-圧縮"),
    (-400, -100, 0, "圧縮-圧縮"),
    (300, 0, 40, "引張-せん断")
]

results = []
for sigma1, sigma2, tau12, case_name in test_cases:
    FI = criterion.failure_index(sigma1, sigma2, tau12)
    SF = criterion.safety_factor(sigma1, sigma2, tau12)
    results.append((case_name, sigma1, sigma2, tau12, FI, SF))

    if tau12 == 0:  # τ12=0 の場合のみプロット
        marker = 'o' if FI < 1 else 'x'
        color = 'blue' if FI < 1 else 'red'
        ax1.plot(sigma1, sigma2, marker, markersize=10, color=color,
                label=f"{case_name} (SF={SF:.2f})")

ax1.legend()

# 結果テーブル
ax2.axis('off')
table_data = [["荷重状態", "σ₁", "σ₂", "τ₁₂", "FI", "SF"]]
for case_name, s1, s2, t12, fi, sf in results:
    table_data.append([
        case_name,
        f"{s1:.0f}",
        f"{s2:.0f}",
        f"{t12:.0f}",
        f"{fi:.3f}",
        f"{sf:.2f}" if sf != np.inf else "∞"
    ])

table = ax2.table(cellText=table_data, cellLoc='center', loc='center',
                  colWidths=[0.25, 0.15, 0.15, 0.15, 0.15, 0.15])
table.auto_set_font_size(False)
table.set_fontsize(10)
table.scale(1, 2)

# ヘッダー行のスタイル
for i in range(6):
    table[(0, i)].set_facecolor('#4CAF50')
    table[(0, i)].set_text_props(weight='bold', color='white')

# データ行の色分け
for i in range(1, len(table_data)):
    fi_val = float(table_data[i][4])
    color = '#c8e6c9' if fi_val < 1 else '#ffcdd2'
    for j in range(6):
        table[(i, j)].set_facecolor(color)

ax2.set_title('破壊指数と安全率', fontsize=12, weight='bold', pad=20)

plt.tight_layout()
plt.savefig('tsai_wu_failure.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.close()

# コンソール出力
print("Tsai-Wu 破壊規準による強度評価:")
print("="*70)
for case_name, s1, s2, t12, fi, sf in results:
    status = "安全" if fi < 1 else "破損"
    print(f"\n{case_name}: σ1={s1} MPa, σ2={s2} MPa, τ12={t12} MPa")
    print(f"  破壊指数 FI = {fi:.3f} ({status})")
    print(f"  安全率 SF = {sf:.2f}" if sf != np.inf else f"  安全率 SF = ∞")

2.4.3 First Ply Failure (FPF)

積層板の破壊は、最初の層が破壊する荷重(FPF)から最終破壊(LPF)まで 段階的に進行します。FPF解析では各層の応力を計算し、最も早く破壊規準を 満たす層を特定します。

import numpy as np

def first_ply_failure_analysis(lam, applied_strain, criterion):
    """
    First Ply Failure 解析

    Parameters:
    -----------
    lam : Laminate
        積層板オブジェクト
    applied_strain : ndarray (3,)
        印加ひずみ [εx, εy, γxy]
    criterion : TsaiWuCriterion
        破壊規準オブジェクト

    Returns:
    --------
    results : list of dict
        各層の応力と破壊指数
    """
    results = []

    for k in range(lam.n_plies):
        # 層の中央位置
        z_mid = (lam.z[k] + lam.z[k+1]) / 2

        # 全体座標系での応力計算
        Q_bar = offaxis_stiffness(lam.Q, lam.layup[k])
        stress_global = Q_bar @ applied_strain

        # 主軸座標系へ変換
        T = transformation_matrix(lam.layup[k])
        stress_local = T @ stress_global

        sigma1, sigma2, tau12 = stress_local

        # 破壊指数計算
        FI = criterion.failure_index(sigma1, sigma2, tau12)
        SF = criterion.safety_factor(sigma1, sigma2, tau12)

        results.append({
            'ply': k + 1,
            'angle': lam.layup[k],
            'z': z_mid,
            'stress_global': stress_global,
            'stress_local': stress_local,
            'FI': FI,
            'SF': SF
        })

    return results

# 積層板設定
E1 = 140.0
E2 = 10.0
nu12 = 0.30
G12 = 5.0
Q = lamina_stiffness_matrix(E1, E2, nu12, G12)

layup = [0, 45, -45, 90]
t_ply = 0.125

lam = Laminate(Q, layup, t_ply)

# 破壊規準
X_t = 1500
X_c = 1200
Y_t = 50
Y_c = 200
S = 70
criterion = TsaiWuCriterion(X_t, X_c, Y_t, Y_c, S)

# 印加ひずみ(x方向引張)
applied_strain = np.array([0.005, 0, 0])

# FPF解析実行
results = first_ply_failure_analysis(lam, applied_strain, criterion)

# 結果表示
print("First Ply Failure 解析結果:")
print("="*80)
print(f"積層構成: {layup}")
print(f"印加ひずみ: εx = {applied_strain[0]:.4f}, εy = {applied_strain[1]:.4f}, "
      f"γxy = {applied_strain[2]:.4f}")
print("\n各層の応力状態:")
print("-"*80)
print(f"{'層':>3} {'角度':>6} {'σ1':>10} {'σ2':>10} {'τ12':>10} {'FI':>8} {'SF':>8}")
print("-"*80)

fpf_ply = None
min_sf = np.inf

for r in results:
    print(f"{r['ply']:3d} {r['angle']:6.0f}° {r['stress_local'][0]:10.1f} "
          f"{r['stress_local'][1]:10.1f} {r['stress_local'][2]:10.1f} "
          f"{r['FI']:8.3f} {r['SF']:8.2f}")

    if r['SF'] < min_sf:
        min_sf = r['SF']
        fpf_ply = r['ply']

print("-"*80)
print(f"\nFirst Ply Failure: 層 {fpf_ply} (角度 {layup[fpf_ply-1]}°)")
print(f"安全率: {min_sf:.2f}")
print(f"破壊ひずみ: {applied_strain[0] * min_sf:.4f}")

2.5 まとめ

本章では、繊維強化複合材料の力学について学びました：

• CFRP/GFRPの種類と製造法
• 単層の応力-ひずみ関係と座標変換
• 古典積層理論(CLT)とA-B-D行列
• 対称積層と準等方性積層の設計
• Tsai-Wu破壊規準による強度予測
• First Ply Failure解析

次章では、粒子強化複合材料(MMC, CMC)と積層複合材料について学び、 強化メカニズムと特性評価法を習得します。

演習問題

参考文献

1. Jones, R. M., "Mechanics of Composite Materials", 2nd ed., Taylor & Francis, 1999, pp. 190-267
2. Kaw, A. K., "Mechanics of Composite Materials", 2nd ed., CRC Press, 2005, pp. 145-223
3. Tsai, S. W. and Wu, E. M., "A General Theory of Strength for Anisotropic Materials", Journal of Composite Materials, Vol. 5, 1971, pp. 58-80
4. Hyer, M. W., "Stress Analysis of Fiber-Reinforced Composite Materials", DEStech Publications, 2009, pp. 312-389
5. Barbero, E. J., "Introduction to Composite Materials Design", 2nd ed., CRC Press, 2010, pp. 89-156
6. Reddy, J. N., "Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theory and Analysis", 2nd ed., CRC Press, 2003, pp. 234-301
7. Daniel, I. M. and Ishai, O., "Engineering Mechanics of Composite Materials", 2nd ed., Oxford University Press, 2006, pp. 147-218
8. Herakovich, C. T., "Mechanics of Fibrous Composites", Wiley, 1998, pp. 178-245