Partial Differential Equations and Boundary Value Problems for Materials Science
偏微分方程式（PDE）は、材料科学における拡散、熱伝導、波動伝播、相変態の数学的記述に不可欠です。 本シリーズでは、熱方程式、波動方程式、Laplace方程式の理論から、分離変数法、Fourier級数展開、Green関数法、 境界値問題の数値解法まで、理論と実装（Python/NumPy/SciPy）をペアで学びます。
微積分とベクトル解析の基礎（偏微分、重積分）、線形代数（固有値問題）の知識があれば学習可能です。Pythonの基本的な使い方を理解していることが望ましいです。
1次元・多次元熱伝導の基礎理論から、初期値問題・境界値問題の解法、材料中の温度分布計算まで学びます。 Fourier則に基づく拡散方程式の解析解と数値解を実装し、熱処理プロセスへの応用を紹介します。
波動の伝播とd'Alembert解、定在波の形成、材料の振動解析を学びます。 弦の振動から始めて、波動エネルギーの保存則、境界条件の影響を理解し、超音波探傷への応用を実装します。
静電ポテンシャル、調和関数の性質、最大値原理を学びます。 Dirichlet問題、Neumann問題の解法、Green関数の構成と応用、定常熱伝導問題の解析を実装します。
変数分離の手法、Fourier級数展開による解の構成、Sturm-Liouville理論と固有値問題を学びます。 固有関数の直交性、境界値問題への応用、収束性の議論を含めた実践的な解法を実装します。
有限差分法の基礎、Crank-Nicolson法による時間発展、安定性解析と収束性を学びます。 材料プロセスシミュレーション（熱処理、拡散、相変態）への応用を実装し、実用的な解法を習得します。