🎯 学習目標
- 変分法の基礎概念と汎関数を理解する
- オイラー-ラグランジュ方程式の導出と応用を学ぶ
- 最速降下線（ブラキストクロン曲線）問題を解く
- 測地線と最短経路問題を理解する
- 最小作用の原理と物理学への応用を学ぶ
- 等周問題と条件付き極値問題を扱う
- 有限要素法の基礎とガラーキン法を実装する
- 材料科学への応用（弾性変形、形状最適化）を理解する
Calculus of Variations and Optimization
汎関数（functional）は、関数を入力として実数を出力する写像です：
\[ J[y] = \int_{x_1}^{x_2} F(x, y(x), y'(x)) dx \]
変分問題: 汎関数 \(J[y]\) を極値化する関数 \(y(x)\) を求める
変分（variation） \(\delta y\): 関数 \(y(x)\) の微小変化
\[ y(x) \to y(x) + \epsilon \eta(x), \quad \eta(x_1) = \eta(x_2) = 0 \]
汎関数の1次変分がゼロとなる条件が極値条件です：
\[ \delta J = \frac{d}{d\epsilon}J[y + \epsilon\eta]\bigg|_{\epsilon=0} = 0 \]
汎関数 \(J[y] = \int F(x, y, y') dx\) を極値化する関数 \(y(x)\) は、以下の微分方程式を満たします：
\[ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) = 0 \]
これをオイラー-ラグランジュ方程式（Euler-Lagrange equation）と呼びます。