🎯 学習目標
- 有限差分法（FDM）の基礎と様々なスキームを理解する
- 有限要素法（FEM）の理論と実装を習得する
- 時間積分スキーム（陽解法・陰解法）の特性を学ぶ
- 安定性解析と収束性の理論的基礎を理解する
- メッシュ生成と要素の選択を学ぶ
- 2次元・3次元問題への拡張を理解する
- スパース行列の効率的な扱い方を習得する
- プロセスシミュレーション（熱処理、反応拡散）への応用を実装する
Numerical Methods and Finite Element Method
有限差分法（Finite Difference Method, FDM）:
有限要素法（Finite Element Method, FEM）:
有限体積法（Finite Volume Method, FVM）:
安定性（Stability）: 数値誤差が時間発展で発散しない条件
CFL条件（Courant-Friedrichs-Lewy）: 波動方程式の安定性条件
\[ C = c \frac{\Delta t}{\Delta x} \leq C_{\text{max}} \]
収束性（Convergence）: メッシュ幅 \(\Delta x \to 0\) で真の解に近づく性質
一貫性（Consistency）: 差分式が微分方程式に収束する性質
Laxの等価定理: 一貫性 + 安定性 ⇒ 収束性