4.1 時間独立摂動論
📚 非縮退摂動論
Hamiltonian: \(H = H_0 + \lambda V\)
1次エネルギー補正:
\[ E_n^{(1)} = \langle n^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle \]
2次エネルギー補正:
\[ E_n^{(2)} = \sum_{m \neq n} \frac{|\langle m^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \]
1次波動関数補正:
\[ |n^{(1)}\rangle = \sum_{m \neq n} \frac{\langle m^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} |m^{(0)}\rangle \]
応用例: Stark効果（水素原子の線形Stark効果）
電場中の水素原子: \(V = eEz\)
1次エネルギー補正は0（パリティ保存）。2次で分極が現れます。
4.2 時間依存摂動論
📚 Fermiの黄金則
時間依存の摂動 \(V(t) = Ve^{-i\omega t}\) による遷移確率:
\[ w_{i \to f} = \frac{2\pi}{\hbar} |\langle f | V | i \rangle|^2 \rho(E_f) \]
ここで \(\rho(E_f)\) は最終状態の状態密度です。
選択則: 双極子遷移
\[ \Delta l = \pm 1, \quad \Delta m = 0, \pm 1 \]
応用: 光吸収・放出
原子による光子の吸収・放出過程を記述します。Einstein のA係数、B係数と関連します。
4.3 散乱理論
📚 散乱断面積
微分散乱断面積:
\[ \frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta)|^2 \]
ここで \(f(\theta)\) は散乱振幅です。
Born近似 (弱いポテンシャル):
\[ f(\theta) = -\frac{m}{2\pi\hbar^2} \int e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}} V(r) d^3r \]
ここで \(\mathbf{q} = \mathbf{k}_i - \mathbf{k}_f\) は運動量移動です。
部分波展開
中心力場での散乱:
\[ f(\theta) = \frac{1}{k} \sum_{l=0}^\infty (2l+1) e^{i\delta_l} \sin\delta_l P_l(\cos\theta) \]
ここで \(\delta_l\) は位相シフトです。
🎯 演習問題
- 調和振動子の摂動: \(V = \alpha x^4\) の摂動を受ける調和振動子のエネルギー補正を2次まで計算せよ。
- Zeeman効果: 磁場中の水素原子のエネルギー分裂を計算せよ。
- Born近似: Yukawa ポテンシャル \(V(r) = \frac{g^2 e^{-\mu r}}{r}\) に対する散乱断面積を求めよ。
- 共鳴散乱: s波散乱（l=0）で位相シフトが \(\delta_0 = \pi/2\) となる共鳴条件を求めよ。
まとめ
本章では、摂動論と散乱理論を学びました:
- 時間独立摂動論: エネルギー補正、Stark/Zeeman効果
- 時間依存摂動論: Fermiの黄金則、選択則、光吸収
- 散乱理論: 散乱断面積、Born近似、部分波展開、位相シフト
次章では、相対論的量子力学を学びます。