第5章: 相対論的量子力学

📚 相対論的エネルギー・運動量関係

Einstein の関係式: \(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\)

量子化: \(E \to i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\), \(\mathbf{p} \to -i\hbar\nabla\)

Klein-Gordon方程式:

\[ \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\psi = 0 \]

問題点:

• 確率密度が負になりうる
• 1階の時間微分でない
• → スピン0のボソンを記述（スカラー場）

📚 Dirac方程式の導出

1階の時間微分を持つ相対論的方程式を求めます。

Dirac方程式:

\[ i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = \left(c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} + \beta mc^2\right)\psi \]

Dirac行列 (標準表現):

\[ \alpha_i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{pmatrix}, \quad \beta = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix} \]

ここで \(\psi\) は4成分スピノルです。

📚 Dirac の海と正孔理論

負エネルギー状態が全て占有されたDirac海を仮定します。

負エネルギー状態の空孔 = 正の電荷・正のエネルギーの粒子 = 反粒子

電子(e⁻)の反粒子 = 陽電子(e⁺)

対生成・対消滅:

\[ \gamma \to e^- + e^+ \quad (E_\gamma > 2m_ec^2) \]

\[ e^- + e^+ \to 2\gamma \]

📚 水素原子の微細構造

非相対論的エネルギー: \(E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}\)

微細構造分裂 (相対論的補正):

\[ \Delta E_{fs} \sim \alpha^2 E_n \]

ここで \(\alpha \approx 1/137\) は微細構造定数です。

スピン-軌道相互作用:

\[ H_{SO} = \frac{1}{2m^2c^2}\frac{1}{r}\frac{dV}{dr}\mathbf{L}\cdot\mathbf{S} \]

全角運動量 \(\mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S}\) の固有状態で対角化されます。