3.1 角運動量演算子と交換関係
📚 角運動量代数
角運動量演算子: \(\hat{\mathbf{L}} = \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}}\)
基本交換関係:
\[ [\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar\hat{L}_z, \quad [\hat{L}_y, \hat{L}_z] = i\hbar\hat{L}_x, \quad [\hat{L}_z, \hat{L}_x] = i\hbar\hat{L}_y \]
昇降演算子:
\[ \hat{L}_\pm = \hat{L}_x \pm i\hat{L}_y \]
\[ \hat{L}_\pm |l,m\rangle = \hbar\sqrt{l(l+1) - m(m\pm 1)} |l, m\pm 1\rangle \]
固有値:
\[ \hat{L}^2 |l,m\rangle = \hbar^2 l(l+1) |l,m\rangle, \quad \hat{L}_z |l,m\rangle = \hbar m |l,m\rangle \]
まとめ
本章では、角運動量とスピンを学びました:
- 角運動量代数: 交換関係、昇降演算子、固有値
- スピン1/2: Pauli行列、Bloch球、測定確率
- 角運動量合成: Clebsch-Gordan係数、三重項・一重項
次章では、摂動論と散乱理論を学びます。