2.1 水素原子の量子論
📚 水素原子のSchrödinger方程式
クーロンポテンシャル \(V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}\) 中の電子:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}\psi = E\psi \]
球面座標での変数分離: \(\psi(r,\theta,\phi) = R(r)Y_l^m(\theta,\phi)\)
動径方程式:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) + \left[\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2mr^2} - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}\right]R = ER \]
エネルギー固有値:
\[ E_n = -\frac{me^4}{32\pi^2\epsilon_0^2\hbar^2 n^2} = -\frac{13.6\text{ eV}}{n^2}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots \]
まとめ
本章では、3次元量子系を学びました:
- 水素原子: Coulombポテンシャルの厳密解、量子数(n, l, m)
- 動径波動関数: Laguerre多項式、確率分布
- 球面調和関数: 角度依存性、原子軌道の形状
- 2粒子問題: 重心運動の分離、換算質量、同位体効果
次章では、角運動量理論とスピンを学びます。