ビデオ講義
シリーズ全体を1本の動画にまとめています。各章ページのビデオは、その章の頭から再生されます。
🌐 JP | 🇬🇧 EN | Last sync: 2025-11-16
AI寺子屋トップ›基礎数理›Calculus Vector Analysis
🎯 シリーズ概要
微積分とベクトル解析は、材料科学・プロセス工学・機械学習のすべての領域で必須となる数学的基礎です。 本シリーズでは、一変数・多変数の微分・積分から、ベクトル場、勾配・発散・回転、線積分・面積分まで、 理論と実装（Python/NumPy/SymPy）をペアで学びます。
📋 学習目標
- 一変数・多変数関数の微分・積分を理解し、実装できる
- ベクトル場の概念と物理的意味を理解する
- 勾配・発散・回転の計算と物理的解釈ができる
- 線積分・面積分の計算と応用ができる
- NumPy/SymPyで数値微積分・記号微積分を実装できる
📖 前提知識
高校数学レベルの一変数の微分・積分と、基本的なベクトルの知識があれば学習可能です。Pythonの基本的な使い方（変数、関数、リスト）を理解していることが望ましいです。
第1章
微分の基礎と数値微分
微分の定義から、導関数の計算法則、高階導関数まで学び、NumPyによる数値微分（前進差分、中心差分、Richardson外挿）を実装します。 材料物性の温度依存性や反応速度解析への応用も紹介します。
微分の定義 導関数 数値微分 高階導関数 NumPy実装
💻 7コード例 ⏱️ 18-22分
第2章
積分の基礎と数値積分
定積分の定義、不定積分の計算法、積分と微分の関係（微積分の基本定理）を学び、台形則・Simpson則やSciPyの適応型求積などの数値積分法を実装します。 熱量計算や広義積分・特異点をもつ積分への応用も扱います。
定積分・不定積分 基本定理 台形則 Simpson則 SciPy実装
💻 7コード例 ⏱️ 18-22分
第3章
多変数関数の微積分
偏微分、全微分と連鎖律、勾配を学び、多変数関数の極値問題（勾配降下法、ラグランジュの未定乗数法）を扱います。 二重積分と極座標への変数変換も実装します。
偏微分 全微分 連鎖律 勾配 二重積分 極値問題
💻 7コード例 ⏱️ 18-22分
第4章
ベクトル場と微分演算子
ベクトル場の概念、勾配（grad）・発散（div）・回転（rot）の定義と物理的意味を学びます。 ラプラシアン、ベクトル場の可視化、保存場とポテンシャル関数の判定を実装します。
ベクトル場 勾配（grad） 発散（div） 回転（rot） ラプラシアン
💻 7コード例 ⏱️ 18-22分
第5章
線積分・面積分と積分定理
線積分（スカラー場・ベクトル場）、面積分（スカラー場・ベクトル場）の計算法を学びます。 Greenの定理、Gaussの発散定理、Stokesの定理を理解し、連続の式を用いた原子拡散への応用を実装します。
線積分 面積分 Greenの定理 発散定理 Stokesの定理
💻 7コード例 ⏱️ 18-22分
免責事項
- 本コンテンツは教育・研究・情報提供のみを目的としており、専門的な助言(法律・会計・技術的保証など)を提供するものではありません。
- 本コンテンツおよび付随するCode examplesは「現状有姿(AS IS)」で提供され、明示または黙示を問わず、商品性、特定目的適合性、権利非侵害、正確性・完全性、動作・安全性等いかなる保証もしません。
- 外部リンク、第三者が提供するデータ・ツール・ライブラリ等の内容・可用性・安全性について、作成者および東北大学は一切の責任を負いません。
- 本コンテンツの利用・実行・解釈により直接的・間接的・付随的・特別・結果的・懲罰的損害が生じた場合でも、適用法で許容される最大限の範囲で、作成者および東北大学は責任を負いません。
- 本コンテンツの内容は、予告なく変更・更新・提供停止されることがあります。
- 本コンテンツの著作権・ライセンスは明記された条件(例: CC BY 4.0)に従います。当該ライセンスは通常、無保証条項を含みます。