第3章: 多変数関数の微積分

Multivariable Calculus

📖 読了時間: 20-25分 📊 難易度: 初級 💻 コード例: 0個 📝 演習問題: 0問

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基礎数理道場 > 微積分とベクトル解析入門 > 第3章

3.1 偏微分と全微分

📐 定義: 偏微分
多変数関数 f(x, y) の x に関する偏微分は： $$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$$ 他の変数を固定して、1つの変数のみで微分します。

💻 コード例1: 偏微分の数値計算

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

def f(x, y):
    """2変数関数: f(x,y) = x² + xy + y²"""
    return x**2 + x*y + y**2

def partial_x(f, x, y, h=1e-5):
    """∂f/∂x の数値計算"""
    return (f(x+h, y) - f(x-h, y)) / (2*h)

def partial_y(f, x, y, h=1e-5):
    """∂f/∂y の数値計算"""
    return (f(x, y+h) - f(x, y-h)) / (2*h)

# 点 (1, 2) での偏微分
x0, y0 = 1, 2
df_dx = partial_x(f, x0, y0)
df_dy = partial_y(f, x0, y0)

print(f"点 ({x0}, {y0}) における偏微分:")
print(f"∂f/∂x = {df_dx:.6f} (解析解: {2*x0 + y0})")
print(f"∂f/∂y = {df_dy:.6f} (解析解: {x0 + 2*y0})")

# 3D可視化
x = np.linspace(-3, 3, 50)
y = np.linspace(-3, 3, 50)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = f(X, Y)

fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, Z, alpha=0.7, cmap='viridis')
ax.scatter([x0], [y0], [f(x0, y0)], color='red', s=100)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('f(x,y)')
ax.set_title('f(x,y) = x² + xy + y²')
plt.show()

💻 コード例2: SymPyによる偏微分

import sympy as sp

x, y, z = sp.symbols('x y z')

# 様々な多変数関数の偏微分
f1 = x**2 + y**2
f2 = x*sp.exp(y)
f3 = sp.sin(x*y)
f4 = x**2 * y + y**2 * z + z**2 * x

functions = [f1, f2, f3, f4]

print("偏微分の例:")
for f in functions:
    print(f"\nf = {f}")
    # free_symbolsは集合なので反復順が不定。sorted()で出力順を再現可能にする
    for var in sorted(f.free_symbols, key=str):
        print(f"  ∂f/∂{var} = {sp.diff(f, var)}")

📐 全微分と連鎖律

偏微分は1つの軸方向だけのfの変化を測るものです。すべての変数が同時に変化するとき、 fの1次の変化量は全微分で与えられます： $$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$$ これは Δf = f(x+Δx, y+Δy) − f(x, y) の線形近似であり、無視した項は (Δx, Δy) について2次の大きさです。

変数自身がパラメータ t に依存する場合、すなわち x = x(t), y = y(t) のとき、 全微分を dt で割ると多変数関数の連鎖律が得られます： $$\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$ これはスカラー場の中の経路に沿ってfを微分するための規則であり、 第5章の線積分やニューラルネットワークの誤差逆伝播が依拠しているのはまさにこの規則です。

import numpy as np

def f(x, y):
    """f(x, y) = x² + xy + y²"""
    return x**2 + x*y + y**2

# --- 全微分: df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy ---
x0, y0 = 1.0, 2.0
fx, fy = 2*x0 + y0, x0 + 2*y0       # (1, 2)での偏微分: 4.0 と 5.0
dx, dy = 0.01, -0.02

df_linear = fx*dx + fy*dy                      # 1次（線形）の見積もり
df_actual = f(x0 + dx, y0 + dy) - f(x0, y0)    # 実際の変化量

print(f"df (全微分)       = {df_linear:.6f}")
print(f"Δf (実際の変化)   = {df_actual:.6f}")
print(f"差（2次の項）     = {abs(df_actual - df_linear):.2e}")

# --- 連鎖律: x = cos(t), y = sin(t) ---
def df_dt_chain(t):
    x, y = np.cos(t), np.sin(t)
    return (2*x + y)*(-np.sin(t)) + (x + 2*y)*np.cos(t)

t0, h = 0.7, 1e-6
df_dt_numeric = (f(np.cos(t0+h), np.sin(t0+h)) - f(np.cos(t0-h), np.sin(t0-h))) / (2*h)

print(f"\ndf/dt (連鎖律)    = {df_dt_chain(t0):.6f}")
print(f"df/dt (中心差分)  = {df_dt_numeric:.6f}")

実行結果:

df (全微分)       = -0.060000
Δf (実際の変化)   = -0.059700
差（2次の項）     = 3.00e-04

df/dt (連鎖律)    = 0.169967
df/dt (中心差分)  = 0.169967

3.2 勾配と勾配降下法

📐 定義: 勾配
スカラー場 f(x, y, z) の勾配は偏微分を成分とするベクトル： $$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$$ 勾配ベクトルは関数が最も急激に増加する方向を示します。

💻 コード例3: 勾配降下法の実装

def gradient(f, x, y, h=1e-5):
    """勾配ベクトルの数値計算"""
    grad_x = (f(x+h, y) - f(x-h, y)) / (2*h)
    grad_y = (f(x, y+h) - f(x, y-h)) / (2*h)
    return np.array([grad_x, grad_y])

def gradient_descent(f, x0, y0, learning_rate=0.1, n_iter=50):
    """勾配降下法による最小値探索"""
    path = [(x0, y0)]
    x, y = x0, y0

    for i in range(n_iter):
        grad = gradient(f, x, y)
        x -= learning_rate * grad[0]
        y -= learning_rate * grad[1]
        path.append((x, y))

    return np.array(path)

# f(x,y) = x² + y² の最小値を探索
f_simple = lambda x, y: x**2 + y**2
path = gradient_descent(f_simple, x0=3, y0=2, learning_rate=0.2, n_iter=20)

print("勾配降下法による最小値探索:")
print(f"開始点: ({path[0,0]:.2f}, {path[0,1]:.2f})")
print(f"終了点: ({path[-1,0]:.6f}, {path[-1,1]:.6f})")
print(f"最小値: f = {f_simple(path[-1,0], path[-1,1]):.6f}")

# 可視化
x = np.linspace(-3, 3, 100)
y = np.linspace(-3, 3, 100)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = f_simple(X, Y)

plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.contour(X, Y, Z, levels=20, cmap='viridis', alpha=0.6)
plt.colorbar(label='f(x,y)')
plt.plot(path[:,0], path[:,1], 'ro-', linewidth=2, markersize=6)
plt.scatter([path[0,0]], [path[0,1]], color='green', s=150, marker='*', label='開始点')
plt.scatter([path[-1,0]], [path[-1,1]], color='red', s=150, marker='*', label='終了点')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('勾配降下法による最適化')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()

3.3 ラグランジュの未定乗数法

📐 定理: ラグランジュの未定乗数法
制約条件 g(x, y) = 0 の下で f(x, y) を最適化する問題は、 ラグランジュ関数 L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y) の停留点を求めることに帰着されます。

💻 コード例4: 制約付き最適化問題

from scipy.optimize import minimize

# 問題: x² + y² を最小化、制約 x + y = 1
def objective(X):
    x, y = X
    return x**2 + y**2

def constraint(X):
    x, y = X
    return x + y - 1  # x + y = 1

# 制約条件を辞書形式で指定
cons = {'type': 'eq', 'fun': constraint}

# 最適化実行
x0 = [0, 0]  # 初期値
result = minimize(objective, x0, method='SLSQP', constraints=cons)

print("制約付き最適化の結果:")
print(f"最適解: x = {result.x[0]:.6f}, y = {result.x[1]:.6f}")
print(f"最小値: f = {result.fun:.6f}")
print(f"制約確認: x + y = {result.x[0] + result.x[1]:.6f}")

# 解析解との比較（この問題の解析解は x = y = 0.5）
print(f"\n解析解: x = y = 0.5, f = 0.5")
print(f"誤差: {abs(result.x[0] - 0.5):.2e}")

3.4 二重積分と極座標

💻 コード例5: 二重積分の数値計算

from scipy import integrate

# ∫∫_D xy dxdy, D: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2
def integrand(y, x):
    """被積分関数 f(x,y) = xy"""
    return x * y

# dblquad: 二重積分
result, error = integrate.dblquad(integrand,
                                   0, 1,      # x の範囲
                                   0, 2)      # y の範囲

print("二重積分の計算:")
print(f"∫₀¹ ∫₀² xy dy dx = {result:.6f}")
print(f"解析解: [x²/2]₀¹ · [y²/2]₀² = 0.5 · 2 = 1.0")
print(f"推定誤差: {error:.2e}")

💻 コード例6: 極座標変換による二重積分

# 円盤 x² + y² ≤ 1 上での ∫∫ (x² + y²) dxdy
# 極座標変換: x = r cos θ, y = r sin θ, dxdy = r dr dθ

def integrand_polar(theta, r):
    """極座標での被積分関数: r² · r = r³"""
    return r**3

# 積分範囲: 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π
result, error = integrate.dblquad(integrand_polar,
                                   0, 1,           # r の範囲
                                   0, 2*np.pi)     # θ の範囲

print("\n極座標変換による二重積分:")
print(f"∫∫_D (x² + y²) dxdy = {result:.6f}")
print(f"解析解: ∫₀^2π dθ ∫₀¹ r³ dr = 2π · [r⁴/4]₀¹ = π/2 ≈ {np.pi/2:.6f}")
print(f"誤差: {abs(result - np.pi/2):.2e}")

実行結果:

極座標変換による二重積分:
∫∫_D (x² + y²) dxdy = 1.570796
解析解: ∫₀^2π dθ ∫₀¹ r³ dr = 2π · [r⁴/4]₀¹ = π/2 ≈ 1.570796
誤差: 2.22e-16

💻 コード例7: 材料科学への応用（ドーズ量分布の積分）

# 円形ウェハ上の不純物ドーズ量分布
# 単位に注意: 注入ドーズ量は面密度 [atoms/cm²] なので、
# ウェハ面積 [cm²] 上で積分すると純粋な原子数になる。
# （体積濃度 [atoms/cm³] を面積で積分すると atoms ではなく atoms/cm が残る。）
def dose(r, theta):
    """
    面密度ドーズ量分布 D(r,θ) [atoms/cm²]
    中心から離れるほどドーズ量が減少
    """
    r_max = 5.0  # ウェハ半径 [cm]
    D0 = 1e15    # 中心ドーズ量 [atoms/cm²]
    return D0 * np.exp(-r**2 / r_max**2)

# ウェハ全体の不純物原子数を計算
R = 5.0  # ウェハ半径 [cm]

def integrand_dose(theta, r):
    return dose(r, theta) * r  # ヤコビアン r を掛ける（dA = r dr dθ）

total_atoms, error = integrate.dblquad(integrand_dose,
                                        0, R,
                                        0, 2*np.pi)

print("\n材料科学への応用:")
print(f"ウェハ半径: {R} cm")
print(f"中心ドーズ量: {1e15:.2e} atoms/cm²")
print(f"総不純物原子数: {total_atoms:.4e} atoms")
print(f"平均ドーズ量: {total_atoms / (np.pi * R**2):.4e} atoms/cm²")

# 濃度分布の可視化
r_plot = np.linspace(0, R, 100)
theta_plot = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
R_grid, Theta_grid = np.meshgrid(r_plot, theta_plot)
C_grid = dose(R_grid, Theta_grid)

# 極座標をデカルト座標に変換
X_grid = R_grid * np.cos(Theta_grid)
Y_grid = R_grid * np.sin(Theta_grid)

plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.contourf(X_grid, Y_grid, C_grid, levels=20, cmap='hot')
plt.colorbar(label='ドーズ量 (atoms/cm²)')
plt.xlabel('x (cm)')
plt.ylabel('y (cm)')
plt.title('ウェハ上の不純物ドーズ量分布')
plt.axis('equal')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()

実行結果:

材料科学への応用:
ウェハ半径: 5.0 cm
中心ドーズ量: 1.00e+15 atoms/cm²
総不純物原子数: 4.9647e+16 atoms
平均ドーズ量: 6.3212e+14 atoms/cm²

閉形式でも確認できます: 2πD₀·(r_max²/2)·(1 − e⁻¹) = 4.9647e+16 atoms、平均ドーズ量は D₀(1 − e⁻¹) = 6.3212e+14 atoms/cm²。

まとめ

← 第2章: 積分の基礎 第4章: ベクトル場 →（準備中）

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