Numerical Methods for PDEs in Materials Processes
偏微分方程式の数値解法は、材料プロセスにおける熱伝導、拡散、流体現象をシミュレーションするための必須技術です。 本シリーズでは、有限差分法、Crank-Nicolson法、有限要素法、スペクトル法の理論と安定性解析を学び、 熱処理やPhase-Fieldモデルなどの材料プロセスシミュレーションをPythonで実装します。
偏微分方程式と数値解析の基礎知識が必要です。Pythonの基本的な使い方を理解していることが望ましいです。
偏微分方程式を差分方程式に離散化する有限差分法の基礎を学びます。FTCS法（前進時間中心空間）とBTCS法（後退時間中心空間）を導出し、 von Neumann安定性解析とCFL条件による安定性評価を実装します。熱伝導方程式への応用も扱います。
陰的法と陽的法の長所を組み合わせたCrank-Nicolson法を学びます。無条件安定性の証明、精度の理論的評価を行い、 Alternating Direction Implicit (ADI)法による2次元熱方程式の効率的解法と境界条件の処理を実装します。
複雑な領域や境界条件に対応できる有限要素法を学びます。Galerkin法の変分原理から、形状関数の構成、要素分割、 剛性行列の組み立てまで理解し、1次元・2次元Poisson方程式をPythonで解きます。
高精度なスペクトル法（Fourier法、Chebyshev法、擬スペクトル法）と確率論的アプローチのKinetic Monte Carlo法を学びます。 周期境界条件や非周期境界条件に対応し、拡散方程式や反応拡散系への応用を実装します。
PDEの数値解法を材料プロセスに応用します。熱処理シミュレーション、Phase-Fieldモデルによる凝固過程の解析、 拡散シミュレーション（Fick方程式）など、実践的な材料プロセスシミュレーションをPythonで実装します。