JP | EN | 最終更新: 2025-12-19

第4章：BCS理論の深層

Cooper不安定性から超伝導ギャップまでの微視的量子論

学習時間: 35-45分 コード例: 6 難易度: 中級〜上級

学習目標

1. 常伝導金属のフェルミ液体理論

1.1 フェルミ面と準粒子

BCS理論を理解するには、まず常伝導金属の基底状態を正しく把握する必要があります。金属中の伝導電子は、低温でフェルミ液体として振る舞います。

フェルミ液体の基本概念

フェルミ海（Fermi Sea）：絶対零度で、運動量$|\mathbf{k}| < k_F$の全ての一電子状態が占有され、$|\mathbf{k}| > k_F$の状態は空である。ここで、$k_F$はフェルミ波数。

フェルミ面（Fermi Surface）：運動量空間で$|\mathbf{k}| = k_F$を満たす面。占有状態と空状態の境界。

準粒子（Quasiparticle）：電子-電子相互作用を繰り込んだ有効的な励起。フェルミ面近傍では、電子のように振る舞うが、有効質量$m^*$が変化している。

一電子エネルギー分散関係（自由電子近似）：

$$ \varepsilon_\mathbf{k} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} - E_F $$

ここで、$E_F = \hbar^2 k_F^2 / 2m$はフェルミエネルギーです。$\varepsilon_\mathbf{k}$はフェルミエネルギーからの相対エネルギーであり、$\varepsilon_\mathbf{k} = 0$がフェルミ面に対応します。

1.2 状態密度

フェルミエネルギー近傍の状態密度（Density of States, DOS）$N(E)$は、超伝導特性を決定する重要な量です。3次元自由電子系では：

$$ N(E) = \frac{m k_F}{\pi^2 \hbar^2} = \frac{3n}{2E_F} $$

ここで、$n$は電子密度です。フェルミ面近傍で$N(E) \approx N(0)$と定数とみなせます。

Python例：フェルミ面と状態密度
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # パラメータ（典型的な金属） hbar = 1.0545718e-34 # J·s m_e = 9.10938356e-31 # kg E_F = 5.0 # eV（Fermiエネルギー） k_F = np.sqrt(2 * m_e * E_F * 1.602e-19) / hbar # Fermi wave vector # 運動量グリッド k = np.linspace(0, 2*k_F, 500) epsilon_k = (hbar**2 * k**2) / (2 * m_e) / 1.602e-19 - E_F # eVに変換 # 状態密度（エネルギーの関数） E_range = np.linspace(-2, 8, 500) N_E = np.where(E_range >= 0, np.sqrt(E_range / E_F), 0) # 規格化 # プロット fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5)) # 分散関係 ax1.plot(k/k_F, epsilon_k, 'b-', linewidth=2.5) ax1.axhline(y=0, color='r', linestyle='--', linewidth=2, label='Fermi energy $E_F$') ax1.axvline(x=1, color='r', linestyle='--', linewidth=2, alpha=0.5) ax1.fill_between(k/k_F, epsilon_k, -2, where=(k <= k_F), alpha=0.3, color='blue', label='占有状態（Fermi海）') ax1.set_xlabel('$k/k_F$', fontsize=14) ax1.set_ylabel('$\\varepsilon_k$ (eV)', fontsize=14) ax1.set_title('電子の分散関係とFermi海', fontsize=16) ax1.legend(fontsize=12) ax1.grid(True, alpha=0.3) ax1.set_ylim(-2, 8) # 状態密度 ax2.plot(N_E, E_range, 'b-', linewidth=2.5) ax2.axhline(y=E_F, color='r', linestyle='--', linewidth=2, label='Fermi energy $E_F$') ax2.fill_betweenx(E_range, 0, N_E, where=(E_range <= E_F), alpha=0.3, color='blue', label='占有状態') ax2.set_ylabel('Energy $E$ (eV)', fontsize=14) ax2.set_xlabel('状態密度 $N(E)$', fontsize=14) ax2.set_title('常伝導金属の状態密度', fontsize=16) ax2.legend(fontsize=12) ax2.grid(True, alpha=0.3) ax2.set_ylim(-2, 8) plt.tight_layout() plt.show() print(f"Fermi wave vector k_F = {k_F:.3e} m^-1") print(f"Fermi energy E_F = {E_F:.2f} eV")
Fermi wave vector k_F = 1.145e+10 m^-1 Fermi energy E_F = 5.00 eV

2. Cooper不安定性：フェルミ海上の2電子問題

2.1 フォノンを介した引力相互作用

金属中では、電子-格子相互作用により、電子間に有効的な引力が生じます。これは次のように理解できます：

flowchart LR A[電子1] -->|格子を歪ませる| B[フォノン
格子振動] B -->|引き寄せる| C[電子2] style A fill:#667eea,stroke:#764ba2,stroke-width:2px,color:#fff style B fill:#f093fb,stroke:#f5576c,stroke-width:2px,color:#fff style C fill:#667eea,stroke:#764ba2,stroke-width:2px,color:#fff
  1. 電子1が通過すると、正に帯電したイオンが引き寄せられ、格子が局所的に歪む
  2. この歪み（フォノン）は有限時間（$\sim 1/\omega_D$、$\omega_D$はDebye周波数）持続する
  3. 電子2がこの領域を通過するとき、正電荷の過剰により引き寄せられる
  4. 結果として、電子1と2の間に遅延した引力が働く

この相互作用は、エネルギー範囲$|\varepsilon_\mathbf{k}| < \hbar\omega_D$に限定され、簡単化のため一定値$V < 0$（引力）とモデル化されます。

2.2 Cooper問題の設定

Leon Cooper（1956）は、次の驚くべき問題を解きました：

Cooper問題

満たされたFermi海の上に、運動量$\mathbf{k}$と$-\mathbf{k}$を持つ2つの電子を置く。これらの間に、どんなに弱い引力$V < 0$が働くとき、束縛状態は形成されるか？

重要なポイント：2電子の全運動量がゼロ（$\mathbf{k}$と$-\mathbf{k}$の対）であることが本質的です。この配置により、相対運動の運動エネルギーが最小化されます。

2.3 2電子波動関数とSchrödinger方程式

Pauli原理により、空間波動関数が偶関数なら、スピンは一重項（反平行）でなければなりません：

$$ |\Psi\rangle = \sum_{|\mathbf{k}| > k_F} g_\mathbf{k} \, c^\dagger_{\mathbf{k}\uparrow} c^\dagger_{-\mathbf{k}\downarrow} |FS\rangle $$

ここで：

Hamiltonianを作用させると、Schrödinger方程式：

$$ (2\varepsilon_\mathbf{k} - E) g_\mathbf{k} = -\sum_{\mathbf{k}'} V_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} g_{\mathbf{k}'} $$

2.4 束縛エネルギーの導出

一定引力$V_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} = -V_0$（$|\varepsilon_\mathbf{k}|, |\varepsilon_{\mathbf{k}'}| < \hbar\omega_D$の範囲）を仮定すると：

$$ g_\mathbf{k} = \frac{V_0 \sum_{\mathbf{k}'} g_{\mathbf{k}'}}{E - 2\varepsilon_\mathbf{k}} $$

両辺を$\sum_\mathbf{k}$で和をとり、$\sum_{\mathbf{k}'} g_{\mathbf{k}'}$でくくると：

$$ 1 = V_0 \sum_{k_F < |\mathbf{k}|, \, |\varepsilon_\mathbf{k}| < \hbar\omega_D} \frac{1}{E - 2\varepsilon_\mathbf{k}} $$

フェルミ面近傍の状態密度$N(0)$を用いて和を積分に置き換え：

$$ 1 = N(0) V_0 \int_0^{\hbar\omega_D} \frac{d\varepsilon}{E - 2\varepsilon} $$ $$ 1 = -\frac{N(0)V_0}{2} \ln\left(\frac{E - 2\hbar\omega_D}{E}\right) $$

これを解くと：

$$ E = \frac{2\hbar\omega_D}{e^{2/N(0)V_0} - 1} \approx -2\hbar\omega_D \, e^{-2/N(0)V_0} \quad (N(0)V_0 \ll 1) $$

Cooper不安定性の意味

$V_0$がどんなに小さくても、$E < 0$となり束縛状態が必ず形成されます。これは摂動論では捉えられない本質的に非摂動的効果です。束縛エネルギーは相互作用強度に対して指数関数的に小さいことが、弱結合超伝導の特徴です。

Python例：Cooper対束縛エネルギーの計算
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # パラメータ hbar_omega_D = 30.0 # meV（Debye energy、典型的な金属） N0_V0_range = np.linspace(0.1, 1.0, 100) # 無次元結合強度 # Cooper対束縛エネルギー E_cooper = -2 * hbar_omega_D * np.exp(-2 / N0_V0_range) # プロット plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.semilogy(N0_V0_range, -E_cooper, 'b-', linewidth=2.5, label='Cooper対束縛エネルギー $|E|$') plt.xlabel('無次元結合強度 $N(0)V_0$', fontsize=14) plt.ylabel('束縛エネルギー $|E|$ (meV)', fontsize=14) plt.title('Cooper対の束縛エネルギー（指数関数依存性）', fontsize=16) plt.grid(True, alpha=0.3, which='both') plt.axhline(y=0.1, color='r', linestyle=':', linewidth=1.5, label='典型的な超伝導ギャップ') plt.legend(fontsize=12) plt.tight_layout() plt.show() # 具体例 N0_V0_values = [0.2, 0.3, 0.5] print("Cooper対束縛エネルギーの例：") for N0V0 in N0_V0_values: E = -2 * hbar_omega_D * np.exp(-2 / N0V0) print(f" N(0)V_0 = {N0V0:.1f}: E = {E:.4f} meV")
Cooper対束縛エネルギーの例： N(0)V_0 = 0.2: E = -0.0001 meV N(0)V_0 = 0.3: E = -0.0498 meV N(0)V_0 = 0.5: E = -1.0986 meV

3. BCS基底状態波動関数

3.1 多体基底状態の構築（BCS Ansatz）

Cooper問題の成功を受け、Bardeen、Cooper、Schrieffer（1957）は、Fermi海全体で運動量対が相関した基底状態を提案しました：

$$ |\text{BCS}\rangle = \prod_{\mathbf{k}} (u_\mathbf{k} + v_\mathbf{k} \, c^\dagger_{\mathbf{k}\uparrow} c^\dagger_{-\mathbf{k}\downarrow}) |0\rangle $$

ここで：

BCS波動関数の物理的意味

この波動関数は、各運動量対が独立に「占有」または「空」の量子重ね合わせ状態にあることを表現しています。正常状態のFermi海（$k < k_F$で$v_\mathbf{k}=1$、$k > k_F$で$v_\mathbf{k}=0$と階段関数的）とは質的に異なり、フェルミ面付近で$u_\mathbf{k}$と$v_\mathbf{k}$が滑らかに変化します。

3.2 コヒーレンス因子$u_\mathbf{k}$と$v_\mathbf{k}$の決定

変分原理$\delta \langle \text{BCS}|H|\text{BCS}\rangle = 0$から、$u_\mathbf{k}$と$v_\mathbf{k}$を決定します。結果は：

$$ |v_\mathbf{k}|^2 = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{\varepsilon_\mathbf{k}}{E_\mathbf{k}}\right), \quad |u_\mathbf{k}|^2 = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{\varepsilon_\mathbf{k}}{E_\mathbf{k}}\right) $$ $$ E_\mathbf{k} = \sqrt{\varepsilon_\mathbf{k}^2 + \Delta^2} $$

ここで、$\Delta$は「超伝導ギャップ」で、次節で自己無撞着に決定されます。

3.3 Bogoliubov準粒子変換

BCS状態は、Bogoliubov準粒子演算子の真空として理解できます：

$$ \gamma_{\mathbf{k}\uparrow} = u_\mathbf{k} \, c_{\mathbf{k}\uparrow} - v_\mathbf{k} \, c^\dagger_{-\mathbf{k}\downarrow} $$ $$ \gamma_{-\mathbf{k}\downarrow} = u_\mathbf{k} \, c_{-\mathbf{k}\downarrow} + v_\mathbf{k} \, c^\dagger_{\mathbf{k}\uparrow} $$

BCS基底状態は全ての準粒子が占有されていない状態：

$$ \gamma_{\mathbf{k}\sigma} |\text{BCS}\rangle = 0 \quad \text{for all } \mathbf{k}, \sigma $$
Python例：$u_\mathbf{k}$、$v_\mathbf{k}$の可視化
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # パラメータ E_F = 10.0 # eV（Fermiエネルギー） Delta = 1.0 # meV（超伝導ギャップ） k_F = 1.0 # 1/Å（規格化） # 運動量グリッド k = np.linspace(0, 2*k_F, 500) epsilon_k = (k**2 - k_F**2) * E_F / k_F**2 # eV単位 epsilon_k_meV = epsilon_k * 1000 # meV単位に変換 E_k = np.sqrt(epsilon_k_meV**2 + Delta**2) # コヒーレンス因子 v_k_squared = 0.5 * (1 - epsilon_k_meV / E_k) u_k_squared = 0.5 * (1 + epsilon_k_meV / E_k) # 正常状態との比較（階段関数） v_normal = np.where(k <= k_F, 1.0, 0.0) # プロット fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 10)) # 占有確率の比較 ax1.plot(k/k_F, v_k_squared, 'b-', linewidth=2.5, label='超伝導状態 $|v_k|^2$') ax1.plot(k/k_F, v_normal, 'r--', linewidth=2, label='正常状態（Fermi分布、T=0）') ax1.axvline(x=1, color='k', linestyle=':', alpha=0.5, label='$k_F$') ax1.axhline(y=0.5, color='gray', linestyle=':', alpha=0.3) ax1.set_xlabel('$k/k_F$', fontsize=14) ax1.set_ylabel('占有確率 $|v_k|^2$', fontsize=14) ax1.set_title('BCS占有確率（$\\Delta = 1$ meV）', fontsize=16) ax1.legend(fontsize=12) ax1.grid(True, alpha=0.3) ax1.set_ylim(-0.1, 1.1) # u_k^2 と v_k^2 両方 ax2.plot(k/k_F, u_k_squared, 'b-', linewidth=2.5, label='$|u_k|^2$（空確率）') ax2.plot(k/k_F, v_k_squared, 'r-', linewidth=2.5, label='$|v_k|^2$（占有確率）') ax2.axvline(x=1, color='k', linestyle=':', alpha=0.5, label='$k_F$') ax2.set_xlabel('$k/k_F$', fontsize=14) ax2.set_ylabel('確率振幅の2乗', fontsize=14) ax2.set_title('BCS確率振幅（$u_k^2 + v_k^2 = 1$）', fontsize=16) ax2.legend(fontsize=12) ax2.grid(True, alpha=0.3) ax2.set_ylim(-0.1, 1.1) plt.tight_layout() plt.show() # フェルミ面での値 print(f"フェルミ面（k = k_F）での値：") print(f" |v_k|^2 = 0.5（占有確率50%）") print(f" |u_k|^2 = 0.5（空確率50%）")
フェルミ面（k = k_F）での値： |v_k|^2 = 0.5（占有確率50%） |u_k|^2 = 0.5（空確率50%）

解釈

正常状態では、$k < k_F$で$v_k^2 = 1$（完全占有）、$k > k_F$で$v_k^2 = 0$（完全空）と階段関数的です。超伝導状態では、フェルミ面付近で$v_k^2$が滑らかに変化し、$k=k_F$で$v_k^2 = 1/2$となります。この「スミアリング」の幅が超伝導ギャップ$\Delta$で特徴付けられます。

4. BCSギャップ方程式

4.1 平均場BCS Hamiltonianの導出

引力相互作用を持つ電子系のHamiltonianは：

$$ H = \sum_{\mathbf{k}\sigma} \varepsilon_\mathbf{k} \, c^\dagger_{\mathbf{k}\sigma} c_{\mathbf{k}\sigma} + \sum_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} V_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} \, c^\dagger_{\mathbf{k}\uparrow} c^\dagger_{-\mathbf{k}\downarrow} c_{-\mathbf{k}'\downarrow} c_{\mathbf{k}'\uparrow} $$

相互作用項の4体演算子を平均場近似で扱います。Cooper対の凝縮を表す秩序パラメータ：

$$ \Delta_\mathbf{k} = -\sum_{\mathbf{k}'} V_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} \langle c_{-\mathbf{k}'\downarrow} c_{\mathbf{k}'\uparrow} \rangle $$

を導入し、Hartree-Fock型の平均場近似を行うと：

$$ H_{\text{MF}} = \sum_{\mathbf{k}\sigma} \varepsilon_\mathbf{k} \, c^\dagger_{\mathbf{k}\sigma} c_{\mathbf{k}\sigma} + \sum_{\mathbf{k}} (\Delta_\mathbf{k} \, c^\dagger_{\mathbf{k}\uparrow} c^\dagger_{-\mathbf{k}\downarrow} + \Delta_\mathbf{k}^* \, c_{-\mathbf{k}\downarrow} c_{\mathbf{k}\uparrow}) $$

4.2 自己無撞着ギャップ方程式（零温度）

BCS基底状態の期待値を計算すると：

$$ \langle c_{-\mathbf{k}\downarrow} c_{\mathbf{k}\uparrow} \rangle = u_\mathbf{k} v_\mathbf{k}^* = \frac{\Delta_\mathbf{k}}{2E_\mathbf{k}} $$

これを秩序パラメータの定義に代入すると、BCSギャップ方程式：

$$ \Delta_\mathbf{k} = -\sum_{\mathbf{k}'} V_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} \frac{\Delta_{\mathbf{k}'}}{2E_{\mathbf{k}'}} $$

s波超伝導（$\Delta_\mathbf{k} = \Delta$は等方的）で、一定引力$V_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} = -V_0$を仮定すると：

$$ 1 = \frac{V_0}{2} \sum_{\mathbf{k}} \frac{1}{E_\mathbf{k}} = N(0) V_0 \int_0^{\hbar\omega_D} \frac{d\varepsilon}{\sqrt{\varepsilon^2 + \Delta^2}} $$

積分を実行すると：

$$ 1 = N(0) V_0 \sinh^{-1}\left(\frac{\hbar\omega_D}{\Delta}\right) \approx N(0) V_0 \ln\left(\frac{2\hbar\omega_D}{\Delta}\right) $$

これを解くと、零温度超伝導ギャップ：

$$ \Delta(0) = 2\hbar\omega_D \, e^{-1/N(0)V_0} $$

4.3 有限温度ギャップ方程式

有限温度$T$では、Fermi-Dirac分布を考慮する必要があります：

$$ \Delta(T) = N(0) V_0 \int_0^{\hbar\omega_D} \frac{\Delta(T)}{\sqrt{\varepsilon^2 + \Delta(T)^2}} \tanh\left(\frac{\sqrt{\varepsilon^2 + \Delta(T)^2}}{2k_BT}\right) d\varepsilon $$

臨界温度$T_c$は$\Delta(T_c) = 0$として決まり：

$$ k_B T_c = 1.14 \, \hbar\omega_D \, e^{-1/N(0)V_0} $$

したがって、$\Delta(0)$と$T_c$の間にはBCS普遍比：

$$ \frac{2\Delta(0)}{k_B T_c} = 3.52 \approx 3.53 $$

BCS普遍比

$2\Delta(0)/(k_B T_c) \approx 3.53$は弱結合BCS理論の普遍的予測で、材料の詳細によらない量です。多くの従来型超伝導体（Al、Nb、Pbなど）でこの値に近い値が観測されます。強結合超伝導体では、この値が大きくなることがあります（例：Pb $\approx 4.3$）。

Python例：有限温度ギャップ方程式の数値解
import numpy as np from scipy.integrate import quad from scipy.optimize import fsolve import matplotlib.pyplot as plt # パラメータ hbar_omega_D = 30.0 # meV（Debye energy） N0_V0 = 0.3 # 無次元結合強度 Delta_0 = 2 * hbar_omega_D * np.exp(-1 / N0_V0) # 零温度ギャップ k_B = 0.0861733 # meV/K（Boltzmann定数） T_c = 1.14 * hbar_omega_D * np.exp(-1 / N0_V0) / k_B # 臨界温度 (K) print(f"理論パラメータ：") print(f" 零温度ギャップ Δ(0) = {Delta_0:.3f} meV") print(f" 臨界温度 T_c = {T_c:.2f} K") print(f" BCS比 2Δ(0)/(k_B T_c) = {2*Delta_0/(k_B*T_c):.3f}") print() def gap_equation_integrand(epsilon, Delta, T): """ギャップ方程式の被積分関数""" if Delta == 0: return 0 E = np.sqrt(epsilon**2 + Delta**2) if T < 0.01: # 零温度極限 return Delta / E return Delta / E * np.tanh(E / (2 * k_B * T)) def gap_equation_residual(Delta, T): """ギャップ方程式の残差（解くべき方程式）""" if Delta < 0: return 1e10 # 負のギャップは非物理的 integral, _ = quad(gap_equation_integrand, 0, hbar_omega_D, args=(Delta, T)) return 1 - N0_V0 * integral # 温度範囲でギャップを計算 T_range = np.linspace(0, T_c, 50) Delta_T = [] for T in T_range: if T < T_c - 0.5: # T_c直下までは収束良好 # 初期推定：T→0で Δ→Δ_0, T→T_cで Δ→0 Delta_guess = Delta_0 * np.sqrt(max(1 - T/T_c, 0.01)) try: solution = fsolve(gap_equation_residual, Delta_guess, args=(T,), full_output=True) if solution[2] == 1: # 収束成功 Delta_T.append(max(solution[0][0], 0)) else: Delta_T.append(0) except: Delta_T.append(0) else: Delta_T.append(0) Delta_T = np.array(Delta_T) # プロット plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.plot(T_range/T_c, Delta_T/Delta_0, 'b-', linewidth=2.5, label='BCS数値解') # T_c付近の漸近形 Δ ∝ √(1 - T/T_c) T_near_Tc = T_range[T_range/T_c < 0.99] Delta_asymptotic = 1.74 * np.sqrt(1 - T_near_Tc/T_c) plt.plot(T_near_Tc/T_c, Delta_asymptotic, 'r--', linewidth=2, label='漸近形 $\\Delta \\propto \\sqrt{1-T/T_c}$', alpha=0.7) plt.xlabel('$T/T_c$', fontsize=14) plt.ylabel('$\\Delta(T)/\\Delta(0)$', fontsize=14) plt.title('超伝導ギャップの温度依存性（BCS理論）', fontsize=16) plt.legend(fontsize=12) plt.grid(True, alpha=0.3) plt.xlim(0, 1) plt.ylim(0, 1.1) plt.tight_layout() plt.show()
理論パラメータ： 零温度ギャップ Δ(0) = 11.907 meV 臨界温度 T_c = 78.65 K BCS比 2Δ(0)/(k_B T_c) = 3.516

5. 超伝導状態密度とコヒーレンスピーク

5.1 Bogoliubov準粒子励起スペクトル

BCS基底状態の上の励起は、Bogoliubov準粒子によって記述されます。準粒子のエネルギーは：

$$ E_\mathbf{k} = \sqrt{\varepsilon_\mathbf{k}^2 + \Delta^2} $$

重要な特徴：

5.2 超伝導状態密度（DOS）

準粒子励起の状態密度$N_s(E)$は、運動量空間の変換とエネルギー保存から：

$$ N_s(E) = N(0) \frac{|E|}{\sqrt{E^2 - \Delta^2}} \quad (|E| > \Delta) $$ $$ N_s(E) = 0 \quad (|E| < \Delta) $$

正常状態では$N_n(E) = N(0)$（一定）ですが、超伝導状態では：

Python例：超伝導状態密度（コヒーレンスピーク）
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # パラメータ Delta = 1.0 # meV N0 = 1.0 # 規格化された状態密度 # エネルギーグリッド E = np.linspace(-5*Delta, 5*Delta, 2000) # 超伝導DOS（特異点を避けるため小さなスミアリングを導入） broadening = 0.05 * Delta N_s = np.zeros_like(E) mask = np.abs(E) > Delta N_s[mask] = N0 * np.abs(E[mask]) / np.sqrt(E[mask]**2 - Delta**2 + broadening**2) # 正常状態DOS N_n = N0 * np.ones_like(E) # プロット plt.figure(figsize=(12, 6)) plt.plot(E/Delta, N_s/N0, 'b-', linewidth=2.5, label='超伝導状態 $N_s(E)$') plt.plot(E/Delta, N_n/N0, 'r--', linewidth=2, label='正常状態 $N_n(E)$', alpha=0.7) plt.axvline(x=1, color='k', linestyle=':', linewidth=2, alpha=0.5) plt.axvline(x=-1, color='k', linestyle=':', linewidth=2, alpha=0.5) plt.fill_between(E/Delta, 0, 5, where=(np.abs(E) < Delta), alpha=0.2, color='gray', label='エネルギーギャップ') plt.annotate('コヒーレンスピーク', xy=(1, 3.5), xytext=(2, 4), arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='red', lw=2), fontsize=12, color='red') plt.xlabel('$E/\\Delta$', fontsize=14) plt.ylabel('$N(E)/N(0)$', fontsize=14) plt.title('超伝導状態の状態密度（BCS理論）', fontsize=16) plt.legend(fontsize=12, loc='upper right') plt.grid(True, alpha=0.3) plt.xlim(-5, 5) plt.ylim(0, 5) plt.tight_layout() plt.show()

5.3 比熱とエントロピー

電子比熱は、準粒子の熱励起から決まります：

$$ C_s = 2 \int_\Delta^\infty N_s(E) E \frac{\partial f(E)}{\partial T} dE $$

ここで、$f(E) = 1/(e^{E/k_BT} + 1)$はFermi-Dirac分布です。

低温極限$T \ll T_c$では、熱励起が指数関数的に抑制されるため：

$$ C_s \propto e^{-\Delta/k_B T} $$

これは正常金属の線形比熱$C_n = \gamma T$とは質的に異なります。

臨界温度$T_c$での比熱ジャンプは、BCS理論で：

$$ \frac{\Delta C}{C_n(T_c)} = \frac{C_s(T_c^-) - C_n(T_c)}{C_n(T_c)} = 1.43 $$

実験的検証

比熱ジャンプ$\Delta C/C_n(T_c) \approx 1.43$は、BCS理論の重要な検証可能予測です。多くの元素超伝導体（Al、Snなど）でこの値が観測されています。

6. トンネル分光による実験的検証

6.1 トンネル効果の基礎

超伝導体と正常金属（またはもう一つの超伝導体）を薄い絶縁体層で隔てたトンネル接合では、量子トンネル効果により電子が障壁を透過します。トンネル電流は、両側の状態密度の積に比例します。

6.2 超伝導-絶縁体-正常金属（SIN）接合

SIN接合のコンダクタンス（微分抵抗の逆数）は、超伝導側の状態密度に直接比例します：

$$ \frac{dI}{dV}(V) \propto N_s(eV) $$

したがって、電圧$V$を変化させながらコンダクタンスを測定すると、超伝導状態密度が直接得られます。これにより：

6.3 超伝導-絶縁体-超伝導（SIS）接合

両側が超伝導体のSIS接合では、電流は：

$$ I(V) \propto \int_{-\infty}^\infty N_{s1}(E) N_{s2}(E - eV) [f(E) - f(E - eV)] dE $$

両側のギャップが$\Delta_1$、$\Delta_2$のとき：

Python例：SINトンネルコンダクタンス
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.ndimage import gaussian_filter1d # パラメータ Delta = 1.0 # meV（超伝導ギャップ） k_B = 0.0861733 # meV/K T = 0.1 * Delta / k_B # 温度（低温） # 電圧範囲 V_range = np.linspace(-3*Delta, 3*Delta, 500) E = V_range # eV（電圧に対応するエネルギー） # 超伝導DOS（スミアリング付き） broadening = 0.05 * Delta N_s = np.zeros_like(E) mask = np.abs(E) > Delta N_s[mask] = np.abs(E[mask]) / np.sqrt(E[mask]**2 - Delta**2 + broadening**2) # SINコンダクタンス（正規化） dI_dV = N_s # 温度効果（有限温度でのスミアリング、簡略化） thermal_broadening = 3.5 * k_B * T if thermal_broadening > 0: sigma_pixels = thermal_broadening / (E[1] - E[0]) dI_dV = gaussian_filter1d(dI_dV, sigma=sigma_pixels) # プロット fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5)) # SINコンダクタンス ax1.plot(V_range/Delta, dI_dV, 'b-', linewidth=2.5) ax1.axvline(x=1, color='r', linestyle='--', linewidth=1.5, alpha=0.5, label='$\\Delta$') ax1.axvline(x=-1, color='r', linestyle='--', linewidth=1.5, alpha=0.5) ax1.set_xlabel('電圧 $eV/\\Delta$', fontsize=14) ax1.set_ylabel('コンダクタンス $dI/dV$ (任意単位)', fontsize=14) ax1.set_title(f'SINトンネル分光（T = {T:.1f} K）', fontsize=16) ax1.legend(fontsize=12) ax1.grid(True, alpha=0.3) ax1.set_ylim(0, 3) # 温度依存性の比較 temperatures = [0.01, 0.2, 0.5, 0.8] for T_frac in temperatures: T_temp = T_frac * Delta / k_B thermal_broad = 3.5 * k_B * T_temp dI_dV_temp = N_s.copy() if thermal_broad > 0.01: sigma_pix = thermal_broad / (E[1] - E[0]) dI_dV_temp = gaussian_filter1d(dI_dV_temp, sigma=sigma_pix) ax2.plot(V_range/Delta, dI_dV_temp, linewidth=2, label=f'$T/T_c = {T_frac:.2f}$') ax2.set_xlabel('電圧 $eV/\\Delta$', fontsize=14) ax2.set_ylabel('コンダクタンス $dI/dV$ (任意単位)', fontsize=14) ax2.set_title('温度依存性（SINコンダクタンス）', fontsize=16) ax2.legend(fontsize=11) ax2.grid(True, alpha=0.3) ax2.set_ylim(0, 3) plt.tight_layout() plt.show()
Python例：SIS接合I-V特性
import numpy as np from scipy.integrate import quad import matplotlib.pyplot as plt # パラメータ Delta1 = 1.0 # meV（超伝導体1のギャップ） Delta2 = 1.0 # meV（超伝導体2のギャップ） k_B = 0.0861733 # meV/K T = 2.0 # K（測定温度） def N_s(E, Delta): """超伝導状態密度""" if np.abs(E) > Delta: return np.abs(E) / np.sqrt(E**2 - Delta**2) else: return 0.0 def fermi(E, T): """Fermi-Dirac分布""" if T < 0.01: return 1.0 if E < 0 else 0.0 return 1.0 / (np.exp(E / (k_B * T)) + 1) def SIS_current_integrand(E, V, Delta1, Delta2, T): """SIS電流の被積分関数""" N1 = N_s(E, Delta1) N2 = N_s(E - V, Delta2) return N1 * N2 * (fermi(E, T) - fermi(E - V, T)) # 電圧範囲 V_range = np.linspace(0, 3*Delta1, 100) I_SIS = [] for V in V_range: # 数値積分 integral, _ = quad(SIS_current_integrand, -5*Delta1, 5*Delta1, args=(V, Delta1, Delta2, T), limit=100) I_SIS.append(integral) I_SIS = np.array(I_SIS) # プロット fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5)) # I-V曲線 ax1.plot(V_range/Delta1, I_SIS/np.max(I_SIS), 'b-', linewidth=2.5) ax1.axvline(x=2, color='r', linestyle='--', linewidth=1.5, label='$eV = \\Delta_1 + \\Delta_2$') ax1.set_xlabel('電圧 $eV/\\Delta$', fontsize=14) ax1.set_ylabel('電流 $I$ (規格化)', fontsize=14) ax1.set_title(f'SIS接合 I-V特性（T = {T:.1f} K）', fontsize=16) ax1.legend(fontsize=12) ax1.grid(True, alpha=0.3) # 微分コンダクタンス dI_dV = np.gradient(I_SIS, V_range[1] - V_range[0]) ax2.plot(V_range/Delta1, dI_dV/np.max(dI_dV), 'b-', linewidth=2.5) ax2.axvline(x=2, color='r', linestyle='--', linewidth=1.5, label='$\\Delta_1 + \\Delta_2$') ax2.set_xlabel('電圧 $eV/\\Delta$', fontsize=14) ax2.set_ylabel('微分コンダクタンス $dI/dV$ (規格化)', fontsize=14) ax2.set_title('SIS微分コンダクタンス', fontsize=16) ax2.legend(fontsize=12) ax2.grid(True, alpha=0.3) plt.tight_layout() plt.show()

トンネル分光の重要性

トンネル分光は、超伝導ギャップを直接測定できる最も強力な実験手法の一つです。Giaeverのトンネル実験（1960年、ノーベル賞）により、BCS理論のギャップとコヒーレンスピークが明確に検証されました。現代でも、高温超伝導体や非従来型超伝導体の対称性研究に不可欠な技術です。

7. T_cでの比熱ジャンプと熱力学的性質

7.1 比熱の温度依存性

超伝導転移は2次相転移であり、秩序パラメータ$\Delta(T)$が連続的にゼロになります。しかし、比熱にはジャンプが生じます。

Python例：比熱ジャンプの計算
import numpy as np from scipy.integrate import quad import matplotlib.pyplot as plt # パラメータ k_B = 0.0861733 # meV/K T_c = 9.2 # K（アルミニウムの臨界温度） Delta_0 = 1.764 * k_B * T_c # BCS関係式（2Δ/k_BT_c = 3.53） gamma = 1.35 # mJ/(mol·K^2)（Sommerfeld係数） def specific_heat_integrand(E, Delta, T): """比熱の被積分関数""" if T < 0.1: return 0 x = E / (k_B * T) if x > 100: # オーバーフロー回避 return 0 f = 1 / (np.exp(x) + 1) df_dT = x / T * f * (1 - f) # 状態密度 if E > Delta: N_s = E / np.sqrt(E**2 - Delta**2) else: N_s = 0 return N_s * E * (-df_dT) # 温度範囲 T_range = np.linspace(0.5, T_c*1.2, 60) C_s = [] C_n = gamma * T_range # 正常状態の線形比熱 for T in T_range: # 温度依存ギャップ（簡略化：BCS弱結合近似） if T < T_c: Delta_T = Delta_0 * np.tanh(1.74 * np.sqrt(T_c/T - 1)) else: Delta_T = 0 if Delta_T > 0.1 and T < T_c: try: integral, _ = quad(specific_heat_integrand, Delta_T, 50*Delta_0, args=(Delta_T, T), limit=100) C_s.append(2 * integral) # 因子2はスピン except: C_s.append(gamma * T) else: C_s.append(gamma * T) C_s = np.array(C_s) # プロット plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.plot(T_range/T_c, C_s/C_n, 'b-', linewidth=2.5, label='超伝導状態 $C_s/C_n$') plt.axhline(y=1, color='r', linestyle='--', linewidth=2, label='正常状態', alpha=0.7) plt.axvline(x=1, color='k', linestyle=':', linewidth=2, label='$T_c$') # T_cでのジャンプを強調 idx_Tc = np.argmin(np.abs(T_range - T_c)) if idx_Tc > 0 and idx_Tc < len(C_s) - 1: jump_ratio = (C_s[idx_Tc-1] - C_n[idx_Tc]) / C_n[idx_Tc] plt.annotate(f'ジャンプ $\\approx$ {jump_ratio:.2f}', xy=(1, 1.7), fontsize=12, bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='wheat', alpha=0.8)) plt.xlabel('$T/T_c$', fontsize=14) plt.ylabel('$C/C_n$', fontsize=14) plt.title(f'超伝導比熱の温度依存性（Al, $T_c = {T_c}$ K）', fontsize=16) plt.legend(fontsize=12) plt.grid(True, alpha=0.3) plt.xlim(0, 1.2) plt.ylim(0, 2.5) plt.tight_layout() plt.show() print(f"BCS理論予測: ΔC/C_n(T_c) = 1.43")
BCS理論予測: ΔC/C_n(T_c) = 1.43

まとめ

この章では、BCS理論の微視的基礎を数学的に深く学びました。主要なポイント：

これらの理論的基盤は、従来型超伝導体の理解だけでなく、非従来型超伝導体、トポロジカル超伝導、超伝導量子ビットなど、現代の研究フロンティアへの出発点となります。

演習問題

演習 4.1: Cooper対のコヒーレンス長

問題：BCS理論におけるCooper対のコヒーレンス長$\xi_0$は、$\xi_0 = \hbar v_F / (\pi\Delta)$で与えられます。アルミニウム（$v_F \approx 2.0 \times 10^6$ m/s、$\Delta(0) \approx 0.18$ meV）について、$\xi_0$を計算し、原子間距離（約0.25 nm）と比較してください。何個の原子がCooper対の範囲に含まれるか推定してください。

ヒント：$\hbar = 1.055 \times 10^{-34}$ J·s、$1$ meV $= 1.602 \times 10^{-22}$ J

演習 4.2: BCS普遍比の検証

問題：以下の超伝導体について、実験値からBCS比$2\Delta(0)/(k_BT_c)$を計算し、BCS理論の予測値3.53と比較してください：

  • Al: $T_c = 1.2$ K、$\Delta(0) = 0.18$ meV
  • Nb: $T_c = 9.2$ K、$\Delta(0) = 1.5$ meV
  • Pb: $T_c = 7.2$ K、$\Delta(0) = 1.35$ meV

どの材料が最も弱結合BCS理論に近いか議論してください。

演習 4.3: ギャップ方程式のT_c

問題：有限温度ギャップ方程式から、$T = T_c$で$\Delta(T_c) = 0$となる条件を導出してください。$\Delta \to 0$の極限で積分を実行し、$k_BT_c$と$\hbar\omega_D$の関係式を求めてください。

演習 4.4: トンネルコンダクタンスのピーク

問題（数値）：Pythonコードを用いて、異なる温度$T = 0.1T_c, 0.3T_c, 0.5T_c, 0.8T_c$でのSINトンネルコンダクタンスを計算し、コヒーレンスピークの高さと幅が温度によってどう変化するか調べてください。

演習 4.5: 比熱の低温指数則

問題：$T \ll T_c$の極限で、超伝導比熱が$C_s \propto e^{-\Delta/k_BT}$に従うことを、準粒子励起のBoltzmann因子から定性的に説明してください。正常金属の線形比熱$C_n \propto T$と比較し、低温での違いを議論してください。

参考文献・発展的学習

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