学習目標
この章を読み終えると、以下のことができるようになります：
- 「非従来型」超伝導の定義と分類基準を説明できる
- 銅酸化物におけるd波超伝導のギャップ関数とノード構造を理解できる
- MgB₂のマルチバンド超伝導と二ギャップ現象を数学的に記述できる
- 鉄系超伝導体のs±対称性とフェルミ面構造を説明できる
- トポロジカル超伝導体の基本概念とMajorana粒子物理を理解できる
- Kitaev鎖モデルを実装し、ゼロエネルギーモードを可視化できる
- 室温超伝導など最先端研究動向を理解し、将来展望を議論できる
1. 「非従来型」とは何か
1.1 フォノン以外の対形成機構
BCS理論では、Cooper対形成の起源はフォノン媒介引力でした。しかし、多くの超伝導体では異なる対形成機構が働いています：
| 対形成機構 | 代表的な系 | 特徴 |
|---|---|---|
| 電子-フォノン相互作用 | 従来型（Al, Nb, Pb） | BCS理論で記述、s波対称性 |
| スピンゆらぎ | 銅酸化物、鉄系 | 反強磁性相関が媒介、d波やs±対称性 |
| 電荷ゆらぎ | 一部の有機超伝導体 | 電荷密度波との競合 |
| 近接効果誘起 | トポロジカル絶縁体/超伝導接合 | トポロジカル超伝導の実現 |
1.2 s波以外のギャップ対称性
Cooper対の角運動量 $\ell$ による分類：
ギャップ対称性の分類
- s波（$\ell = 0$）: スピン一重項、等方的ギャップ $\Delta(\mathbf{k}) = \Delta_0$
- p波（$\ell = 1$）: スピン三重項、$\Delta(\mathbf{k}) \propto k_x + i k_y$ など
- d波（$\ell = 2$）: スピン一重項、$\Delta(\mathbf{k}) \propto \cos(k_x a) - \cos(k_y a)$
対称性の違いは、ギャップ関数の空間依存性に現れます。角度依存ARPESやトンネル分光で実験的に区別可能です。
1.3 ギャップ関数のノード
非従来型超伝導の最も顕著な特徴は、フェルミ面上にギャップがゼロになる点（ノード）が存在することです：
$$ \Delta(\mathbf{k}) = 0 \quad \text{（ノード線またはノード点）} $$
ノードの存在により、低温での熱的・電磁気的性質が従来型と大きく異なります：
| 物理量 | 従来型（フルギャップ） | d波（ノード線） |
|---|---|---|
| 比熱 $C_v(T)$ | $\propto e^{-\Delta/k_B T}$（指数関数的） | $\propto T^2$（べき乗則） |
| 侵入深さ $\lambda(T)$ | $\propto e^{-\Delta/k_B T}$ | $\propto T$（線形） |
| NMR緩和率 $1/T_1$ | $\propto e^{-\Delta/k_B T}$ | $\propto T^3$（Hebel-Slichterピークなし） |
2. 銅酸化物のd波超伝導
2.1 d波ギャップ関数
銅酸化物高温超伝導体（La₂₋ₓSrₓCuO₄、YBa₂Cu₃O₇、Bi₂Sr₂CaCu₂O₈など）では、d_{x²-y²}対称性を持つギャップ関数が実現されています：
d波ギャップ関数
$$ \Delta(\mathbf{k}) = \Delta_0 \frac{\cos(k_x a) - \cos(k_y a)}{2} $$
ここで $a$ は格子定数、$\Delta_0$ はギャップの最大値です。
2.2 ノード線の位置
ギャップがゼロとなる条件：
$$ \Delta(\mathbf{k}) = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos(k_x a) = \cos(k_y a) $$
これは $k_x = \pm k_y$ の対角線上に位置します（ブリルアンゾーンの対角方向）。これらの線上では準粒子励起のエネルギーギャップがゼロであり、低エネルギー励起が可能です。
2.3 実験的証拠
ARPES（角度分解光電子分光）
ARPESは、フェルミ面上の各点におけるギャップの大きさと対称性を直接測定できます。銅酸化物では：
- $(\pi, 0)$方向：最大ギャップ $\Delta_0 \approx 30-40$ meV
- $(\pi/2, \pi/2)$方向（対角方向）：ギャップゼロ（ノード）
- 4回回転対称性（$C_4$）を持つd_{x²-y²}パターン
位相敏感実験
Tri-crystal実験やJosephson接合を用いた実験により、ギャップ関数の符号変化が確認されています。SQUID干渉パターンは、d波対称性において半整数磁束量子のシフトを示します。
2.4 AndersonのRVB理論
P. W. Andersonは、銅酸化物の超伝導をRVB（Resonating Valence Bond）理論で説明しました：
RVB理論の核心
Mott絶縁体状態における一重項スピン対の量子共鳴状態から、ホールドープによってCooper対が形成される。対形成はスピンゆらぎ（反強磁性相関）によって媒介され、d波対称性が自然に現れる。
この理論は、ドーピング相図における超伝導と反強磁性の競合・共存を説明し、強相関電子系超伝導の理解に重要な役割を果たしました。
2.5 Pythonコード例：d波ギャップの可視化
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
# フェルミ面とd波ギャップの3D可視化
def d_wave_gap(kx, ky, delta_0=1.0, a=1.0):
"""d_{x^2-y^2}ギャップ関数"""
return delta_0 * (np.cos(kx * a) - np.cos(ky * a)) / 2
# k空間グリッド（ブリルアンゾーン）
k_range = np.linspace(-np.pi, np.pi, 200)
KX, KY = np.meshgrid(k_range, k_range)
DELTA = d_wave_gap(KX, KY)
# 2Dカラーマップ
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 6))
# (a) d波ギャップの大きさ
im1 = axes[0].contourf(KX/np.pi, KY/np.pi, DELTA, levels=20, cmap='RdBu_r')
axes[0].contour(KX/np.pi, KY/np.pi, DELTA, levels=[0], colors='black', linewidths=2)
axes[0].set_xlabel(r'$k_x / \pi$', fontsize=12)
axes[0].set_ylabel(r'$k_y / \pi$', fontsize=12)
axes[0].set_title(r'd波ギャップ: $\Delta(k) = \Delta_0[\cos(k_x a) - \cos(k_y a)]/2$',
fontsize=13, fontweight='bold')
axes[0].set_aspect('equal')
cbar1 = plt.colorbar(im1, ax=axes[0])
cbar1.set_label(r'$\Delta(\mathbf{k}) / \Delta_0$', fontsize=11)
# (b) ノード線を強調
axes[1].contourf(KX/np.pi, KY/np.pi, np.abs(DELTA), levels=20, cmap='viridis')
# ノード線（ゼロ等高線）を赤線でプロット
axes[1].contour(KX/np.pi, KY/np.pi, DELTA, levels=[0], colors='red', linewidths=3)
axes[1].plot([-1, 1], [-1, 1], 'r--', linewidth=2, label='ノード線: $k_x = k_y$')
axes[1].plot([-1, 1], [1, -1], 'r--', linewidth=2, label='ノード線: $k_x = -k_y$')
axes[1].set_xlabel(r'$k_x / \pi$', fontsize=12)
axes[1].set_ylabel(r'$k_y / \pi$', fontsize=12)
axes[1].set_title('ギャップ絶対値とノード線', fontsize=13, fontweight='bold')
axes[1].set_aspect('equal')
axes[1].legend(fontsize=9)
plt.tight_layout()
plt.show()
# 3D可視化
fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
surf = ax.plot_surface(KX/np.pi, KY/np.pi, DELTA, cmap='RdBu_r', alpha=0.9)
ax.set_xlabel(r'$k_x / \pi$', fontsize=11)
ax.set_ylabel(r'$k_y / \pi$', fontsize=11)
ax.set_zlabel(r'$\Delta(\mathbf{k}) / \Delta_0$', fontsize=11)
ax.set_title('d波ギャップの3D構造', fontsize=14, fontweight='bold')
fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=10)
plt.tight_layout()
plt.show()
print("ノード線の位置: k_x = ±k_y（ブリルアンゾーンの対角線）")
print("最大ギャップ: (±π, 0)および(0, ±π)方向")
2.6 d波超伝導体の状態密度（DOS）
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import quad
def d_wave_dos(E, Delta_0, broadening=0.05):
"""
d波超伝導体の状態密度（準粒子DOS）
ノード線付近の線形分散を考慮した解析的近似
"""
# 平均場近似でのギャップ分布を積分
# d波: ギャップが角度依存 Δ(θ) = Δ₀ cos(2θ)
def integrand(theta):
Delta_k = Delta_0 * np.abs(np.cos(2 * theta))
if abs(E) < Delta_k:
return 0.0
else:
# BCS型DOS
return abs(E) / np.sqrt(E**2 - Delta_k**2)
# 角度積分（フェルミ面周り）
result, _ = quad(integrand, 0, 2*np.pi, limit=100)
return result / (2 * np.pi) # 正規化
# エネルギー範囲
E_vals = np.linspace(-3, 3, 500)
Delta_0 = 1.0
# d波DOSの計算
dos_d_wave = np.array([d_wave_dos(E, Delta_0) for E in E_vals])
# s波DOSとの比較（参考）
def s_wave_dos(E, Delta_0):
"""従来型s波のDOS"""
if abs(E) < Delta_0:
return 0.0
else:
return abs(E) / np.sqrt(E**2 - Delta_0**2)
dos_s_wave = np.array([s_wave_dos(E, Delta_0) for E in E_vals])
# プロット
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(E_vals, dos_d_wave, linewidth=2.5, label='d波超伝導体（ノード線あり）', color='crimson')
plt.plot(E_vals, dos_s_wave, linewidth=2.5, label='s波超伝導体（フルギャップ）',
color='navy', linestyle='--')
plt.axvline(x=-Delta_0, color='gray', linestyle=':', alpha=0.5)
plt.axvline(x=Delta_0, color='gray', linestyle=':', alpha=0.5)
plt.axhline(y=1.0, color='gray', linestyle=':', alpha=0.5, label='正常状態DOS')
plt.xlabel(r'エネルギー $E / \Delta_0$', fontsize=12)
plt.ylabel(r'状態密度 $N(E) / N(0)$', fontsize=12)
plt.title('d波超伝導体の準粒子状態密度', fontsize=14, fontweight='bold')
plt.legend(fontsize=10)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.xlim(-3, 3)
plt.ylim(0, 3)
plt.tight_layout()
plt.show()
print("d波の特徴: ノード付近のゼロエネルギー状態により、E=0で有限のDOS")
print("s波の特徴: エネルギーギャップ内でDOS=0、ギャップ端でBCS特異性")
3. MgB₂のマルチバンド超伝導
3.1 結晶構造とバンド構造
MgB₂（二硼化マグネシウム）は2001年に発見された$T_c = 39$ Kの超伝導体で、金属系としては比較的高い転移温度を持ちます。その特徴は：
- 六方晶構造（AlB₂型）
- ホウ素層（honeycomb格子）が超伝導を担う
- 面内σバンドと面直πバンドの2つのフェルミ面
3.2 二ギャップ超伝導
MgB₂では、異なるバンドが独立した超伝導ギャップを持ちます：
MgB₂の二つのギャップ
- σバンドギャップ: $\Delta_\sigma \approx 7.0$ meV（大）
- πバンドギャップ: $\Delta_\pi \approx 2.5$ meV（小）
- ギャップ比: $\Delta_\sigma / \Delta_\pi \approx 2.8$
両バンドとも電子-フォノン相互作用（特にE₂g面内フォノンモード）によってCooper対形成が起こりますが、結合強度が異なるため、ギャップの大きさが異なります。
3.3 バンド間結合効果
2バンドモデルのギャップ方程式：
$$ \Delta_i = \sum_{j=\sigma,\pi} \lambda_{ij} \int_0^{\omega_c} d\omega \, N_j(0) \frac{\Delta_j(\omega)}{\sqrt{\omega^2 + \Delta_j^2}} \tanh\left(\frac{\sqrt{\omega^2 + \Delta_j^2}}{2k_B T}\right) $$
ここで $\lambda_{ij}$ はバンド間の電子-フォノン結合定数行列、$N_j(0)$ はフェルミ準位の状態密度です。バンド間結合（$\lambda_{\sigma\pi}$）により、両ギャップは連動して振る舞います。
3.4 Pythonコード例：MgB₂の二ギャップモデル
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import fsolve
def two_gap_equations(gaps, T, Delta_sigma_0, Delta_pi_0, T_c):
"""
2ギャップ方程式（簡易版）
gaps = [Δ_σ(T), Δ_π(T)]
"""
Delta_sigma, Delta_pi = gaps
# 簡略化したBCS型ギャップ方程式
# 実際にはλ_ijマトリクスと角度積分が必要
def bcs_gap_temp(Delta, Delta_0, T, T_c):
if T >= T_c:
return 0.0
else:
# 近似: Δ(T) ≈ Δ(0) * tanh(1.74 * sqrt(T_c/T - 1))
return Delta_0 * np.tanh(1.74 * np.sqrt(T_c/T - 1))
eq1 = Delta_sigma - bcs_gap_temp(Delta_sigma, Delta_sigma_0, T, T_c)
eq2 = Delta_pi - bcs_gap_temp(Delta_pi, Delta_pi_0, T, T_c)
return [eq1, eq2]
# パラメータ設定（MgB₂の実験値）
Delta_sigma_0 = 7.0 # meV
Delta_pi_0 = 2.5 # meV
T_c = 39.0 # K
# 温度範囲
T_range = np.linspace(0.1, T_c, 100)
# 各温度でのギャップ計算
Delta_sigma_T = []
Delta_pi_T = []
for T in T_range:
if T < T_c:
Delta_sigma = Delta_sigma_0 * np.tanh(1.74 * np.sqrt(T_c/T - 1))
Delta_pi = Delta_pi_0 * np.tanh(1.74 * np.sqrt(T_c/T - 1))
else:
Delta_sigma = 0.0
Delta_pi = 0.0
Delta_sigma_T.append(Delta_sigma)
Delta_pi_T.append(Delta_pi)
Delta_sigma_T = np.array(Delta_sigma_T)
Delta_pi_T = np.array(Delta_pi_T)
# プロット
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 6))
# (a) ギャップの温度依存性
ax1.plot(T_range, Delta_sigma_T, linewidth=2.5, label=r'$\Delta_\sigma$ (σバンド)', color='crimson')
ax1.plot(T_range, Delta_pi_T, linewidth=2.5, label=r'$\Delta_\pi$ (πバンド)', color='navy')
ax1.axvline(x=T_c, color='gray', linestyle='--', alpha=0.5, label=f'$T_c = {T_c}$ K')
ax1.set_xlabel('温度 $T$ (K)', fontsize=12)
ax1.set_ylabel('ギャップ $\Delta(T)$ (meV)', fontsize=12)
ax1.set_title('MgB₂の二ギャップ温度依存性', fontsize=14, fontweight='bold')
ax1.legend(fontsize=11)
ax1.grid(True, alpha=0.3)
# (b) 正規化されたギャップ
ax2.plot(T_range/T_c, Delta_sigma_T/Delta_sigma_0, linewidth=2.5,
label=r'$\Delta_\sigma(T) / \Delta_\sigma(0)$', color='crimson')
ax2.plot(T_range/T_c, Delta_pi_T/Delta_pi_0, linewidth=2.5,
label=r'$\Delta_\pi(T) / \Delta_\pi(0)$', color='navy')
ax2.axvline(x=1.0, color='gray', linestyle='--', alpha=0.5)
ax2.set_xlabel(r'規格化温度 $T / T_c$', fontsize=12)
ax2.set_ylabel(r'規格化ギャップ $\Delta(T) / \Delta(0)$', fontsize=12)
ax2.set_title('規格化された温度依存性', fontsize=14, fontweight='bold')
ax2.legend(fontsize=11)
ax2.grid(True, alpha=0.3)
ax2.set_xlim(0, 1.1)
ax2.set_ylim(0, 1.1)
plt.tight_layout()
plt.show()
print(f"σバンドギャップ (T=0): {Delta_sigma_0} meV")
print(f"πバンドギャップ (T=0): {Delta_pi_0} meV")
print(f"ギャップ比: Δ_σ/Δ_π = {Delta_sigma_0/Delta_pi_0:.2f}")
print(f"転移温度: {T_c} K")
4. 鉄系超伝導体
4.1 結晶構造とFeAs/FeSe層
2008年に発見された鉄系超伝導体（FeAs系、FeSe系）は、銅酸化物に次ぐ第二の高温超伝導体群です：
- 最高$T_c \approx 55$ K（LaFeAsO系、加圧下）
- Fe²⁺が四角格子を形成し、その上下にPn（As, P）またはCh（Se, Te）が配置
- 多バンド系：電子ポケットとホールポケットが共存
4.2 複数のフェルミ面ポケット
鉄系超伝導体のフェルミ面は非常に複雑です：
- ブリルアンゾーン中心（Γ点）: ホールポケット（2-3個）
- ゾーン境界（M点）: 電子ポケット（2個）
- ネスティング: 電子ポケットとホールポケット間の波数ベクトル $\mathbf{Q} \approx (\pi, 0)$ でのネスティング
4.3 s±対称性（ポケット間の符号変化）
鉄系超伝導体では、ギャップ関数がフェルミ面ポケット間で符号を変える「s±対称性」が有力視されています：
s±対称性
$$ \Delta(\mathbf{k}) = \begin{cases} +\Delta_h & \text{（ホールポケット上）} \\ -\Delta_e & \text{（電子ポケット上）} \end{cases} $$
全体としてはs波的（等方的）だが、ポケット間で位相が反転。この符号変化により、スピンゆらぎ（反強磁性相関）が対形成を媒介できる。
s±対称性は、不純物散乱に敏感であり、非磁性不純物によってもペア破壊が起こります（Anderson定理が破れる）。
4.4 磁性との競合
鉄系超伝導体の相図は、磁性と超伝導の競合・共存が特徴的です：
| 状態 | 特徴 | ドーピング領域 |
|---|---|---|
| 反強磁性金属 | SDW（スピン密度波）秩序 | 親化合物（アンドープ） |
| 超伝導 | s±対称性、$T_c \sim 20-55$ K | 最適ドープ付近 |
| 超伝導+磁性共存 | アンダードープ領域で観測 | 軽度ドープ |
5. トポロジカル超伝導体
5.1 バルク-境界対応
トポロジカル絶縁体と同様、トポロジカル超伝導体はバルクのトポロジカル不変量によって特徴づけられます：
バルク-境界対応
バルクのトポロジカル不変量が非自明な値を持つとき、系の境界（エッジや端）に保護されたギャップレス状態（境界モード）が必然的に現れる。
1次元p波超伝導体の場合、$\mathbb{Z}_2$不変量（Majorana数）によって分類されます。
5.2 ゼロエネルギー境界状態としてのMajorana粒子
トポロジカル超伝導体の端には、フェルミエネルギー $E = 0$ に局在したゼロエネルギーモードが現れます。この状態はMajorana準粒子として記述されます：
$$ \gamma^\dagger = \gamma \quad \text{（自己共役フェルミオン）} $$
通常のフェルミオン $c = (\gamma_1 + i\gamma_2)/2$ は2つのMajorana演算子に分解でき、トポロジカル超伝導体の両端に分離して局在します。
5.3 Kitaev鎖モデル
最もシンプルなトポロジカル超伝導モデルは、Kitaevの1次元p波超伝導鎖です：
Kitaev鎖ハミルトニアン
$$ H = -\mu \sum_j c_j^\dagger c_j - t \sum_j (c_{j+1}^\dagger c_j + \text{h.c.}) + \Delta \sum_j (c_{j+1} c_j + \text{h.c.}) $$
ここで $\mu$ は化学ポテンシャル、$t$ はホッピング、$\Delta$ はp波超伝導ギャップ（実数）です。
このモデルは、パラメータ領域 $|\mu| < 2t$ でトポロジカル相（$\mathbb{Z}_2 = 1$）を持ち、両端にMajoranaゼロモードが現れます。
5.4 Pythonコード例：Kitaev鎖のエネルギースペクトル
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.linalg import eigh
def kitaev_chain_hamiltonian(N, mu, t, Delta):
"""
Kitaev鎖のBdG（Bogoliubov-de Gennes）ハミルトニアン行列を構築
N: サイト数
mu: 化学ポテンシャル
t: ホッピング
Delta: p波ペアリング
"""
# BdGハミルトニアン（粒子-ホール空間）: 2N × 2N行列
H_BdG = np.zeros((2*N, 2*N), dtype=complex)
for j in range(N):
# 粒子部分の対角成分
H_BdG[j, j] = -mu
# ホール部分の対角成分
H_BdG[N+j, N+j] = mu
if j < N - 1:
# ホッピング項（粒子部分）
H_BdG[j, j+1] = -t
H_BdG[j+1, j] = -t
# ホッピング項（ホール部分、符号反転）
H_BdG[N+j, N+j+1] = t
H_BdG[N+j+1, N+j] = t
# p波ペアリング項（オフブロック）
H_BdG[j, N+j+1] = Delta
H_BdG[j+1, N+j] = Delta
H_BdG[N+j, j+1] = Delta
H_BdG[N+j+1, j] = Delta
return H_BdG
def analyze_kitaev_chain(N=50, t=1.0, Delta=1.0):
"""Kitaev鎖の相図解析"""
mu_values = np.linspace(-3*t, 3*t, 100)
spectra = []
for mu in mu_values:
H = kitaev_chain_hamiltonian(N, mu, t, Delta)
eigenvalues = eigh(H, eigvals_only=True)
# BdGハミルトニアンは粒子-ホール対称性により±Eペア
# 正のエネルギーのみプロット
positive_energies = eigenvalues[eigenvalues >= -1e-10]
spectra.append(positive_energies)
return mu_values, spectra
# Kitaev鎖のスペクトル計算
N_sites = 50
t = 1.0
Delta = 1.0
mu_vals, spec = analyze_kitaev_chain(N=N_sites, t=t, Delta=Delta)
# エネルギースペクトルのプロット
plt.figure(figsize=(12, 7))
for i, energies in enumerate(spec):
mu = mu_vals[i]
plt.scatter([mu]*len(energies), energies, c='navy', s=1, alpha=0.6)
# トポロジカル相の境界
plt.axvline(x=-2*t, color='red', linestyle='--', linewidth=2, label='トポロジカル相境界')
plt.axvline(x=2*t, color='red', linestyle='--', linewidth=2)
# ゼロエネルギー領域を強調
plt.axhspan(-0.05, 0.05, alpha=0.2, color='yellow', label='ゼロエネルギーモード領域')
plt.xlabel(r'化学ポテンシャル $\mu / t$', fontsize=12)
plt.ylabel(r'エネルギー $E / t$', fontsize=12)
plt.title(f'Kitaev鎖のエネルギースペクトル（N={N_sites}, Δ/t={Delta/t}）',
fontsize=14, fontweight='bold')
plt.xlim(-3*t, 3*t)
plt.ylim(-0.5, 3)
plt.legend(fontsize=10)
plt.grid(True, alpha=0.3)
# トポロジカル相とトリビアル相のラベル
plt.text(0, 2.5, 'トポロジカル相\n(Majoranaモード)', fontsize=11, ha='center',
bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='lightgreen', alpha=0.5))
plt.text(-2.5, 2.5, 'トリビアル相', fontsize=11, ha='center',
bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='lightgray', alpha=0.5))
plt.text(2.5, 2.5, 'トリビアル相', fontsize=11, ha='center',
bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='lightgray', alpha=0.5))
plt.tight_layout()
plt.show()
print(f"トポロジカル相の条件: |μ| < 2t = {2*t}")
print("トポロジカル相内でゼロエネルギーモード（Majorana端状態）が観測される")
print(f"サイト数: {N_sites}, ホッピング: t={t}, ペアリング: Δ={Delta}")
5.5 Majoranaモードの空間分布
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.linalg import eigh
def get_majorana_wavefunction(N=50, mu=-0.5, t=1.0, Delta=1.0):
"""Kitaev鎖のMajoranaゼロモードの波動関数を取得"""
H = kitaev_chain_hamiltonian(N, mu, t, Delta)
eigenvalues, eigenvectors = eigh(H)
# ゼロエネルギー付近の状態を探す
zero_mode_indices = np.where(np.abs(eigenvalues) < 0.01)[0]
if len(zero_mode_indices) >= 2:
# 最初の2つのゼロモード（両端に局在）
psi_1 = eigenvectors[:, zero_mode_indices[0]]
psi_2 = eigenvectors[:, zero_mode_indices[1]]
return psi_1[:N], psi_2[:N] # 粒子成分のみ
else:
return None, None
# トポロジカル相内でのMajoranaモード
N = 50
mu_topo = -0.5 # トポロジカル相内
t = 1.0
Delta = 1.0
psi_left, psi_right = get_majorana_wavefunction(N, mu_topo, t, Delta)
if psi_left is not None and psi_right is not None:
sites = np.arange(1, N+1)
fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(12, 10))
# 左端Majoranaモード
axes[0].bar(sites, np.abs(psi_left)**2, color='crimson', alpha=0.7)
axes[0].set_xlabel('サイト位置 $j$', fontsize=12)
axes[0].set_ylabel(r'確率密度 $|\psi(j)|^2$', fontsize=12)
axes[0].set_title('左端Majoranaゼロモード（トポロジカル相）', fontsize=13, fontweight='bold')
axes[0].grid(True, alpha=0.3)
# 右端Majoranaモード
axes[1].bar(sites, np.abs(psi_right)**2, color='navy', alpha=0.7)
axes[1].set_xlabel('サイト位置 $j$', fontsize=12)
axes[1].set_ylabel(r'確率密度 $|\psi(j)|^2$', fontsize=12)
axes[1].set_title('右端Majoranaゼロモード（トポロジカル相）', fontsize=13, fontweight='bold')
axes[1].grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()
print(f"Majoranaモードは鎖の両端に指数関数的に局在")
print(f"局在長 ξ ∝ 1/|μ| (μ=-{abs(mu_topo)} の場合)")
else:
print("トポロジカル相ではない、またはMajoranaモードが見つかりません")
5.6 候補材料
| 材料系 | 対称性 | 状況 |
|---|---|---|
| Sr₂RuO₄ | p波（スピン三重項） | 長年の候補だが、最近の実験で疑問符 |
| InAs/Al異種接合 | 近接効果誘起 | ゼロバイアスピーク観測、Majorana候補 |
| トポロジカル絶縁体/超伝導接合 | 近接効果 | 人工的トポロジカル超伝導の実現 |
| 鉄系超伝導体のボルテックス | s±対称性の渦糸コア | Majoranaバウンド状態の可能性 |
6. Majorana物理
6.1 非アーベル統計
Majoranaゼロモードは非アーベルエニオン統計に従います。2つのMajoranaモード $\gamma_i$ と $\gamma_j$ を交換（ブレイディング）すると、量子状態が非可換な変換を受けます：
$$ \gamma_i \leftrightarrow \gamma_j \quad \Rightarrow \quad |\psi\rangle \rightarrow e^{i\theta \sigma_{ij}} |\psi\rangle $$
ここで $\sigma_{ij}$ はパウリ行列、$\theta$ は幾何学的位相です。交換順序が結果に影響するため、トポロジカル量子計算の基盤となります。
6.2 トポロジカル量子計算の可能性
Majoranaモードを用いた量子ビット（トポロジカル量子ビット）の利点：
- トポロジカル保護: 局所的な摂動に対して安定
- デコヒーレンス耐性: 情報が非局所的に保存
- フォールトトレラント性: エラー訂正の負担が軽減
Majoranaブレイディングによる量子ゲート操作は、原理的にエラー率を大幅に低減できます。
6.3 実験的シグネチャ
ゼロバイアスコンダクタンスピーク（ZBCP）
トンネル分光において、Majoranaモードは $V = 0$ に鋭いコンダクタンスピークを生じます：
$$ G(V=0) = \frac{2e^2}{h} \quad \text{（量子化コンダクタンス）} $$
4π周期Josephson効果
Majoranaモードを含むJosephson接合では、超電流が位相差の $4\pi$ 周期性を示します（通常は $2\pi$）：
$$ I(\phi) = I_c \sin(\phi/2) $$
7. 最先端研究動向
7.1 室温超伝導
2020年に報告された炭素質硫黄水素化物（C-S-H系）の室温超伝導（$T_c \approx 287$ K、加圧下）は、超伝導研究の大きなマイルストーンです。ただし：
- 極高圧が必要: 約267 GPa（地球中心圧力の約半分）
- 再現性の課題: 他グループでの再現実験が進行中
- 実用化への道のり: 低圧化、材料の安定化が課題
7.2 高圧下の水素化物超伝導
水素リッチ化合物（hydrides）は、以下の理由で高い$T_c$を示します：
- 水素の軽質量 → 高いフォノン周波数 $\omega_D$
- 強い電子-フォノン結合 $\lambda$
- McMillanの公式: $T_c \propto \omega_D \exp(-1/\lambda)$
代表例：
- LaH₁₀: $T_c \approx 250$ K（170 GPa）
- YH₉: $T_c \approx 243$ K（201 GPa）
- C-S-H: $T_c \approx 287$ K（267 GPa）
7.3 ツイスト二層グラフェン
2018年、魔法角（magic angle, ~1.1°）でツイストさせた二層グラフェンで超伝導が発見されました：
- $T_c \sim 1-3$ K（低いが調整可能）
- モアレ超格子によるフラットバンド形成
- 強相関物理（Mott絶縁体、超伝導、強磁性）の制御可能なプラットフォーム
- ゲート電圧で相を連続的に制御可能
7.4 機械学習によるTc予測
マテリアルズインフォマティクスの進展により、新超伝導体の予測精度が向上しています：
- 記述子エンジニアリング: 電子状態、フォノン分散、結晶構造から特徴量を抽出
- 予測モデル: ランダムフォレスト、ニューラルネットワーク、グラフニューラルネット
- ハイスループット計算: DFTによる大規模材料スクリーニング
- ベイズ最適化: 実験フィードバックループで探索効率化
8. ギャップ対称性の総合比較
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 各種ギャップ対称性の定義
def s_wave_gap(kx, ky):
"""s波: 等方的"""
return np.ones_like(kx)
def d_wave_gap(kx, ky, a=1.0):
"""d_{x^2-y^2}波"""
return (np.cos(kx*a) - np.cos(ky*a)) / 2
def extended_s_wave_gap(kx, ky, a=1.0):
"""拡張s波（s±型）"""
return np.cos(kx*a) * np.cos(ky*a)
def p_wave_gap(kx, ky):
"""p_x + i p_y波（カイラル）"""
return (kx + 1j*ky) / np.sqrt(kx**2 + ky**2 + 1e-10)
# k空間グリッド
k = np.linspace(-np.pi, np.pi, 200)
KX, KY = np.meshgrid(k, k)
# 各対称性のギャップ
gap_s = s_wave_gap(KX, KY)
gap_d = d_wave_gap(KX, KY)
gap_s_ext = extended_s_wave_gap(KX, KY)
gap_p = np.real(p_wave_gap(KX, KY)) # 実部のみ可視化
# 4つのサブプロット
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 12))
titles = ['s波（従来型）', 'd波（銅酸化物型）', '拡張s波/s±（鉄系型）', 'p波（トポロジカル候補）']
gaps = [gap_s, gap_d, gap_s_ext, gap_p]
for ax, title, gap in zip(axes.flat, titles, gaps):
im = ax.contourf(KX/np.pi, KY/np.pi, gap, levels=20, cmap='RdBu_r')
ax.contour(KX/np.pi, KY/np.pi, gap, levels=[0], colors='black', linewidths=2)
ax.set_xlabel(r'$k_x / \pi$', fontsize=11)
ax.set_ylabel(r'$k_y / \pi$', fontsize=11)
ax.set_title(title, fontsize=12, fontweight='bold')
ax.set_aspect('equal')
plt.colorbar(im, ax=ax, fraction=0.046, pad=0.04)
plt.tight_layout()
plt.show()
print("s波: ノードなし、全方向で有限ギャップ")
print("d波: 対角線上にノード線（k_x = ±k_y）")
print("拡張s波/s±: 符号変化はあるがノードなし（鉄系）")
print("p波: 等方的だが複素位相を持つ（トポロジカル）")
まとめ
この章では、従来型BCS超伝導を超えた非従来型超伝導の豊かな世界を探求しました：
- d波超伝導（銅酸化物）: スピンゆらぎ媒介、ノード線を持つギャップ、ARPESと位相敏感実験による実証
- マルチバンド超伝導（MgB₂）: σバンドとπバンドの二ギャップ、バンド間結合効果
- 鉄系超伝導体: 複雑なフェルミ面構造、s±対称性、磁性との競合
- トポロジカル超伝導: バルク-境界対応、Majoranaゼロモード、非アーベル統計
- Kitaev鎖モデル: 最もシンプルなトポロジカル超伝導のモデル、ゼロエネルギー端状態
- 最先端研究: 室温超伝導、高圧水素化物、ツイスト二層グラフェン、機械学習予測
研究フロンティアへの接続
非従来型超伝導は、凝縮系物理学の最もアクティブな研究分野です。トポロジカル量子計算、強相関電子系の理解、新材料探索など、基礎物理から応用技術まで広範な影響を与えています。Pythonシミュレーションで学んだ概念は、最新論文を読み、研究に参加するための基盤となります。
演習問題
演習 5.1: d波ギャップの角度依存性
フェルミ面を円筒面 $k_x^2 + k_y^2 = k_F^2$ と近似し、極座標 $(k_F, \theta)$ でd波ギャップ関数を表せ。$\theta = 0, \pi/4, \pi/2$ 方向でのギャップ値を計算し、ノードの位置を確認せよ。
演習 5.2: d波超伝導体の低温比熱
ノード線を持つd波超伝導体の低温比熱が $C_v(T) \propto T^2$ となることを、状態密度の角度積分から導け。フルギャップのs波超伝導体 $C_v(T) \propto e^{-\Delta/k_B T}$ と比較せよ。
演習 5.3: MgB₂の二ギャップ方程式
簡略化した2バンドモデルで、$\lambda_{\sigma\sigma} = 1.0$, $\lambda_{\pi\pi} = 0.3$, $\lambda_{\sigma\pi} = 0.2$ の場合、両バンドのギャップ比 $\Delta_\sigma/\Delta_\pi$ を温度 $T = 0$ で見積もれ。バンド間結合の効果を議論せよ。
演習 5.4: Kitaev鎖のトポロジカル相転移
提供されたコードを用いて、$\Delta = 1.0$, $t = 1.0$ のKitaev鎖において、化学ポテンシャル $\mu$ を $-3t$ から $+3t$ まで変化させたときのゼロエネルギー固有値の数をカウントせよ。トポロジカル相転移点 $\mu = \pm 2t$ を数値的に確認せよ。
演習 5.5: Majorana局在長の見積もり
Kitaev鎖のMajoranaモードの局在長 $\xi$ は、トポロジカル相内で $\xi \sim 1/|\mu|$ でスケールすることが知られている。$\mu = -0.5, -1.0, -1.5$ （$t=1.0$, $\Delta=1.0$）の3つのケースでMajoranaモードの空間分布をプロットし、局在長の変化を確認せよ。
演習 5.6（発展）: s±対称性の符号問題
鉄系超伝導体のs±対称性では、ギャップ関数が異なるフェルミ面ポケット間で符号を変える。この符号変化により、非磁性不純物散乱がCooper対破壊を引き起こすことを、Anderson定理の破れとして説明せよ。s波超伝導体との違いを議論せよ。