第5章: 実材料のフォノン

1. イントロダクション

これまでの章では、フォノンの理論的基礎を学んできました。本章では、実際の材料におけるフォノンの振る舞いと、 それを測定・計算する手法について学びます。材料の種類（金属、半導体、絶縁体）によって、フォノン特性は大きく異なり、 それが材料の熱的・電気的・機械的性質を決定します。

2. 金属のフォノン特性

2.1 単純金属（Al, Cu）

面心立方構造（fcc）を持つアルミニウム（Al）や銅（Cu）などの単純金属は、フォノン研究の古典的な対象です。 これらの金属は、比較的単純なフォノン分散関係を示します。

特徴的な性質

• 高対称性: fcc構造により、高い結晶対称性を持つ
• 音響分枝の優勢: 単原子基底のため光学分枝は存在しない
• 電子-フォノン結合: 自由電子がフォノンと強く相互作用
• Kohn異常: フェルミ面近傍で分散関係に特異性が現れる

アルミニウムのフォノン分散

Alのフォノン分散は以下の特徴を持ちます：

# Alのフォノン分散の典型的な特徴
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 簡略化されたモデル（実際の計算ではDFTを使用）
def aluminum_phonon_dispersion():
    """
    アルミニウムのフォノン分散の概略図
    """
    # 高対称点
    k_points = np.linspace(0, 1, 100)

    # 音響分枝（縦波）
    omega_LA = 8.0 * np.sin(np.pi * k_points / 2)

    # 音響分枝（横波、縮退）
    omega_TA1 = 5.5 * np.sin(np.pi * k_points / 2)
    omega_TA2 = omega_TA1  # 対称性により縮退

    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.plot(k_points, omega_LA, 'b-', linewidth=2, label='LA')
    plt.plot(k_points, omega_TA1, 'r-', linewidth=2, label='TA')

    plt.xlabel('波数 k (Γ → X)', fontsize=12)
    plt.ylabel('角振動数 ω (THz)', fontsize=12)
    plt.title('アルミニウムのフォノン分散（概略）', fontsize=14)
    plt.legend()
    plt.grid(True, alpha=0.3)
    plt.tight_layout()
    plt.savefig('al_phonon_dispersion.png', dpi=150)
    plt.show()

# 実行
aluminum_phonon_dispersion()

Kohn異常

金属中の自由電子とフォノンの相互作用により、特定の波数でフォノン分散曲線に異常（屈曲点）が現れます。 これはKohn異常と呼ばれ、フェルミ波数 \(2k_F\) の近傍で顕著です：

2.2 銅のフォノン特性

銅（Cu）もfcc構造を持ちますが、Alよりも重い原子量（63.5 vs 27）のため、フォノン振動数は低くなります。 また、d電子の影響により、電子-フォノン結合がより複雑になります。

3. 半導体のフォノン特性

3.1 シリコン（Si）

シリコンは、ダイヤモンド構造（fcc格子に2原子基底）を持つ代表的な半導体です。 2原子基底のため、音響分枝（3本）に加えて光学分枝（3本）が存在します。

シリコンのフォノン分散の特徴

• 6本の分枝: 3本の音響分枝（LA, TA1, TA2）+ 3本の光学分枝（LO, TO1, TO2）
• バンドギャップ: 音響分枝と光学分枝の間に振動数ギャップが存在
• LO-TO分裂: Γ点でLOとTOモードが分裂（イオン性が弱いため小さい）
• ラマン活性: Γ点のLOモード（~15.5 THz）がラマン活性

# Siのフォノン特性を表示
def silicon_phonon_properties():
    """
    シリコンの主要なフォノンモード
    """
    phonon_modes = {
        'Γ点のLOモード': {
            'frequency': 15.53,  # THz
            'wavenumber': 520,   # cm^-1
            'activity': 'ラマン活性',
            'symmetry': 'F2g'
        },
        'Γ点のTOモード': {
            'frequency': 15.53,  # THz (LOと縮退)
            'wavenumber': 520,   # cm^-1
            'activity': 'ラマン活性',
            'symmetry': 'F2g'
        },
        'TAモード（X点）': {
            'frequency': 4.50,   # THz
            'wavenumber': 150,   # cm^-1
            'activity': '非活性',
            'symmetry': None
        },
        'LAモード（X点）': {
            'frequency': 12.32,  # THz
            'wavenumber': 410,   # cm^-1
            'activity': '非活性',
            'symmetry': None
        }
    }

    print("シリコンの主要なフォノンモード")
    print("=" * 60)
    for mode, props in phonon_modes.items():
        print(f"\n{mode}:")
        for key, value in props.items():
            print(f"  {key}: {value}")

    # デバイ温度の計算（簡略版）
    theta_D = 645  # K
    print(f"\nデバイ温度: {theta_D} K")
    print(f"室温（300K）でのフォノン占有数: {1/(np.exp(theta_D/300) - 1):.3f}")

# 実行
silicon_phonon_properties()

3.2 化合物半導体（GaAs）

ガリウムヒ素（GaAs）は、閃亜鉛鉱構造を持つIII-V族化合物半導体です。 SiとのHON的な違いは、イオン性の存在により、LO-TO分裂が顕著になることです。

GaAsの特徴的性質

• イオン性結合: GaとAsの電気陰性度差により部分的なイオン性
• 大きなLO-TO分裂: Γ点でLOモード（8.8 THz）とTOモード（8.0 THz）が分離
• 誘電異方性: 縦波と横波で誘電率が異なる
• 極性光学フォノン散乱: 電子移動度に大きく影響

4. 絶縁体のフォノン特性

4.1 イオン結晶（NaCl）

塩化ナトリウム（NaCl）は、岩塩構造を持つ典型的なイオン結晶です。 強いイオン性により、フォノン特性が金属や半導体とは大きく異なります。

NaClの特徴

• 強いイオン性: Na⁺とCl⁻の完全なイオン結合
• 非常に大きなLO-TO分裂: Γ点で顕著な分裂（~100 cm⁻¹）
• 赤外活性: TOモードが強い赤外吸収を示す
• 軟らかいフォノン: イオン質量が大きいため低振動数

4.2 共有結合結晶（ダイヤモンド）

ダイヤモンドは、純粋な炭素のsp³混成軌道による強固な共有結合結晶です。 最も硬い物質の一つであり、極めて高いフォノン振動数を持ちます。

ダイヤモンドの特徴

• 極めて高い振動数: Γ点のLOモード ~40 THz (1332 cm⁻¹)
• 高デバイ温度: ~2200 K（室温でほとんど量子的）
• 非常に高い熱伝導率: ~2000 W/(m·K)（室温）
• 長い平均自由行程: フォノン散乱が少ない

# 各種材料のフォノン特性比較
import pandas as pd

def compare_phonon_properties():
    """
    代表的な材料のフォノン特性を比較
    """
    data = {
        '材料': ['Al', 'Cu', 'Si', 'GaAs', 'NaCl', 'Diamond'],
        '結合タイプ': ['金属', '金属', '共有', '共有-イオン', 'イオン', '共有'],
        'デバイ温度 (K)': [428, 343, 645, 344, 321, 2200],
        '最大フォノン振動数 (THz)': [9.0, 7.0, 15.5, 8.8, 8.0, 40.0],
        'Γ点LO (cm⁻¹)': ['-', '-', 520, 292, 264, 1332],
        'Γ点TO (cm⁻¹)': ['-', '-', 520, 268, 164, 1332],
        'LO-TO分裂 (cm⁻¹)': ['-', '-', 0, 24, 100, 0],
        '熱伝導率 (W/m·K)': [237, 401, 148, 55, 6.5, 2000]
    }

    df = pd.DataFrame(data)
    print("材料別フォノン特性比較表")
    print("=" * 80)
    print(df.to_string(index=False))

    # 可視化
    import matplotlib.pyplot as plt

    fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))

    # デバイ温度
    axes[0, 0].bar(df['材料'], df['デバイ温度 (K)'], color='steelblue')
    axes[0, 0].set_ylabel('デバイ温度 (K)')
    axes[0, 0].set_title('デバイ温度の比較')
    axes[0, 0].tick_params(axis='x', rotation=45)

    # 最大フォノン振動数
    axes[0, 1].bar(df['材料'], df['最大フォノン振動数 (THz)'], color='coral')
    axes[0, 1].set_ylabel('振動数 (THz)')
    axes[0, 1].set_title('最大フォノン振動数')
    axes[0, 1].tick_params(axis='x', rotation=45)

    # 熱伝導率
    axes[1, 0].bar(df['材料'], df['熱伝導率 (W/m·K)'], color='seagreen')
    axes[1, 0].set_ylabel('熱伝導率 (W/m·K)')
    axes[1, 0].set_title('室温での熱伝導率')
    axes[1, 0].tick_params(axis='x', rotation=45)

    # LO-TO分裂（数値のみ）
    lo_to_data = df[df['LO-TO分裂 (cm⁻¹)'] != '-'].copy()
    lo_to_data['LO-TO分裂 (cm⁻¹)'] = lo_to_data['LO-TO分裂 (cm⁻¹)'].astype(float)
    axes[1, 1].bar(lo_to_data['材料'], lo_to_data['LO-TO分裂 (cm⁻¹)'], color='mediumpurple')
    axes[1, 1].set_ylabel('LO-TO分裂 (cm⁻¹)')
    axes[1, 1].set_title('LO-TO分裂の大きさ')
    axes[1, 1].tick_params(axis='x', rotation=45)

    plt.tight_layout()
    plt.savefig('material_phonon_comparison.png', dpi=150)
    plt.show()

# 実行
compare_phonon_properties()

5. フォノン測定の実験手法

5.1 非弾性中性子散乱（INS）

中性子散乱は、フォノン分散関係全体を測定できる最も直接的な手法です。 中性子のド・ブロイ波長が原子間隔と同程度であり、エネルギーがフォノンエネルギーと同程度であるため、 フォノン励起を直接観測できます。

測定原理

中性子散乱の利点と欠点

代表的な中性子散乱施設

• J-PARC（日本）: 大強度陽子加速器施設
• ILL（フランス）: 世界最高輝度の研究用原子炉
• SNS（米国）: スペーレーション中性子源
• ISIS（英国）: パルス中性子・ミュオン施設

5.2 ラマン分光

ラマン散乱は、可視光レーザーを試料に照射し、非弾性散乱光を分析することで、 フォノンモードを測定する手法です。Γ点近傍のフォノンのみを観測しますが、 小型の装置で迅速に測定できる利点があります。

ラマン散乱の選択則

ラマン活性となるためには、フォノンモードが分極率テンソルを変化させる必要があります：

典型的なラマンスペクトル（Si）

# Siのラマンスペクトルシミュレーション
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

def simulate_raman_spectrum():
    """
    シリコンのラマンスペクトルをシミュレート
    """
    # 波数範囲 (cm^-1)
    wavenumber = np.linspace(100, 1000, 1000)

    # Siの主要なラマンピーク（Γ点のLO/TOモード）
    # 実際には520 cm^-1付近に鋭いピーク
    peak_position = 520  # cm^-1
    peak_width = 3.0     # FWHM

    # ローレンツ関数でピークをモデル化
    def lorentzian(x, x0, gamma, amplitude):
        return amplitude * (gamma**2) / ((x - x0)**2 + gamma**2)

    intensity = lorentzian(wavenumber, peak_position, peak_width/2, 1000)

    # ノイズ追加
    noise = np.random.normal(0, 10, len(wavenumber))
    intensity_with_noise = intensity + noise
    intensity_with_noise[intensity_with_noise < 0] = 0

    # プロット
    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.plot(wavenumber, intensity_with_noise, 'b-', linewidth=1)
    plt.axvline(x=peak_position, color='r', linestyle='--',
                label=f'F2g mode @ {peak_position} cm⁻¹')

    plt.xlabel('ラマンシフト (cm⁻¹)', fontsize=12)
    plt.ylabel('強度 (a.u.)', fontsize=12)
    plt.title('シリコンのラマンスペクトル（室温）', fontsize=14)
    plt.legend()
    plt.grid(True, alpha=0.3)
    plt.xlim(100, 1000)
    plt.tight_layout()
    plt.savefig('si_raman_spectrum.png', dpi=150)
    plt.show()

    print(f"シリコンのラマン活性モード:")
    print(f"  振動数: {peak_position} cm⁻¹ (15.53 THz)")
    print(f"  対称性: F2g (三重縮退)")
    print(f"  線幅: {peak_width} cm⁻¹")
    print(f"  温度依存性: 室温で線幅が広がる（非調和効果）")

# 実行
simulate_raman_spectrum()

ラマン分光の応用

• 応力・歪み評価: ピークシフトから局所応力を測定
• 結晶性評価: ピーク幅から結晶品質を評価
• 温度測定: 反ストークス/ストークス比から局所温度決定
• ドーピング評価: フォノンモードの変化からドーパント濃度推定
• 2次元材料研究: グラフェン、MoS₂などの層数同定

5.3 赤外分光（FTIR）

フーリエ変換赤外分光（FTIR）は、赤外光の吸収を測定することで、 赤外活性なフォノンモードを観測します。ラマン分光と相補的な情報を提供します。

赤外活性の選択則

赤外活性となるためには、フォノンモードが双極子モーメントを変化させる必要があります：

ラマン vs 赤外の相補性

5.4 非弾性X線散乱（IXS）

第3世代放射光施設の高輝度X線を用いて、フォノンを測定する手法です。 中性子散乱と類似していますが、より高いエネルギー・運動量分解能を持ちます。

IXSの特徴

• 小試料測定: μm～mmサイズで測定可能
• 高エネルギー分解能: meV以下の分解能
• 高圧下測定: ダイヤモンドアンビルセル中の測定が容易
• 元素選択性: 共鳴散乱により特定元素のフォノンを抽出

6. フォノン計算の第一原理手法

6.1 密度汎関数理論（DFT）とフォノン

現代のフォノン計算は、密度汎関数理論（DFT）に基づいています。 DFTは電子状態を量子力学的に計算し、そこから原子間力定数を求め、フォノン分散を得ます。

計算手順

力定数の計算法

1. 有限変位法（Finite Displacement Method）

原子を微小変位させ、他の原子に働く力を計算することで、力定数を求めます：

• 利点: 実装が簡単、様々なDFTコードで使用可能
• 欠点: 多数の原子変位パターンが必要（計算コスト大）

2. 密度汎関数摂動理論（DFPT）

原子変位に対する電子密度の応答を、摂動論的に直接計算します：

• 利点: 変位パターン不要、効率的、誘電応答も同時計算
• 欠点: 実装が複雑、対応DFTコードが限定的

6.2 主要なDFTコード

VASP (Vienna Ab initio Simulation Package)

• タイプ: 平面波基底+PAW法
• フォノン計算: 有限変位法（Phonopy併用が標準）
• 特徴: 高精度、広範な機能、商用（学術ライセンス有）
• 得意分野: 固体物性全般、表面・界面

Quantum ESPRESSO

• タイプ: 平面波基底+擬ポテンシャル
• フォノン計算: DFPT（PHonon モジュール）
• 特徴: オープンソース、DFPT完備、電子-フォノン結合計算可能
• 得意分野: フォノン物性、超伝導、スピントロニクス

CASTEP

• タイプ: 平面波基底+擬ポテンシャル
• フォノン計算: DFPT（Linear response）
• 特徴: 商用、GUI（Materials Studio）、ラマン・IR活性計算
• 得意分野: 材料設計、スペクトル予測

6.3 Phonopyによるフォノン計算

Phonopyは、オープンソースのフォノン計算パッケージで、 様々なDFTコード（VASP, Quantum ESPRESSO, LAMMPS等）と連携して動作します。 有限変位法に基づき、フォノン分散、状態密度、熱的性質を計算します。

Phonopyの基本ワークフロー

# Phonopyを使ったフォノン計算の基本フロー

# 1. 必要なライブラリのインポート
from phonopy import Phonopy
from phonopy.interface.vasp import read_vasp
from phonopy.file_IO import parse_FORCE_SETS, parse_BORN
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 2. 結晶構造の読み込み
def phonopy_basic_workflow():
    """
    PhonopyでSiのフォノン計算（概念的な例）
    """

    # 単位格子の読み込み（VASP POSCAR形式）
    unitcell = read_vasp("POSCAR")

    # Phonopyオブジェクト作成（2x2x2スーパーセル）
    phonon = Phonopy(unitcell,
                     supercell_matrix=[[2, 0, 0],
                                      [0, 2, 0],
                                      [0, 0, 2]],
                     primitive_matrix='auto')

    # 変位パターン生成
    phonon.generate_displacements(distance=0.01)  # 0.01 Å変位

    # スーパーセルを取得（これをDFT計算に使用）
    supercells = phonon.supercells_with_displacements

    print(f"生成された変位パターン数: {len(supercells)}")
    print("各スーパーセルをDFT計算し、力を求める...")

    # 3. FORCE_SETSファイルの読み込み（DFT計算後）
    # parse_FORCE_SETS(phonon, "FORCE_SETS")

    # 4. 力定数の計算
    # phonon.produce_force_constants()

    # 5. フォノン分散の計算
    # band_pathを設定（Siの場合: L-Γ-X-W-K-Γ）
    bands = []
    q_points = []
    # ... 省略（実際にはband pathを設定）

    # phonon.run_band_structure(q_points, path_connections=...)
    # band_dict = phonon.get_band_structure_dict()

    print("\n基本的な使い方:")
    print("1. POSCARファイルを準備")
    print("2. phonopy -d --dim='2 2 2' で変位パターン生成")
    print("3. 各POSCAR-XXXでVASP計算（力のみ）")
    print("4. phonopy -f vasprun.xml でFORCE_SETS作成")
    print("5. phonopy -p band.conf でバンド図作成")

    return phonon

# 実行例
# phonon = phonopy_basic_workflow()

実践例: Siのフォノン計算

# 実際のPhonopy計算例（設定ファイルベース）

def create_phonopy_config():
    """
    Phonopy設定ファイルの作成例
    """

    # band.conf の内容
    band_conf = """
# シリコンのフォノンバンド計算設定

ATOM_NAME = Si
DIM = 2 2 2
PRIMITIVE_AXIS = 0.0 0.5 0.5  0.5 0.0 0.5  0.5 0.5 0.0

BAND = 0.5 0.5 0.5  0.0 0.0 0.0  0.5 0.0 0.5  0.625 0.25 0.625  0.375 0.375 0.75  0.0 0.0 0.0
BAND_LABELS = L $\\Gamma$ X W K $\\Gamma$
BAND_POINTS = 51

# フォノン状態密度
DOS = .TRUE.
DOS_RANGE = 0 20

# 熱的性質（フリーエネルギー、エントロピー、比熱）
TPROP = .TRUE.
TMIN = 0
TMAX = 1000
TSTEP = 10

# プロット設定
BAND_PLOT = .TRUE.
DOS_PLOT = .TRUE.
"""

    with open('band.conf', 'w') as f:
        f.write(band_conf)

    print("band.conf を作成しました")
    print("\n実行手順:")
    print("$ phonopy -d --dim='2 2 2'           # 変位生成")
    print("$ # VASP計算実行（各POSCAR-XXX）")
    print("$ phonopy -f disp-{001..XXX}/vasprun.xml  # 力読み込み")
    print("$ phonopy -p band.conf                # バンド計算・プロット")
    print("$ phonopy -t -p band.conf             # 熱的性質計算")

# 実行
create_phonopy_config()

# フォノン状態密度の可視化例
def plot_phonon_dos_example():
    """
    フォノン状態密度（DOS）のプロット例
    """
    # 模擬データ（実際はPhonopyから取得）
    frequency = np.linspace(0, 16, 500)  # THz

    # Siの典型的なDOS形状（二峰性）
    dos_TA = 0.5 * np.exp(-((frequency - 5.0) ** 2) / 2.0)
    dos_LA = 0.4 * np.exp(-((frequency - 12.0) ** 2) / 1.5)
    dos_LO = 0.6 * np.exp(-((frequency - 15.5) ** 2) / 0.5)

    dos_total = dos_TA + dos_LA + dos_LO

    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.fill_between(frequency, dos_total, alpha=0.3, color='blue', label='Total DOS')
    plt.plot(frequency, dos_total, 'b-', linewidth=2)

    # 部分DOSもプロット
    plt.plot(frequency, dos_TA, 'r--', alpha=0.6, label='TA contribution')
    plt.plot(frequency, dos_LA, 'g--', alpha=0.6, label='LA contribution')
    plt.plot(frequency, dos_LO, 'm--', alpha=0.6, label='LO contribution')

    plt.xlabel('振動数 (THz)', fontsize=12)
    plt.ylabel('状態密度 (a.u.)', fontsize=12)
    plt.title('シリコンのフォノン状態密度', fontsize=14)
    plt.legend()
    plt.grid(True, alpha=0.3)
    plt.xlim(0, 16)
    plt.tight_layout()
    plt.savefig('si_phonon_dos.png', dpi=150)
    plt.show()

# 実行
plot_phonon_dos_example()

7. フォノンが支配する材料物性

7.1 熱伝導

固体の格子熱伝導は、フォノンによる熱エネルギー輸送で決まります。 フォノンを「熱を運ぶ粒子」として扱うフォノン気体モデルが有効です。

格子熱伝導率の式

フォノン散乱機構

• ウムクラップ散乱: 逆格子ベクトルが関与する3フォノン過程（高温で支配的）
• 境界散乱: 試料表面・粒界での散乱（ナノ材料で重要）
• 点欠陥散乱: 不純物・同位体による散乱
• 転位散乱: 結晶欠陥による散乱

# 熱伝導率の温度依存性（簡略モデル）
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def thermal_conductivity_temperature():
    """
    典型的な結晶の熱伝導率温度依存性
    """
    T = np.linspace(1, 1000, 500)  # 温度 (K)

    # 簡略化したモデル
    # 低温: T^3依存（デバイモデル）
    # 高温: 1/T依存（ウムクラップ散乱）

    def kappa_low(T, theta_D=300):
        """低温領域（T << θ_D）"""
        return 1000 * (T / theta_D) ** 3

    def kappa_high(T, theta_D=300):
        """高温領域（T >> θ_D）"""
        return 100000 / T

    # スムーズに接続
    theta_D_si = 645  # Siのデバイ温度
    kappa_Si = []
    for temp in T:
        if temp < theta_D_si / 10:
            kappa_Si.append(kappa_low(temp, theta_D_si))
        elif temp > theta_D_si:
            kappa_Si.append(kappa_high(temp, theta_D_si))
        else:
            # 中間温度域（実際はより複雑）
            w_low = (theta_D_si - temp) / theta_D_si
            w_high = temp / theta_D_si
            kappa_Si.append(w_low * kappa_low(temp, theta_D_si) +
                           w_high * kappa_high(temp, theta_D_si))

    kappa_Si = np.array(kappa_Si)

    # ダイヤモンド（高熱伝導）
    theta_D_diamond = 2200
    kappa_diamond = 20000 / (T + 50)  # 簡略化

    # アモルファス（低熱伝導）
    kappa_amorphous = 2 * np.ones_like(T)  # ほぼ温度依存性なし

    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.plot(T, kappa_Si, 'b-', linewidth=2, label='結晶Si')
    plt.plot(T, kappa_diamond, 'g-', linewidth=2, label='ダイヤモンド')
    plt.plot(T, kappa_amorphous, 'r--', linewidth=2, label='アモルファスSiO₂')

    plt.xlabel('温度 (K)', fontsize=12)
    plt.ylabel('熱伝導率 (W/m·K)', fontsize=12)
    plt.title('材料の熱伝導率温度依存性', fontsize=14)
    plt.legend()
    plt.grid(True, alpha=0.3)
    plt.yscale('log')
    plt.xlim(0, 1000)
    plt.ylim(0.1, 10000)
    plt.tight_layout()
    plt.savefig('thermal_conductivity_temperature.png', dpi=150)
    plt.show()

# 実行
thermal_conductivity_temperature()

7.2 電子-フォノン結合と超伝導

BCS理論によれば、従来型超伝導体では電子-フォノン相互作用が クーパー対形成を媒介します。超伝導転移温度\(T_c\)は電子-フォノン結合定数\(\lambda\)に強く依存します。

McMillanの式

代表的な超伝導体の特性

7.3 その他のフォノン関連物性

圧電効果

非中心対称結晶（GaAs, ZnO等）では、機械的応力が電気分極を生み、逆も成立します。 これはフォノンと電場の結合によるものです。

熱膨張

格子振動のポテンシャルが調和的でない（非調和性）ため、温度上昇とともに平均原子間距離が増加します。 これが熱膨張の微視的起源です。

ラマン冷却

レーザー光のラマン散乱を利用して、フォノンを選択的に励起・抑制することで、 物質を冷却する技術です。光学的フォノンモードの制御が鍵となります。

8. 上級トピックへのプレビュー

8.1 フォノン輸送のボルツマン方程式

より厳密な熱伝導理論では、フォノンのボルツマン輸送方程式を解きます：

8.2 非調和効果と格子動力学

高次（3次、4次）のフォノン相互作用は、有限温度でのフォノン振動数シフト、線幅、 そして熱伝導に重要です。これらは格子動力学分子動力学（LD-MD）や 自己無撞着フォノン理論で扱われます。

8.3 トポロジカルフォノニクス

トポロジカル絶縁体の概念をフォノン系に適用した新分野です。 バンド構造のトポロジーにより保護されたエッジ状態が、 ロバストな音響・熱輸送を実現する可能性があります。

8.4 2次元材料のフォノン

グラフェン、MoS₂などの2次元材料では、層外方向（ZA）モードが特異な振る舞いを示します。 また、層数によってフォノンモードが変化し、ラマン分光で同定可能です。

9. まとめ

本章では、実材料におけるフォノンの多様な振る舞いを学びました：

• 金属、半導体、絶縁体それぞれに特徴的なフォノン特性が存在する
• 中性子散乱、ラマン分光、赤外分光など、相補的な実験手法がある
• 第一原理計算（DFT + Phonopy）で定量的なフォノン予測が可能
• フォノンは熱伝導、超伝導など、重要な材料物性を支配する
• 現代の材料研究では、実験と計算の両輪によるフォノン理解が不可欠