学習目標
- 一次元単原子鎖の分散関係 \(\omega(k) = 2\sqrt{K/M}|\sin(ka/2)|\) を導出できる
- 第一ブリルアンゾーンの概念とその物理的意味を理解する
- 群速度と位相速度の違いを説明し、それぞれの物理的意味を把握する
- 二原子鎖モデルから音響分枝と光学分枝が生じる物理的起源を理解する
- 長波長極限と短波長極限における分散関係の振る舞いを解釈できる
- 3次元結晶における縦波モードと横波モードの違いを理解する
2.1 一次元単原子鎖の分散関係
2.1.1 モデルの設定
第1章で導入した一次元単原子鎖モデルを詳しく見ていきましょう。 このモデルは最も単純な格子振動系ですが、分散関係の基本的な性質を 理解するために非常に有用です。
一次元単原子鎖モデル
- 質量: すべての原子の質量は \(M\)
- 格子定数: 平衡位置での原子間距離は \(a\)
- 相互作用: 最近接原子間のみバネ定数 \(K\) で結合
- 変位: \(n\) 番目の原子の平衡位置からの変位を \(u_n\)
質量M"] ---|"バネ K"| B["原子 n
質量M"] ---|"バネ K"| C["原子 n+1
質量M"] style A fill:#e7f3ff style B fill:#e7f3ff style C fill:#e7f3ff
2.1.2 運動方程式の導出
\(n\) 番目の原子に働く力は、両隣の原子からのバネの力の和です。 調和近似のもとで、Newtonの運動方程式は：
\[ M\frac{d^2u_n}{dt^2} = K(u_{n+1} - u_n) - K(u_n - u_{n-1}) \]
整理すると、
\[ M\ddot{u}_n = K(u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n) \]
この連立微分方程式を解くために、すべての原子が同じ振動数で振動する 波動解を仮定します：
\[ u_n(t) = A e^{i(kna - \omega t)} \]
ここで、\(k\) は波数、\(\omega\) は角振動数、\(A\) は振幅です。 この解は、位相 \(kna\) が原子の位置に依存する進行波を表しています。
2.1.3 分散関係の導出
波動解を運動方程式に代入します：
\[ -M\omega^2 A e^{i(kna - \omega t)} = K\left(A e^{ik(n+1)a - i\omega t} + A e^{ik(n-1)a - i\omega t} - 2A e^{ikna - i\omega t}\right) \]
共通因子 \(A e^{ikna - i\omega t}\) で割ると、
\[ -M\omega^2 = K(e^{ika} + e^{-ika} - 2) \]
Eulerの公式 \(e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos\theta\) を用いると、
\[ -M\omega^2 = K(2\cos(ka) - 2) = -2K(1 - \cos(ka)) \]
三角関数の恒等式 \(1 - \cos\theta = 2\sin^2(\theta/2)\) を使うと、
\[ M\omega^2 = 4K\sin^2\left(\frac{ka}{2}\right) \]
したがって、分散関係が得られます：
一次元単原子鎖の分散関係
\[ \omega(k) = 2\sqrt{\frac{K}{M}} \left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right| \]
この式は、波数 \(k\) と角振動数 \(\omega\) の関係を与える 分散関係（dispersion relation）と呼ばれます。
2.1.4 分散関係の特徴
この分散関係には重要な特徴がいくつかあります：
分散関係の重要な性質
- 周期性: \(\omega(k + 2\pi/a) = \omega(k)\)。 波数 \(k\) に \(2\pi/a\) を加えても同じ振動数になります。
- 対称性: \(\omega(-k) = \omega(k)\)。 分散関係は偶関数です。
- 最大振動数: \(k = \pm\pi/a\) で \(\omega_{\text{max}} = 2\sqrt{K/M}\) となります。
- 長波長極限 (\(k \to 0\)): \(\sin(ka/2) \approx ka/2\) より、 \(\omega \approx a\sqrt{K/M} \cdot k\)（線形分散）
2.2 第一ブリルアンゾーン
2.2.1 ブリルアンゾーンの定義
分散関係の周期性 \(\omega(k + 2\pi/a) = \omega(k)\) から、 すべての物理的に異なる状態は、波数空間の特定の領域で 完全に記述できることがわかります。
第一ブリルアンゾーン（First Brillouin Zone）
一次元系では、第一ブリルアンゾーンは以下の範囲で定義されます：
\[ -\frac{\pi}{a} \leq k < \frac{\pi}{a} \]
この範囲内のすべての \(k\) 値が、物理的に独立なフォノンモードを表します。 範囲の幅は \(2\pi/a\) で、逆格子ベクトルの大きさに対応します。
なぜブリルアンゾーンが必要か？
格子が離散的であるため、波数 \(k\) と \(k + 2\pi/a\) は 物理的に同等です。例えば、
\[ u_n = A e^{ikna} = A e^{i(k + 2\pi/a)na} = A e^{ikna} e^{i2\pi n} \]
\(n\) は整数なので、\(e^{i2\pi n} = 1\) となり、同じ変位パターンを表します。 したがって、独立な情報は第一ブリルアンゾーン内に全て含まれています。
2.2.2 ブリルアンゾーン境界の物理的意味
ブリルアンゾーン境界（\(k = \pm\pi/a\)）では、特別なことが起こります：
- 波長: \(\lambda = 2\pi/k = 2a\)。 波長が格子定数の2倍になります（隣接する原子が逆位相で振動）。
- 最大振動数: 最も短い波長（最も急激な原子間の相対変位）に対応し、 最大の復元力が働くため、振動数が最大になります。
- 群速度ゼロ: \(v_g = d\omega/dk = 0\)（後述）。 エネルギーが伝搬しない定在波になります。
2.3 群速度と位相速度
2.3.1 位相速度
波動解 \(u_n = A e^{i(kna - \omega t)}\) において、 位相 \(\phi = kna - \omega t\) が一定となる点は、
\[ kna - \omega t = \text{const.} \]
これを時間で微分すると、
\[ k\frac{dx}{dt} - \omega = 0 \quad \Rightarrow \quad v_p = \frac{dx}{dt} = \frac{\omega}{k} \]
位相速度（Phase Velocity）
位相速度は波の位相が伝わる速度で、以下で定義されます：
\[ v_p = \frac{\omega}{k} \]
単原子鎖では、\(v_p = \frac{2\sqrt{K/M}|\sin(ka/2)|}{k}\)
2.3.2 群速度
より重要なのは群速度です。これは波束（エネルギー）が 伝わる速度で、分散関係の傾きで与えられます。
群速度（Group Velocity）
群速度は以下で定義されます：
\[ v_g = \frac{d\omega}{dk} \]
単原子鎖の場合、
\[ v_g = \frac{d}{dk}\left[2\sqrt{\frac{K}{M}}\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right] = a\sqrt{\frac{K}{M}}\cos\left(\frac{ka}{2}\right) \]
群速度の物理的意味
- \(k = 0\) （長波長極限）: \(v_g = a\sqrt{K/M}\) = 音速。 これは連続体近似での音速と一致します。
- \(k = \pi/a\) （ゾーン境界）: \(v_g = 0\)。 エネルギーが伝搬せず、定在波となります。
- 中間的な \(k\): 群速度は \(k\) とともに減少し、波長が短くなると エネルギー伝搬が遅くなります。
2.3.3 長波長極限と短波長極限
長波長極限（\(ka \ll 1\)）
\(\sin(ka/2) \approx ka/2\) より、
\[ \omega \approx a\sqrt{\frac{K}{M}} \cdot k = v_s k \]
ここで \(v_s = a\sqrt{K/M}\) は音速です。 分散関係が線形となり、これは連続体（弾性体）の 音波と同じ振る舞いです。格子の離散性は影響しません。
短波長極限（\(k \approx \pi/a\)）
\(k = \pi/a - \delta k\) （\(\delta k \ll \pi/a\)）として、
\[ \omega \approx 2\sqrt{\frac{K}{M}}\left[1 - \frac{(a\delta k)^2}{8}\right] \]
振動数は最大値 \(\omega_{\text{max}} = 2\sqrt{K/M}\) に近づき、 \(k\) に対してほぼ平坦になります（\(v_g \to 0\)）。 格子の離散性が本質的に重要になります。
2.4 一次元二原子鎖モデル
2.4.1 モデルの設定
実際の多くの結晶（例：NaCl、ダイヤモンド構造）では、 単位胞に複数の原子が含まれます。最も単純な例として、 二原子鎖を考えましょう。
一次元二原子鎖モデル
- 質量: 交互に質量 \(M_1\) と \(M_2\) の原子が配列
- 格子定数: 単位胞の長さは \(a\)（隣接する同種原子間の距離は \(2a\)）
- 相互作用: すべての最近接原子間でバネ定数 \(K\)
- 変位: \(n\) 番目の単位胞の質量 \(M_1\) の原子の変位を \(u_n\)、 質量 \(M_2\) の原子の変位を \(v_n\)
uₙ₋₁"] ---|K| B["M₂
vₙ₋₁"] ---|K| C["M₁
uₙ"] ---|K| D["M₂
vₙ"] ---|K| E["M₁
uₙ₊₁"] style A fill:#ffe7e7 style B fill:#e7f3ff style C fill:#ffe7e7 style D fill:#e7f3ff style E fill:#ffe7e7
2.4.2 運動方程式
\(n\) 番目の単位胞における2つの原子の運動方程式は：
\[ \begin{aligned} M_1 \ddot{u}_n &= K(v_n + v_{n-1} - 2u_n) \\ M_2 \ddot{v}_n &= K(u_{n+1} + u_n - 2v_n) \end{aligned} \]
波動解を仮定します：
\[ \begin{aligned} u_n &= A_1 e^{i(kna - \omega t)} \\ v_n &= A_2 e^{i(kna - \omega t)} \end{aligned} \]
これを運動方程式に代入すると、
\[ \begin{aligned} -M_1\omega^2 A_1 &= K(A_2 + A_2 e^{-ika} - 2A_1) \\ -M_2\omega^2 A_2 &= K(A_1 e^{ika} + A_1 - 2A_2) \end{aligned} \]
整理すると、
\[ \begin{aligned} (2K - M_1\omega^2)A_1 - K(1 + e^{-ika})A_2 &= 0 \\ -K(1 + e^{ika})A_1 + (2K - M_2\omega^2)A_2 &= 0 \end{aligned} \]
2.4.3 分散関係の導出
非自明な解 \((A_1, A_2) \neq (0, 0)\) が存在するには、 係数行列の行列式がゼロでなければなりません：
\[ \begin{vmatrix} 2K - M_1\omega^2 & -K(1 + e^{-ika}) \\ -K(1 + e^{ika}) & 2K - M_2\omega^2 \end{vmatrix} = 0 \]
これを展開すると、
\[ (2K - M_1\omega^2)(2K - M_2\omega^2) - K^2|1 + e^{ika}|^2 = 0 \]
\(|1 + e^{ika}|^2 = (1 + e^{ika})(1 + e^{-ika}) = 2 + 2\cos(ka) = 4\cos^2(ka/2)\) より、
\[ M_1 M_2 \omega^4 - 2K(M_1 + M_2)\omega^2 + 4K^2\sin^2(ka/2) = 0 \]
これは \(\omega^2\) についての二次方程式で、解の公式を用いると：
二原子鎖の分散関係
\[ \omega_{\pm}^2 = K\left(\frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2}\right) \pm K\sqrt{\left(\frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2}\right)^2 - \frac{4\sin^2(ka/2)}{M_1 M_2}} \]
ここで、\(\omega_+\) は光学分枝（optical branch）、 \(\omega_-\) は音響分枝（acoustic branch）と呼ばれます。
2.4.4 音響分枝と光学分枝
二原子鎖の重要な特徴は、2つの分散曲線が現れることです。
音響分枝（Acoustic Branch）
低振動数側の解 \(\omega_-(k)\) です。主な特徴：
- \(k = 0\) で \(\omega_- = 0\): 長波長極限では、すべての原子が同位相で振動（並進運動）
- 線形分散 \(\omega \approx v_s k\) （小さい \(k\)）
- 音波に対応するため「音響」と呼ばれる
光学分枝（Optical Branch）
高振動数側の解 \(\omega_+(k)\) です。主な特徴：
- \(k = 0\) で有限の値: \(\omega_+(0) = \sqrt{2K(M_1 + M_2)/(M_1 M_2)}\)
- 2つの原子が逆位相で振動
- イオン結晶では赤外光と相互作用するため「光学」と呼ばれる
2.4.5 音響モードと光学モードの物理的起源
2つの分枝の違いは、原子の振動パターンから理解できます。
音響モード（\(k \approx 0\)）
振幅の比は \(A_2/A_1 \approx 1\) となり、 両方の原子が同じ方向に、ほぼ同じ振幅で振動します。 これは単位胞全体の並進運動に対応し、 連続体の音波と同じ性質を持ちます。
M₁ → ← M₂ → M₁ → ← M₂ → （同位相）
光学モード（\(k \approx 0\)）
振幅の比は \(A_2/A_1 \approx -M_1/M_2\) となり、 2つの原子が逆方向に振動します。 質量の異なる原子が逆位相で振動するため、 単位胞の重心は動きませんが、内部で相対運動が起こります。
M₁ → ← M₂ ← M₁ → ← M₂ ← （逆位相）
イオン結晶（例：NaCl）では、正負イオンの逆位相振動が 振動双極子モーメントを生じ、電磁波（光）と結合します。 これが「光学」という名前の由来です。
2.4.6 周波数ギャップ
二原子鎖のもう一つの重要な特徴は、 音響分枝の最大値と光学分枝の最小値の間に 周波数ギャップが存在することです。
フォノンバンドギャップ
\(k = \pi/a\) （ブリルアンゾーン境界）において：
- 音響分枝: \(\omega_-(\pi/a) = \sqrt{2K/M_{\text{max}}}\) （\(M_{\text{max}} = \max(M_1, M_2)\)）
- 光学分枝: \(\omega_+(\pi/a) = \sqrt{2K/M_{\text{min}}}\) （\(M_{\text{min}} = \min(M_1, M_2)\)）
この間の周波数を持つフォノンは存在できません（禁制帯）。 ギャップの大きさは質量差 \(|M_1 - M_2|\) に依存します。
2.5 三次元への拡張
2.5.1 三次元結晶のフォノンモード
一次元モデルから三次元実結晶への拡張では、 新しい重要な概念が加わります。
三次元結晶のフォノン分枝数
単位胞に \(N\) 個の原子を含む三次元結晶では、 各波数ベクトル \(\mathbf{k}\) について \(3N\) 本の フォノン分枝が存在します：
- 3本の音響分枝（1本の縦波 LA、2本の横波 TA）
- \(3N - 3\) 本の光学分枝（\(N-1\) 本の縦波 LO、\(2(N-1)\) 本の横波 TO）
各原子は3次元空間で3自由度を持つため、 合計 \(3N\) 個の独立な振動モードが存在します。
2.5.2 縦波モードと横波モード
三次元では、振動の偏極（polarization）が重要になります。
縦波（Longitudinal Wave）
原子の変位が波の伝搬方向 \(\mathbf{k}\) と平行な振動モードです。
- 記号: LA（縦波音響）、LO（縦波光学）
- 体積変化を伴う（圧縮・膨張）
- 一般に横波より高い振動数（バルク弾性率が関与）
横波（Transverse Wave）
原子の変位が波の伝搬方向 \(\mathbf{k}\) と垂直な振動モードです。
- 記号: TA（横波音響）、TO（横波光学）
- ずれ変形を伴う（体積変化なし）
- 各 \(\mathbf{k}\) について2つの独立な偏極方向が存在
- 一般に縦波より低い振動数（せん断弾性率が関与）
等方性と異方性
等方的結晶（立方晶など高対称性）では、 2つの横波モード（TA1、TA2）は縮退しています（同じ振動数）。
異方的結晶では、 伝搬方向によって縦波と横波の区別が曖昧になることがあります （準縦波 QL、準横波 QT）。
2.5.3 実材料の例：シリコン
シリコン（Si）はダイヤモンド構造を持ち、単位胞に2個の原子を含みます。 したがって、各 \(\mathbf{k}\) について6本の分枝があります：
- 音響分枝: 1 LA + 2 TA = 3本
- 光学分枝: 1 LO + 2 TO = 3本
高対称方向（例：[100]、[111]方向）に沿って分散関係を測定すると、 結晶対称性により一部のモードが縮退し、 特徴的なバンド構造が観測されます。
2.6 Pythonによる分散関係の可視化
分散関係を数値的に計算してプロットすることで、 理論的な理解を深めることができます。
例1：単原子鎖の分散関係
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# パラメータ設定
K = 1.0 # バネ定数 [N/m]
M = 1.0 # 質量 [kg]
a = 1.0 # 格子定数 [m]
# 波数範囲（第一ブリルアンゾーン）
k = np.linspace(-np.pi/a, np.pi/a, 500)
# 分散関係の計算
omega = 2 * np.sqrt(K/M) * np.abs(np.sin(k*a/2))
# プロット
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(k*a/np.pi, omega, 'b-', linewidth=2, label='音響分枝')
plt.xlabel('波数 $ka/\pi$', fontsize=14)
plt.ylabel('角振動数 $\omega$ [rad/s]', fontsize=14)
plt.title('単原子鎖の分散関係', fontsize=16)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', linewidth=0.5)
plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', linewidth=0.5)
plt.axvline(x=-1, color='r', linestyle='--', alpha=0.5, label='ゾーン境界')
plt.axvline(x=1, color='r', linestyle='--', alpha=0.5)
plt.legend(fontsize=12)
plt.tight_layout()
plt.show()
# 群速度の計算
v_g = a * np.sqrt(K/M) * np.cos(k*a/2)
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(k*a/np.pi, v_g, 'r-', linewidth=2)
plt.xlabel('波数 $ka/\pi$', fontsize=14)
plt.ylabel('群速度 $v_g$ [m/s]', fontsize=14)
plt.title('単原子鎖の群速度', fontsize=16)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', linewidth=0.5)
plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', linewidth=0.5)
plt.tight_layout()
plt.show()
例2：二原子鎖の分散関係
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# パラメータ設定
K = 1.0 # バネ定数 [N/m]
M1 = 1.0 # 質量1 [kg]
M2 = 2.0 # 質量2 [kg]（質量比 2:1）
a = 1.0 # 単位胞の長さ [m]
# 波数範囲（第一ブリルアンゾーン）
k = np.linspace(-np.pi/a, np.pi/a, 500)
# 分散関係の計算
sum_inv_M = 1/M1 + 1/M2
prod_M = M1 * M2
discriminant = sum_inv_M**2 - 4*np.sin(k*a/2)**2/prod_M
# 音響分枝と光学分枝
omega_acoustic = np.sqrt(K * (sum_inv_M - np.sqrt(discriminant)))
omega_optical = np.sqrt(K * (sum_inv_M + np.sqrt(discriminant)))
# プロット
plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.plot(k*a/np.pi, omega_acoustic, 'b-', linewidth=2, label='音響分枝 (AC)')
plt.plot(k*a/np.pi, omega_optical, 'r-', linewidth=2, label='光学分枝 (OP)')
# ギャップ領域の可視化
k_zone = np.pi/a
omega_ac_max = omega_acoustic[np.argmax(np.abs(k))]
omega_op_min = omega_optical[0]
plt.fill_between([k*a/np.pi for k in [-np.pi/a, np.pi/a]],
omega_ac_max, omega_op_min,
color='yellow', alpha=0.3, label='バンドギャップ')
plt.xlabel('波数 $ka/\pi$', fontsize=14)
plt.ylabel('角振動数 $\omega$ [rad/s]', fontsize=14)
plt.title(f'二原子鎖の分散関係 ($M_2/M_1$ = {M2/M1:.1f})', fontsize=16)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', linewidth=0.5)
plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', linewidth=0.5)
plt.axvline(x=-1, color='gray', linestyle='--', alpha=0.5)
plt.axvline(x=1, color='gray', linestyle='--', alpha=0.5)
plt.legend(fontsize=12, loc='best')
plt.tight_layout()
plt.show()
# k=0における振動数の出力
print(f"k=0での音響分枝: ω = {omega_acoustic[250]:.4f} rad/s")
print(f"k=0での光学分枝: ω = {omega_optical[250]:.4f} rad/s")
print(f"バンドギャップ幅: Δω = {omega_op_min - omega_ac_max:.4f} rad/s")
例3：質量比の影響を調べる
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# パラメータ
K = 1.0
M1 = 1.0
a = 1.0
mass_ratios = [1.0, 1.5, 2.0, 3.0, 5.0] # M2/M1
k = np.linspace(0, np.pi/a, 200)
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(16, 6))
# 左図：分散関係
for ratio in mass_ratios:
M2 = M1 * ratio
sum_inv_M = 1/M1 + 1/M2
prod_M = M1 * M2
discriminant = sum_inv_M**2 - 4*np.sin(k*a/2)**2/prod_M
omega_ac = np.sqrt(K * (sum_inv_M - np.sqrt(discriminant)))
omega_op = np.sqrt(K * (sum_inv_M + np.sqrt(discriminant)))
axes[0].plot(k*a/np.pi, omega_ac, linewidth=2, label=f'AC, $M_2/M_1$={ratio}')
axes[0].plot(k*a/np.pi, omega_op, '--', linewidth=2, label=f'OP, $M_2/M_1$={ratio}')
axes[0].set_xlabel('波数 $ka/\pi$', fontsize=14)
axes[0].set_ylabel('角振動数 $\omega$ [rad/s]', fontsize=14)
axes[0].set_title('質量比の影響', fontsize=16)
axes[0].grid(True, alpha=0.3)
axes[0].legend(fontsize=10, ncol=2)
# 右図：バンドギャップ vs 質量比
mass_ratios_fine = np.linspace(1.0, 5.0, 100)
gap_widths = []
for ratio in mass_ratios_fine:
M2 = M1 * ratio
omega_ac_max = np.sqrt(2*K/max(M1, M2))
omega_op_min = np.sqrt(2*K/min(M1, M2))
gap_widths.append(omega_op_min - omega_ac_max)
axes[1].plot(mass_ratios_fine, gap_widths, 'b-', linewidth=2)
axes[1].set_xlabel('質量比 $M_2/M_1$', fontsize=14)
axes[1].set_ylabel('バンドギャップ幅 $\Delta\omega$ [rad/s]', fontsize=14)
axes[1].set_title('バンドギャップの質量比依存性', fontsize=16)
axes[1].grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()
2.7 まとめ
本章のまとめ
- 単原子鎖の分散関係: \(\omega(k) = 2\sqrt{K/M}|\sin(ka/2)|\) は、 波数と振動数の関係を与える基本的な関係式です。
- 第一ブリルアンゾーン: 格子の周期性により、物理的に独立な状態は \(-\pi/a \leq k < \pi/a\) の範囲に制限されます。
- 群速度 \(v_g = d\omega/dk\) は エネルギー伝搬速度を表し、ゾーン中心で最大、ゾーン境界でゼロになります。
- 二原子鎖では、音響分枝と光学分枝という 2つの分散曲線が現れます。
- 音響モード（\(k=0\) で \(\omega=0\)）は すべての原子が同位相で振動し、音波に対応します。
- 光学モード（\(k=0\) で有限の \(\omega\)）は 異なる原子が逆位相で振動し、光と相互作用できます。
- バンドギャップ: 音響分枝の最大値と光学分枝の最小値の間に、 フォノンが存在できない周波数領域が存在します。
- 三次元結晶では、縦波（LA、LO）と横波（TA、TO）の 区別が重要になり、単位胞 \(N\) 原子に対して \(3N\) 本の分枝が存在します。
- 長波長極限（\(k \to 0\)）では 格子の離散性が見えず、連続体の弾性波として振る舞います。
- 短波長極限（\(k \to \pi/a\)）では 格子の離散性が本質的となり、群速度がゼロに近づきます。
演習問題
問題1：基礎概念の確認
- 第一ブリルアンゾーンが \(-\pi/a \leq k < \pi/a\) に制限される理由を説明しなさい。
- 群速度と位相速度の違いを、物理的意味を含めて説明しなさい。
- 音響モードと光学モードの原子振動パターンの違いを図示しなさい。
問題2：数値計算
単原子鎖で \(K = 10\) N/m、\(M = 2 \times 10^{-26}\) kg、\(a = 3 \times 10^{-10}\) m とします。
- 最大振動数 \(\omega_{\text{max}}\) を計算し、対応する周期 \(T\) と エネルギー \(E = \hbar\omega_{\text{max}}\) を求めなさい。
- \(k = 0\) での群速度（音速）を計算しなさい。
- \(k = \pi/(2a)\) での群速度を計算し、\(k=0\) の場合と比較しなさい。
問題3：分散関係の解析
二原子鎖で \(M_1 = M\)、\(M_2 = 3M\)、バネ定数 \(K\) とします。
- \(k = 0\) における光学分枝の振動数 \(\omega_+(0)\) を \(K\) と \(M\) で表しなさい。
- \(k = \pi/a\) における音響分枝と光学分枝の振動数を求め、 バンドギャップ幅 \(\Delta\omega\) を計算しなさい。
- \(M_1 = M_2 = M\) の場合、分散関係はどうなるか説明しなさい （光学分枝は消失するか？）。
問題4：長波長・短波長極限
- 単原子鎖の分散関係 \(\omega = 2\sqrt{K/M}|\sin(ka/2)|\) を \(ka \ll 1\) として展開し、\(\omega \approx v_s k\) の形で表しなさい。 音速 \(v_s\) を求めなさい。
- \(k = \pi/a - \delta k\) （\(\delta k \ll \pi/a\)）として、 \(\omega\) を \(\omega_{\text{max}}\) からのずれとして近似しなさい。
- なぜゾーン境界で群速度がゼロになるのか、物理的に説明しなさい。
問題5：Pythonプログラミング
- 単原子鎖の分散関係と群速度をプロットするプログラムを作成しなさい。
- 二原子鎖で、質量比 \(M_2/M_1\) を変化させたときの 分散関係とバンドギャップの変化をアニメーションで表示しなさい。
- 三原子鎖（単位胞に3個の原子）の分散関係を数値的に求め、 何本の分枝が現れるか確認しなさい。
問題6：概念理解
- なぜ光学モードは「光学」と呼ばれるのか、イオン結晶を例に説明しなさい。
- 音響モードが \(k=0\) で振動数ゼロになる物理的理由を、 並進対称性の観点から説明しなさい。
- 三次元結晶で縦波と横波の振動数が異なる理由を、 弾性定数の観点から説明しなさい。
問題7：発展問題
- 二原子鎖で、光学モードの \(k=0\) における振幅比 \(A_2/A_1\) を 求め、質量比との関係を議論しなさい。
- 実際の結晶（例：シリコン、GaAs）のフォノン分散関係を 文献やデータベースから調べ、 本章のモデルとの共通点・相違点を議論しなさい。
- フォノンバンドギャップを持つ材料（フォノニック結晶）の 応用例を調べ、報告しなさい。