第1章：フォノンとは何か？

1.1 はじめに：なぜフォノンを学ぶのか？

固体材料の多くの性質は、原子がどのように振動しているかによって決まります。 熱伝導率、比熱、熱膨張、さらには超伝導や相転移といった現象まで、 すべて格子振動と深く関わっています。フォノン（phonon）は、 この格子振動を量子力学的に記述するための基本概念です。

本章では、古典的な格子振動の描像から始めて、それを量子化することで フォノンという準粒子の概念がどのように生まれるのかを学びます。 この理解は、材料科学や固体物理学における多くの現象を理解するための 基礎となります。

1.2 格子振動の古典的描像

1.2.1 バネで結ばれた原子モデル

結晶固体では、原子は規則正しく配列しています。しかし、原子は静止しているわけではなく、 平衡位置の周りで常に振動しています。この振動を理解するために、 最も単純なモデルとして一次元原子鎖を考えましょう。

この単純なモデルは、実際の結晶における原子間相互作用を表現しています。 原子間の化学結合が「バネ」に相当し、平衡位置からずれると復元力が働きます。

1.2.2 調和近似

原子が平衡位置から変位したとき、その原子が感じるポテンシャルエネルギー \(V(u)\) は、 一般には複雑な関数です。しかし、変位が小さい場合、ポテンシャルを 平衡位置の周りでTaylor展開できます：

1.2.3 運動方程式と基準振動

\(n\) 番目の原子の運動方程式は、Newton の第二法則から次のように書けます：

\[ m\frac{d^2u_n}{dt^2} = K(u_{n+1} - u_n) + K(u_{n-1} - u_n) = K(u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n) \]

この連立微分方程式を解くために、基準振動（normal mode）の 解を仮定します。すべての原子が同じ角振動数 \(\omega\) で振動する 波動解を考えると：

\[ u_n(t) = A e^{i(kna - \omega t)} \]

ここで、\(k\) は波数、\(A\) は振幅、\(na\) は \(n\) 番目の原子の平衡位置です。 この解を運動方程式に代入すると、

\[ -m\omega^2 = K(e^{ika} + e^{-ika} - 2) = 2K(\cos(ka) - 1) \]

整理すると、分散関係（dispersion relation）が得られます：

1.3 格子振動の量子化：フォノンの導入

1.3.1 量子力学的な調和振動子

古典力学では、格子振動のエネルギーは連続的な値をとることができます。 しかし、量子力学では状況が異なります。ミクロな系では、 エネルギーは離散的な値（量子化された値）しかとることができません。

一次元調和振動子のHamiltonian（エネルギー演算子）は：

\[ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2 \]

ここで、\(\hat{p}\) は運動量演算子、\(\hat{x}\) は位置演算子です。 このHamiltonianの固有値（許されるエネルギー準位）は、 量子力学の標準的な計算により次のようになります：

この式から、重要な点が2つ読み取れます：

• エネルギー量子化：エネルギーは \(\hbar\omega\) の整数倍だけ変化する
• ゼロ点エネルギー：\(n = 0\) でもエネルギーは \(E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega \neq 0\)

1.3.2 フォノンの概念

格子振動を量子化すると、振動のエネルギーが \(\hbar\omega\) の単位で やり取りされることがわかりました。この状況を、あたかも エネルギー \(\hbar\omega\) を持つ粒子が \(n\) 個存在する と解釈することができます。

1.3.3 ボソン的性質

フォノンはボソン（boson）です。これは、次のような性質を意味します：

• スピン：フォノンのスピンは整数（実際にはスピン0）
• Pauli の排他律：従わない。つまり、同じ状態（同じ \(k\)）に任意の数のフォノンが入れる
• 統計分布：温度 \(T\) における平均フォノン数は、Bose-Einstein分布に従う： \[ \langle n \rangle = \frac{1}{e^{\hbar\omega/k_B T} - 1} \] ここで \(k_B\) はBoltzmann定数です。

1.4 ゼロ点エネルギーとその物理的意義

1.4.1 ゼロ点エネルギー

調和振動子のエネルギー \(E_n = (n + 1/2)\hbar\omega\) において、 \(n = 0\) の基底状態でも \(E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega\) というエネルギーが残ります。 これをゼロ点エネルギー（zero-point energy）といいます。

1.4.2 ゼロ点エネルギーの重要性

ゼロ点エネルギーは、単なる理論的な興味を超えて、実際の物理現象に重要な影響を与えます：

• ヘリウムの量子液体： ヘリウム-4は大気圧下で絶対零度まで冷却しても固化しません。 これは、軽い原子のゼロ点振動エネルギーが大きく、 結晶化によるポテンシャルエネルギーの低下を上回るためです。
• 同位体効果： 質量の異なる同位体では、\(\omega \propto 1/\sqrt{m}\) なので ゼロ点エネルギーが異なります。これは結合エネルギーや 相転移温度の違いとして観測されます（例：超伝導の同位体効果）。
• 格子定数： ゼロ点振動により、低温でも原子間距離は平衡値より若干大きくなります。

1.5 光子との類比

フォノンの概念は、電磁波の量子化である光子（photon）との類比で 理解するとより明確になります。

1.6 Python による格子振動の可視化

理論を具体的に理解するために、Pythonを使って一次元原子鎖の振動を 可視化してみましょう。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation

# パラメータ設定
N = 20           # 原子数
a = 1.0          # 格子定数
k = 2*np.pi/10   # 波数
omega = 1.0      # 角振動数
A = 0.3          # 振幅

# 原子の平衡位置
n = np.arange(N)
x_eq = n * a

# 時間発展
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 4))

def update(frame):
    ax.clear()
    t = frame * 0.1

    # 各原子の変位
    u = A * np.sin(k * x_eq - omega * t)
    x_actual = x_eq + u

    # プロット
    ax.plot(x_eq, np.zeros_like(x_eq), 'o',
            color='lightgray', markersize=8, label='平衡位置')
    ax.plot(x_actual, np.zeros_like(x_actual), 'o',
            color='blue', markersize=12, label='実際の位置')

    # 変位を矢印で表示
    for i in range(N):
        if abs(u[i]) > 0.01:
            ax.arrow(x_eq[i], 0, u[i], 0, head_width=0.1,
                    head_length=0.05, fc='red', ec='red', alpha=0.6)

    ax.set_xlim(-1, N*a)
    ax.set_ylim(-0.5, 0.5)
    ax.set_xlabel('位置', fontsize=12)
    ax.set_title(f'一次元原子鎖の振動（k={k:.2f}, t={t:.2f}）', fontsize=14)
    ax.legend()
    ax.grid(True, alpha=0.3)

anim = FuncAnimation(fig, update, frames=100, interval=50)
plt.tight_layout()
plt.show()

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータ
K = 1.0  # バネ定数
m = 1.0  # 質量
a = 1.0  # 格子定数

# 波数の範囲（第一Brillouin帯）
k = np.linspace(-np.pi/a, np.pi/a, 500)

# 分散関係
omega = 2 * np.sqrt(K/m) * np.abs(np.sin(k*a/2))

# プロット
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(k, omega, linewidth=2, color='blue')
plt.axhline(y=2*np.sqrt(K/m), color='red', linestyle='--',
            label=r'$\omega_{\max} = 2\sqrt{K/m}$')
plt.axvline(x=0, color='gray', linestyle='-', alpha=0.3)
plt.axvline(x=-np.pi/a, color='gray', linestyle='--', alpha=0.3)
plt.axvline(x=np.pi/a, color='gray', linestyle='--', alpha=0.3)

plt.xlabel(r'波数 $k$ [1/a]', fontsize=14)
plt.ylabel(r'角振動数 $\omega$ [rad/s]', fontsize=14)
plt.title('一次元単原子格子の分散関係', fontsize=16)
plt.legend(fontsize=12)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.xlim(-np.pi/a, np.pi/a)
plt.ylim(0, 2.2*np.sqrt(K/m))
plt.tight_layout()
plt.show()

# 群速度の計算とプロット
dk = k[1] - k[0]
v_g = np.gradient(omega, dk)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(k, v_g, linewidth=2, color='green')
plt.axhline(y=0, color='black', linestyle='-', linewidth=0.5)
plt.xlabel(r'波数 $k$ [1/a]', fontsize=14)
plt.ylabel(r'群速度 $v_g = d\omega/dk$ [m/s]', fontsize=14)
plt.title('群速度（フォノンの伝播速度）', fontsize=16)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()

1.7 歴史的背景

1.7.1 Einstein の貢献

Albert Einstein（1907年）は、固体の比熱を説明するために、 すべての原子が同じ振動数 \(\omega_E\) で独立に振動する Einsteinモデルを提唱しました。 これは量子論を固体物理学に応用した最初の成功例の一つです。

1.7.2 Debye の改良

Peter Debye（1912年）は、原子が独立に振動するのではなく、 連続的な弾性波として振る舞うというより現実的なモデルを提案しました。 Debyeモデルでは、振動数に上限（Debye振動数 \(\omega_D\)）を設け、 それ以下の振動数を持つモードが連続的に分布すると仮定します。

1.7.3 「フォノン」という名前の由来

「phonon」という用語は、ロシアの物理学者Igor Tamm（1932年）によって 初めて使われました。ギリシャ語の「phone」（音）に由来し、 音波・弾性波の量子化を意味します。「光子（photon）」との類推で命名されました。

1.8 まとめ