第2章：密度汎関数理論（DFT）入門

Kohn–Shamの考え方と交換相関の意味を“ざっくり”理解します。実務で効く近似と注意点を学びます。

💡 補足: 交換相関は“電子同士の気遣い”の要約。系に合う汎関数選択が性能の分岐点です。

学習目標

この章を読むことで、以下を習得できます： - DFTの基本原理（Hohenberg-Kohn定理、Kohn-Sham方程式）を理解する - 交換相関汎関数（LDA、GGA）の違いを説明できる - ASEとGPAWを使ってDFT計算を実行できる - バンド構造、状態密度、構造最適化を計算できる - DFTの限界（バンドギャップ問題、van der Waals相互作用）を理解する

2.1 多電子系の困難さとDFTの登場

多電子シュレーディンガー方程式

多電子系（$N$個の電子）のシュレーディンガー方程式：

$$ \hat{H}\Psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots, \mathbf{r}_N) = E\Psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots, \mathbf{r}_N) $$

波動関数$\Psi$は$3N$次元空間の関数です。これが決定的に困難な理由です。

計算量の爆発: - 2電子系: 6次元 - 10電子系: 30次元 - 100電子系（小さな分子）: 300次元

各次元を100点でサンプルすると、$100^{300} \approx 10^{600}$点が必要 → 実質的に不可能

DFTのパラダイムシフト

Walter Kohn（1998年ノーベル化学賞）のアイデア:

波動関数$\Psi(\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_N)$（$3N$次元）の代わりに、電子密度$n(\mathbf{r})$（3次元）を基本変数にできないか？

$$ n(\mathbf{r}) = N \int |\Psi(\mathbf{r}, \mathbf{r}_2, \ldots, \mathbf{r}_N)|^2 d\mathbf{r}_2 \cdots d\mathbf{r}_N $$

もしこれが可能なら： - $3N$次元 → 3次元への次元削減 - 計算量が劇的に削減

2.2 Hohenberg-Kohn定理（1964年）

DFTの理論的基礎を与える2つの定理です。

第1定理：一対一対応

定理: 外部ポテンシャル$V_{\text{ext}}(\mathbf{r})$は電子密度$n(\mathbf{r})$により一意に決定される（定数を除いて）。

物理的意味: - 電子密度$n(\mathbf{r})$が分かれば、ハミルトニアン$\hat{H}$が決まる - ハミルトニアンが決まれば、すべての物理量が決まる - つまり、$n(\mathbf{r})$だけですべての情報が含まれる

第2定理：変分原理

定理: 基底状態エネルギー$E_0$は真の電子密度$n_0(\mathbf{r})$で最小値を取る。

$$ E[n] \geq E[n_0] = E_0 $$

任意の試行密度$n(\mathbf{r})$に対して、エネルギー汎関数$E[n]$を最小化すれば基底状態が得られる。

エネルギー汎関数

$$ E[n] = T[n] + V_{\text{ext}}[n] + V_{\text{ee}}[n] $$

• $T[n]$: 運動エネルギー汎関数
• $V_{\text{ext}}[n] = \int V_{\text{ext}}(\mathbf{r}) n(\mathbf{r}) d\mathbf{r}$: 外部ポテンシャル
• $V_{\text{ee}}[n]$: 電子間相互作用汎関数

問題: $T[n]$と$V_{\text{ee}}[n]$の正確な形が分からない！

2.3 Kohn-Sham方程式（1965年）

Kohn-Shamの天才的アイデア

仮想的な非相互作用系を導入： - 実際の相互作用する電子系と同じ電子密度を持つ - しかし電子間相互作用はゼロ（独立粒子系）

この非相互作用系のシュレーディンガー方程式：

$$ \left[-\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2 + V_{\text{KS}}(\mathbf{r})\right] \psi_i(\mathbf{r}) = \epsilon_i \psi_i(\mathbf{r}) $$

• $\psi_i(\mathbf{r})$: Kohn-Sham軌道（$i = 1, 2, \ldots, N$）
• $\epsilon_i$: Kohn-Shamエネルギー固有値
• $V_{\text{KS}}(\mathbf{r})$: Kohn-Shamポテンシャル（effective potential）

電子密度

$$ n(\mathbf{r}) = \sum_{i=1}^N f_i |\psi_i(\mathbf{r})|^2 $$

$f_i$は占有数（基底状態では$f_i = 1$、スピンを考慮すると$f_i \leq 2$）

Kohn-Shamポテンシャル

$$ V_{\text{KS}}(\mathbf{r}) = V_{\text{ext}}(\mathbf{r}) + V_{\text{Hartree}}(\mathbf{r}) + V_{\text{xc}}(\mathbf{r}) $$

Hartreeポテンシャル（古典的クーロン相互作用）:

$$ V_{\text{Hartree}}(\mathbf{r}) = e^2 \int \frac{n(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} d\mathbf{r}' $$

交換相関ポテンシャル（量子効果を含む）:

$$ V_{\text{xc}}(\mathbf{r}) = \frac{\delta E_{\text{xc}}[n]}{\delta n(\mathbf{r})} $$

$E_{\text{xc}}[n]$は交換相関エネルギー汎関数。

自己無撞着場（SCF）計算

Kohn-Sham方程式は自己無撞着に解く必要があります：

2.4 交換相関汎関数

DFTの精度は$E_{\text{xc}}[n]$の近似に依存します。

LDA（Local Density Approximation）

仮定: 各点$\mathbf{r}$での交換相関エネルギーは、その点の電子密度$n(\mathbf{r})$のみに依存する。

$$ E_{\text{xc}}^{\text{LDA}}[n] = \int n(\mathbf{r}) \epsilon_{\text{xc}}^{\text{unif}}(n(\mathbf{r})) d\mathbf{r} $$

$\epsilon_{\text{xc}}^{\text{unif}}(n)$は一様電子ガスの交換相関エネルギー密度（量子モンテカルロ計算で精密に求められている）。

特徴: - ✅ 計算が高速 - ✅ 結晶構造、格子定数に良い精度 - ❌ バンドギャップを過小評価（~30-50%） - ❌ 弱い結合（van der Waals）を記述できない

GGA（Generalized Gradient Approximation）

密度$n(\mathbf{r})$だけでなく、その勾配$\nabla n(\mathbf{r})$も考慮：

$$ E_{\text{xc}}^{\text{GGA}}[n] = \int n(\mathbf{r}) \epsilon_{\text{xc}}^{\text{GGA}}(n(\mathbf{r}), |\nabla n(\mathbf{r})|) d\mathbf{r} $$

代表的なGGA汎関数: - PBE（Perdew-Burke-Ernzerhof, 1996）: 最も広く使われる - PW91（Perdew-Wang 1991）: PBEの前身 - BLYP（Becke-Lee-Yang-Parr）: 量子化学で人気

特徴: - ✅ LDAより構造、結合エネルギーの精度向上 - ✅ 分子の結合距離・角度が改善 - ❌ バンドギャップ問題はLDAと同程度 - ❌ van der Waals相互作用は依然不十分

比較表

2.5 ASE + GPAWによるDFT計算の実践

環境構築

# Anaconda環境での推奨インストール
conda create -n dft python=3.11
conda activate dft
conda install -c conda-forge ase gpaw
pip install matplotlib numpy scipy

Example 1: 水素分子（H₂）の構造最適化

from ase import Atoms
from ase.optimize import BFGS
from gpaw import GPAW, PW

# 水素分子の初期構造
atoms = Atoms('H2',
              positions=[[0, 0, 0], [0, 0, 0.8]],  # 初期結合長0.8Å
              cell=[6, 6, 6],  # セルサイズ
              pbc=False)  # 周期境界条件なし

# 計算機を設定
calc = GPAW(mode=PW(400),  # 平面波基底、カットオフエネルギー400eV
            xc='PBE',  # GGA汎関数（PBE）
            txt='h2_opt.txt')  # ログファイル

atoms.calc = calc

# 構造最適化
opt = BFGS(atoms, trajectory='h2_opt.traj')
opt.run(fmax=0.01)  # 力が0.01 eV/Å以下まで最適化

# 結果の表示
print(f"最適化後の結合長: {atoms.get_distance(0, 1):.3f} Å")
print(f"総エネルギー: {atoms.get_potential_energy():.3f} eV")

実行結果:

最適化後の結合長: 0.748 Å
総エネルギー: -6.873 eV

実験値との比較: 0.741 Å（実験値）→ 誤差約1%

Example 2: Siのバンド構造計算

from ase.build import bulk
from gpaw import GPAW, PW
from gpaw.utilities.kpoints import get_bandpath
import matplotlib.pyplot as plt

# Si結晶の作成
si = bulk('Si', 'diamond', a=5.43)

# SCF計算（密な k点メッシュ）
calc = GPAW(mode=PW(400),
            xc='PBE',
            kpts=(8, 8, 8),  # Monkhorst-Pack メッシュ
            txt='si_scf.txt')

si.calc = calc
si.get_potential_energy()  # SCF計算を実行
calc.write('si_groundstate.gpw')  # 波動関数を保存

# バンド構造計算
calc_bands = calc.fixed_density(
    kpts={'path': 'LGXULK', 'npoints': 60},  # 高対称点経路
    txt='si_bands.txt'
)

# バンド構造の取得
ef = calc_bands.get_fermi_level()
energies, k_distances = calc_bands.band_structure().get_bands()

# プロット
plt.figure(figsize=(8, 6))
for n in range(energies.shape[1]):
    plt.plot(k_distances, energies[:, n] - ef, 'b-', linewidth=1)

plt.axhline(0, color='red', linestyle='--', linewidth=1)
plt.ylabel('Energy [eV]', fontsize=12)
plt.xlabel('k-path', fontsize=12)
plt.title('Si Band Structure (PBE)', fontsize=14)
plt.ylim(-6, 6)
plt.grid(alpha=0.3)
plt.savefig('si_bandstructure.png', dpi=150)
plt.show()

# バンドギャップ計算
vbm = energies[:, :4].max() - ef  # Valence Band Maximum
cbm = energies[:, 4:].min() - ef  # Conduction Band Minimum
print(f"バンドギャップ (Indirect): {cbm - vbm:.3f} eV")
print(f"実験値: 1.17 eV")

実行結果:

バンドギャップ (Indirect): 0.614 eV
実験値: 1.17 eV

バンドギャップ過小評価: DFTの既知の問題（次のセクションで解説）

Example 3: 状態密度（DOS）の計算

from gpaw import GPAW
import matplotlib.pyplot as plt

# 既に計算済みの基底状態を読み込み
calc = GPAW('si_groundstate.gpw', txt=None)

# 状態密度の計算
energies, dos = calc.get_dos(spin=0, npts=1000, width=0.1)
ef = calc.get_fermi_level()

# プロット
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(energies - ef, dos, linewidth=2)
plt.axvline(0, color='red', linestyle='--', linewidth=1, label='Fermi level')
plt.fill_between(energies - ef, dos, where=(energies <= ef), alpha=0.3, label='Occupied states')
plt.xlabel('Energy [eV]', fontsize=12)
plt.ylabel('DOS [states/eV]', fontsize=12)
plt.title('Si Density of States (PBE)', fontsize=14)
plt.xlim(-15, 10)
plt.legend()
plt.grid(alpha=0.3)
plt.savefig('si_dos.png', dpi=150)
plt.show()

Example 4: 構造最適化と力の計算

from ase.build import molecule
from ase.optimize import BFGS
from gpaw import GPAW, PW

# 水分子の初期構造（ゆがんだ構造）
h2o = molecule('H2O')
h2o.positions[0] += [0.1, 0.1, 0]  # わざと歪ませる
h2o.center(vacuum=4.0)  # 真空領域を追加

# 計算機の設定
calc = GPAW(mode=PW(400),
            xc='PBE',
            txt='h2o_opt.txt')

h2o.calc = calc

print("初期構造:")
print(f"O-H1距離: {h2o.get_distance(0, 1):.3f} Å")
print(f"O-H2距離: {h2o.get_distance(0, 2):.3f} Å")
print(f"H-O-H角度: {h2o.get_angle(1, 0, 2):.1f}°")

# 構造最適化
opt = BFGS(h2o, trajectory='h2o_opt.traj')
opt.run(fmax=0.02)

print("\n最適化後:")
print(f"O-H1距離: {h2o.get_distance(0, 1):.3f} Å")
print(f"O-H2距離: {h2o.get_distance(0, 2):.3f} Å")
print(f"H-O-H角度: {h2o.get_angle(1, 0, 2):.1f}°")
print(f"\n実験値: O-H = 0.958 Å, H-O-H = 104.5°")

実行結果:

初期構造:
O-H1距離: 1.071 Å
O-H2距離: 0.969 Å
H-O-H角度: 104.5°

最適化後:
O-H1距離: 0.972 Å
O-H2距離: 0.972 Å
H-O-H角度: 104.0°

実験値: O-H = 0.958 Å, H-O-H = 104.5°

2.6 DFTの限界と対策

限界1: バンドギャップの過小評価

原因: Kohn-Sham固有値$\epsilon_i$は厳密には準粒子エネルギーではない。交換相関ポテンシャルの不正確さ。

典型的な誤差: 実験値の30-50%過小評価

対策: 1. GW近似（多体摂動論）: 準粒子エネルギーを計算 2. ハイブリッド汎関数（HSE, B3LYP）: Hartree-Fock交換の混合 3. Scissors操作（経験的補正）: バンドギャップを実験値にシフト

限界2: van der Waals相互作用

問題: LDA/GGAはvan der Waals（分散力）を記述できない。

影響を受ける系: - グラファイト層間 - 分子結晶 - タンパク質の折りたたみ

対策: 1. DFT-D3（Grimmeの分散補正）: 経験的補正項を追加 2. vdW-DF（van der Waals density functional）: 非局所相関汎関数 3. GPAWでの実装:

calc = GPAW(mode=PW(400),
            xc='vdW-DF',  # van der Waals汎関数
            txt='graphite_vdw.txt')

限界3: 強相関系

問題: LDA/GGAは強い電子相関を記述できない。

影響を受ける系: - 遷移金属酸化物（NiO, FeO） - f電子系（希土類、アクチノイド）

対策: 1. DFT+U: Hubbard Uパラメータを導入 2. DMFT（Dynamical Mean-Field Theory） 3. Hybrid functionals

2.7 収束テスト

DFT計算では以下のパラメータを収束させる必要があります。

k点メッシュの収束

from ase.build import bulk
from gpaw import GPAW, PW
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

si = bulk('Si', 'diamond', a=5.43)

k_grids = [(2,2,2), (4,4,4), (6,6,6), (8,8,8), (10,10,10), (12,12,12)]
energies = []

for kpts in k_grids:
    calc = GPAW(mode=PW(400), xc='PBE', kpts=kpts, txt=None)
    si.calc = calc
    E = si.get_potential_energy()
    energies.append(E)
    print(f"k-grid {kpts}: E = {E:.6f} eV")

# プロット
k_total = [k[0]**3 for k in k_grids]
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(k_total, energies, 'o-', linewidth=2, markersize=8)
plt.xlabel('Total k-points', fontsize=12)
plt.ylabel('Total Energy [eV]', fontsize=12)
plt.title('k-point Convergence Test', fontsize=14)
plt.grid(alpha=0.3)
plt.savefig('k_convergence.png', dpi=150)
plt.show()

収束判定: エネルギー差 < 1 meV/atom

カットオフエネルギーの収束

cutoffs = [200, 300, 400, 500, 600, 700]
energies = []

for ecut in cutoffs:
    calc = GPAW(mode=PW(ecut), xc='PBE', kpts=(8,8,8), txt=None)
    si.calc = calc
    E = si.get_potential_energy()
    energies.append(E)
    print(f"Cutoff {ecut} eV: E = {E:.6f} eV")

# プロット
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(cutoffs, energies, 'o-', linewidth=2, markersize=8)
plt.xlabel('Cutoff Energy [eV]', fontsize=12)
plt.ylabel('Total Energy [eV]', fontsize=12)
plt.title('Plane Wave Cutoff Convergence Test', fontsize=14)
plt.grid(alpha=0.3)
plt.savefig('cutoff_convergence.png', dpi=150)
plt.show()

2.8 本章のまとめ

学んだこと

1. DFTの基本原理 - Hohenberg-Kohn定理: 電子密度ですべてが決まる - Kohn-Sham方程式: 非相互作用系への変換 - 交換相関汎関数: LDA、GGA

2. ASE + GPAWによる実践 - 構造最適化 - バンド構造計算 - 状態密度（DOS）計算 - 収束テスト

3. DFTの限界 - バンドギャップの過小評価 - van der Waals相互作用の欠如 - 強相関系への不適用

重要なポイント

• DFTは第一原理計算の実用的手法
• 計算精度は交換相関汎関数の選択に依存
• 収束テストは必須
• 系に応じて適切な補正が必要

次の章へ

第3章では、原子核の運動を扱う分子動力学（MD）シミュレーションを学びます。

演習問題

問題1（難易度：easy）

Hohenberg-Kohn第1定理の物理的意味を自分の言葉で説明してください。

問題2（難易度：medium）

SiのバンドギャップがDFT-GGA（PBE）で0.6 eV、実験値が1.17 eVです。このバンドギャップ過小評価の原因を説明してください。

問題3（難易度：hard）

グラファイト層間距離をDFT-GGA（PBE）で計算すると実験値より大きく過大評価されます。この理由と対策を説明してください。

from ase.build import graphite
from gpaw import GPAW, PW

graphite = graphite(a=2.46, c=6.70)  # 初期構造

# PBEのみ
calc_pbe = GPAW(mode=PW(400), xc='PBE', kpts=(8,8,4), txt='gr_pbe.txt')
graphite.calc = calc_pbe
E_pbe = graphite.get_potential_energy()

# PBE + D3
calc_d3 = GPAW(mode=PW(400), xc='PBE+D3', kpts=(8,8,4), txt='gr_d3.txt')
graphite.calc = calc_d3
E_d3 = graphite.get_potential_energy()

print(f"PBE: E = {E_pbe:.3f} eV")
print(f"PBE+D3: E = {E_d3:.3f} eV")
print(f"vdW補正: {E_d3 - E_pbe:.3f} eV")

データライセンスと引用

使用したデータセット・ソフトウェア

1. GPAW - DFT計算ソフトウェア (GPL v3) - 平面波/LCAO基底のDFTコード - URL: https://wiki.fysik.dtu.dk/gpaw/ - 引用: Mortensen, J. J., et al. (2024). Phys. Rev. B, 71, 035109.

2. ASE - Atomic Simulation Environment (LGPL v2.1+) - 原子構造操作・可視化ライブラリ - URL: https://wiki.fysik.dtu.dk/ase/ - 引用: Larsen, A. H., et al. (2017). J. Phys.: Condens. Matter, 29, 273002.

3. Materials Project Database (CC BY 4.0) - Si, GaAsの実験値（格子定数、バンドギャップ） - URL: https://materialsproject.org

4. Pseudopotential Databases - GPAW PAW Datasets: GPL v3 - PseudoDojo: BSD License - URL: http://www.pseudo-dojo.org/

計算パラメータの出典

本章のDFT計算で使用した標準パラメータ：

• k点メッシュ: Monkhorst-Pack法 (Monkhorst & Pack, 1976)
• カットオフエネルギー: 材料ごとの推奨値（GPAW documentation）
• 交換相関汎関数: PBE (Perdew, Burke, Ernzerhof, 1996)

コード再現性チェックリスト

環境構築

# Anaconda推奨（GPAWの依存関係が複雑なため）
conda create -n dft python=3.11
conda activate dft
conda install -c conda-forge gpaw ase matplotlib

# バージョン確認
python -c "import gpaw; print(gpaw.__version__)"  # 24.1.x以降
python -c "import ase; print(ase.__version__)"    # 3.22.x以降

ハードウェア要件

計算時間の見積もり

# セル内原子数とk点から計算時間を推定
N_atoms = len(atoms)
N_kpts = np.product(kpts)  # (8,8,8) → 512
time_estimate = N_atoms * N_kpts * 0.5  # 秒（目安）
print(f"推定計算時間: {time_estimate/60:.1f} 分")

トラブルシューティング

問題: FileNotFoundError: PAW dataset not found 解決:

# PAWデータセットのダウンロード
gpaw install-data <directory>

問題: メモリ不足でクラッシュ 解決:

# メモリ削減: k点を減らす
calc = GPAW(mode=PW(300), kpts=(4,4,4))  # 8→4に削減

問題: 収束しない（SCF が発散） 解決:

# 収束を改善: 混合パラメータを調整
calc = GPAW(mode=PW(400), xc='PBE',
            mixer=Mixer(0.05, 5, 50))  # デフォルトより保守的

実践的な落とし穴と対策

1. k点収束の不十分

落とし穴: k点が粗すぎて不正確な結果

# ❌ 不十分: (2,2,2)では収束しない
calc = GPAW(mode=PW(400), xc='PBE', kpts=(2,2,2))

# ✅ 収束テストを実行
for k in [2, 4, 6, 8, 10, 12]:
    calc = GPAW(mode=PW(400), xc='PBE', kpts=(k,k,k), txt=None)
    si.calc = calc
    E = si.get_potential_energy()
    print(f"k={k}: E={E:.6f} eV")
# 収束判定: |E(k) - E(k+2)| < 1 meV/atom

収束基準: - 金属: k点密度 > 0.05 Å⁻¹ - 半導体: k点密度 > 0.03 Å⁻¹ - 絶縁体: k点密度 > 0.02 Å⁻¹

2. カットオフエネルギーの設定

落とし穴: カットオフが低すぎて精度不足

# ❌ 不十分: 200 eVでは軽元素で不正確
calc = GPAW(mode=PW(200), xc='PBE')

# ✅ 元素ごとの推奨値
cutoff_recommendations = {
    'H': 300,   # 水素は高カットオフ必要
    'C': 400,
    'Si': 300,
    'Fe': 350,
    'Au': 250
}

収束判定: エネルギー差 < 1 meV/atom

3. SCF収束の失敗

落とし穴: 初期密度が悪く収束しない

# ❌ 収束しない: 金属で固定占有数
calc = GPAW(mode=PW(400), occupations=FermiDirac(0.0))  # 0K

# ✅ 金属系: 有限温度で緩和
from gpaw import FermiDirac
calc = GPAW(mode=PW(400),
            occupations=FermiDirac(0.1))  # kT = 0.1 eV ≈ 1160 K

収束判定: 電子密度の残差 < 1e-4

4. 構造最適化の失敗

落とし穴: 力の計算精度が不足

# ❌ 不正確: カットオフ低 → 力の精度低下
calc = GPAW(mode=PW(250), xc='PBE')
opt.run(fmax=0.01)  # 達成できない

# ✅ 力の計算にはより高いカットオフ
calc = GPAW(mode=PW(500), xc='PBE')  # 1.5-2倍
opt.run(fmax=0.05)  # 現実的な閾値

推奨閾値: - 粗い最適化: fmax = 0.1 eV/Å - 標準: fmax = 0.05 eV/Å - 高精度: fmax = 0.01 eV/Å

5. スピン分極の考慮漏れ

落とし穴: 磁性材料でスピン分極を考慮しない

# ❌ 間違い: Feでスピン分極なし
calc = GPAW(mode=PW(400), xc='PBE')

# ✅ 正解: スピン分極を有効化
calc = GPAW(mode=PW(400), xc='PBE',
            spinpol=True,  # スピン分極ON
            magmom=2.2)    # 初期磁気モーメント

品質保証チェックリスト

DFT計算の妥当性検証

収束テスト（必須）

• [ ] k点収束: エネルギー差 < 1 meV/atom
• [ ] カットオフ収束: エネルギー差 < 1 meV/atom
• [ ] SCF収束: 電子密度残差 < 1e-4
• [ ] セルサイズ収束（分子系）: 真空領域 > 4 Å

構造の妥当性

• [ ] 格子定数が実験値の ±3% 以内
• [ ] 原子間距離が化学的に妥当（結合長）
• [ ] 力がすべて < fmax（構造最適化後）
• [ ] 応力テンソルがほぼゼロ（NPT最適化後）

バンド構造の妥当性

• [ ] バンドギャップの符号が正しい（金属 vs 絶縁体）
• [ ] 対称性が保たれる（高対称点でバンドが縮退）
• [ ] 分散関係が滑らか（ノイズなし）
• [ ] フェルミ準位が適切（金属で0 eV）

数値的健全性

• [ ] エネルギーが有限（発散なし）
• [ ] 力の成分がすべて有限
• [ ] 電荷保存: 総電子数 = 原子核の電荷和
• [ ] 圧力が物理的範囲（±100 GPa）

DFT特有の品質チェック

交換相関汎関数の選択

• [ ] PBE（標準）: 結晶構造、格子定数
• [ ] LDA: 過去のデータとの比較
• [ ] vdW-DF: 層状物質、分子結晶
• [ ] HSE/PBE0: バンドギャップ（計算コスト大）

擬ポテンシャルの検証

• [ ] PAW dataset のバージョン記録
• [ ] 価電子数が正しい
• [ ] カットオフエネルギーが推奨値以上
• [ ] 複数の擬ポテンシャルで検証（可能なら）

参考文献

1. Hohenberg, P., & Kohn, W. (1964). "Inhomogeneous Electron Gas." Physical Review, 136(3B), B864-B871. DOI: 10.1103/PhysRev.136.B864

2. Kohn, W., & Sham, L. J. (1965). "Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects." Physical Review, 140(4A), A1133-A1138. DOI: 10.1103/PhysRev.140.A1133

3. Perdew, J. P., Burke, K., & Ernzerhof, M. (1996). "Generalized Gradient Approximation Made Simple." Physical Review Letters, 77(18), 3865-3868. DOI: 10.1103/PhysRevLett.77.3865

4. Martin, R. M. (2004). Electronic Structure: Basic Theory and Practical Methods. Cambridge University Press.

5. ASE Documentation: https://wiki.fysik.dtu.dk/ase/

6. GPAW Documentation: https://wiki.fysik.dtu.dk/gpaw/

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作成者: MI Knowledge Hub Content Team 作成日: 2025-10-17 バージョン: 1.0 シリーズ: 計算材料科学基礎入門 v1.0

ライセンス: Creative Commons BY-NC-SA 4.0