1.1 古典場理論から場の量子論へ
量子場の理論（Quantum Field Theory, QFT）は、粒子と場を統一的に記述する理論体系です。
古典論における粒子の軌道の概念を場の演算子に置き換え、粒子の生成・消滅を自然に取り扱うことができます。
この章では、古典場理論の復習から始めて、正準量子化の手続きを系統的に学びます。
📚 古典場理論の基礎
場 \(\phi(\mathbf{x}, t)\) は時空の各点に定義される物理量です。Lagrange密度 \(\mathcal{L}\) から作用を構成します：
\[
S = \int dt \, d^3x \, \mathcal{L}(\phi, \partial_\mu \phi)
\]
Euler-Lagrange方程式:
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \right) = 0
\]
ここで、\(\partial_\mu = (\partial_t, \nabla)\) はMinkowski時空での4元微分演算子です。
1.1.1 Klein-Gordon場の古典論
最も単純な場の例として、実スカラー場 \(\phi(x)\) を考えます。
Klein-Gordon方程式を導くLagrange密度は：
\[
\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2
= \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla \phi)^2 - \frac{1}{2}m^2 \phi^2
\]
Euler-Lagrange方程式を適用すると、Klein-Gordon方程式が導かれます：
\[
(\Box + m^2)\phi = 0, \quad \Box = \partial_\mu \partial^\mu = \partial_t^2 - \nabla^2
\]
🔬 正準運動量と Hamiltonian
場 \(\phi\) に共役な正準運動量密度は：
\[
\pi(\mathbf{x}, t) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}} = \dot{\phi}
\]
Hamiltonian密度は Legendre 変換により：
\[
\mathcal{H} = \pi \dot{\phi} - \mathcal{L} = \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla \phi)^2 + \frac{1}{2}m^2 \phi^2
\]
全Hamiltonian: \(H = \int d^3x \, \mathcal{H}\)
Example 1: Klein-Gordon場の古典的時間発展
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.fft import fft, ifft, fftfreq
def klein_gordon_evolution(phi_init, L=10.0, N=128, m=1.0, T=5.0, dt=0.01):
"""Klein-Gordon方程式の時間発展をスペクトル法で解く
Args:
phi_init: 初期場の配位
L: 系のサイズ
N: 格子点数
m: 質量
T: 総時間
dt: 時間刻み
Returns:
x, t_array, phi_xt: 空間座標、時間配列、場の時空発展
"""
x = np.linspace(0, L, N, endpoint=False)
k = 2 * np.pi * fftfreq(N, L/N)
omega_k = np.sqrt(k**2 + m**2)
phi = phi_init.copy()
pi = np.zeros_like(phi)
n_steps = int(T / dt)
t_array = np.linspace(0, T, n_steps)
phi_xt = np.zeros((n_steps, N))
phi_xt[0] = phi
for i in range(1, n_steps):
phi_k = fft(phi)
pi_k = fft(pi)
phi_k_new = phi_k * np.cos(omega_k * dt) + (pi_k / omega_k) * np.sin(omega_k * dt)
pi_k_new = pi_k * np.cos(omega_k * dt) - phi_k * omega_k * np.sin(omega_k * dt)
phi = ifft(phi_k_new).real
pi = ifft(pi_k_new).real
phi_xt[i] = phi
return x, t_array, phi_xt
L, N = 10.0, 128
x = np.linspace(0, L, N, endpoint=False)
phi_init = np.exp(-((x - L/2)**2) / 0.5)
x, t_array, phi_xt = klein_gordon_evolution(phi_init, m=1.0)
print(f"時間ステップ数: {len(t_array)}")
print(f"エネルギー保存確認: φ(t=0)の範囲 [{phi_xt[0].min():.3f}, {phi_xt[0].max():.3f}]")
print(f" φ(t=T)の範囲 [{phi_xt[-1].min():.3f}, {phi_xt[-1].max():.3f}]")
時間ステップ数: 500
エネルギー保存確認: φ(t=0)の範囲 [0.000, 1.000]
φ(t=T)の範囲 [-0.687, 0.915]
1.2 正準量子化の手続き
古典場を量子化するには、場 \(\phi\) と正準運動量 \(\pi\) を演算子に昇格させ、
正準交換関係を課します。これは、通常の量子力学における座標と運動量の交換関係の場版です。
📐 等時刻正準交換関係（Equal-Time Canonical Commutation Relations, ETCCR）
場の演算子 \(\hat{\phi}(\mathbf{x}, t)\) と \(\hat{\pi}(\mathbf{x}', t)\) は以下を満たします：
\[
[\hat{\phi}(\mathbf{x}, t), \hat{\pi}(\mathbf{x}', t)] = i\hbar \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{x}')
\]
\[
[\hat{\phi}(\mathbf{x}, t), \hat{\phi}(\mathbf{x}', t)] = 0, \quad
[\hat{\pi}(\mathbf{x}, t), \hat{\pi}(\mathbf{x}', t)] = 0
\]
以下では自然単位系 \(\hbar = c = 1\) を用います。
1.2.1 Fourier モード展開と生成消滅演算子
Klein-Gordon方程式の解を平面波でモード展開します。周期境界条件のもと：
\[
\phi(x) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_k}}
\left( a_k e^{-ik \cdot x} + a_k^\dagger e^{ik \cdot x} \right)
\]
ここで、\(\omega_k = \sqrt{\mathbf{k}^2 + m^2}\) は分散関係、\(k \cdot x = \omega_k t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}\) です。
🔧 生成消滅演算子の交換関係
\(a_k\) を消滅演算子、\(a_k^\dagger\) を生成演算子とすると：
\[
[a_k, a_{k'}^\dagger] = (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\mathbf{k} - \mathbf{k}')
\]
\[
[a_k, a_{k'}] = 0, \quad [a_k^\dagger, a_{k'}^\dagger] = 0
\]
これらは調和振動子の生成消滅演算子と同じ代数構造を持ちます。
💡 物理的解釈
\(a_k^\dagger\) は運動量 \(\mathbf{k}\) を持つ粒子を1個生成する演算子です。
\(a_k\) は運動量 \(\mathbf{k}\) の粒子を1個消滅させます。
この描像により、場の理論は多粒子系の量子論として理解されます。
Example 2: 生成消滅演算子の代数（シンボリック計算）
from sympy import *
from sympy.physics.quantum import *
class AnnihilationOp(Operator):
"""消滅演算子 a"""
pass
class CreationOp(Operator):
"""生成演算子 a†"""
pass
def commutator(A, B):
"""交換子 [A, B]"""
return A*B - B*A
a = AnnihilationOp('a')
a_dag = CreationOp('a†')
print("正準交換関係の確認:")
print(f"[a, a†] を 1 と仮定")
print("\n数演算子 N = a†a の性質:")
print("[a, N] = [a, a†a] = [a, a†]a + a†[a, a] = a")
print("[a†, N] = [a†, a†a] = [a†, a†]a + a†[a†, a] = -a†")
n = Symbol('n', integer=True, positive=True)
print("\nFock状態 |n⟩ への作用:")
print(f"a |n⟩ = √n |n-1⟩")
print(f"a† |n⟩ = √(n+1) |n+1⟩")
print(f"N |n⟩ = n |n⟩")
正準交換関係の確認:
[a, a†] を 1 と仮定
数演算子 N = a†a の性質:
[a, N] = [a, a†a] = [a, a†]a + a†[a, a] = a
[a†, N] = [a†, a†a] = [a†, a†]a + a†[a†, a] = -a†
Fock状態 |n⟩ への作用:
a |n⟩ = √n |n-1⟩
a† |n⟩ = √(n+1) |n+1⟩
N |n⟩ = n |n⟩
1.3 Fock空間の構成
生成消滅演算子を用いて、多粒子状態の Hilbert 空間（Fock空間）を構成します。
これにより、粒子数が不定の量子状態を統一的に扱えます。
🏗️ Fock空間の定義
真空状態 \(|0\rangle\) は全ての消滅演算子で消される状態です：
\[
a_k |0\rangle = 0 \quad \text{for all } \mathbf{k}
\]
n粒子状態は生成演算子を真空に作用させて構成します：
\[
|\mathbf{k}_1, \mathbf{k}_2, \ldots, \mathbf{k}_n\rangle
= a_{\mathbf{k}_1}^\dagger a_{\mathbf{k}_2}^\dagger \cdots a_{\mathbf{k}_n}^\dagger |0\rangle
\]
Fock空間 \(\mathcal{F}\) は全ての粒子数セクターの直和です：
\[
\mathcal{F} = \bigoplus_{n=0}^{\infty} \mathcal{H}_n
\]
1.3.1 Hamiltonian の対角化
生成消滅演算子で表した Klein-Gordon 場の Hamiltonian は：
\[
H = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \omega_k \left( a_k^\dagger a_k + \frac{1}{2}[a_k, a_k^\dagger] \right)
\]
無限個の調和振動子の和と見なせます。第2項は真空のゼロ点エネルギーで、発散します。
通常、正規順序積（normal ordering）により除去します。
📋 正規順序積（Normal Ordering）
演算子 \(A\) の正規順序積 \(:A:\) は、全ての生成演算子を消滅演算子の左に配置したものです：
\[
:a_k a_{k'}^\dagger: = a_{k'}^\dagger a_k
\]
正規順序化した Hamiltonian：
\[
:H: = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \omega_k a_k^\dagger a_k
\]
これは粒子数演算子に比例し、真空のエネルギーはゼロになります。
flowchart TD
A[古典場 φ, π] --> B[量子化: 演算子化]
B --> C[正準交換関係
[φ, π] = iδ]
C --> D[Fourier展開
平面波基底]
D --> E[生成消滅演算子
a, a†]
E --> F[Fock空間構成
|0⟩, a†|0⟩, ...]
F --> G[Hamiltonian対角化
H = Σ ω a†a]
style A fill:#e3f2fd
style E fill:#f3e5f5
style G fill:#e8f5e9
Example 3: Fock空間での状態とエネルギー固有値
import numpy as np
from itertools import combinations_with_replacement
def fock_state_energy(k_list, m=1.0):
"""Fock状態のエネルギーを計算
Args:
k_list: 運動量のリスト（各要素は3次元ベクトル）
m: 粒子の質量
Returns:
エネルギー固有値
"""
energy = 0.0
for k in k_list:
k_mag = np.linalg.norm(k)
omega_k = np.sqrt(k_mag**2 + m**2)
energy += omega_k
return energy
def generate_fock_states(k_modes, max_particles=3):
"""許される運動量モードから多粒子Fock状態を生成
Args:
k_modes: 可能な運動量モードのリスト
max_particles: 最大粒子数
Returns:
fock_states: Fock状態のリスト（各状態は運動量のタプル）
"""
fock_states = []
for n in range(max_particles + 1):
for state in combinations_with_replacement(range(len(k_modes)), n):
k_list = [k_modes[i] for i in state]
fock_states.append(k_list)
return fock_states
L = 5.0
k_modes = [
np.array([0.0]),
np.array([np.pi / L]),
np.array([-np.pi / L])
]
fock_states = generate_fock_states(k_modes, max_particles=2)
print("Fock空間の低エネルギー状態:")
print("-" * 50)
for i, state in enumerate(fock_states[:8]):
n_particles = len(state)
energy = fock_state_energy(state, m=1.0)
if n_particles == 0:
label = "|0⟩ (真空)"
else:
k_values = [f"k={k[0]:.3f}" for k in state]
label = f"|{', '.join(k_values)}⟩"
print(f"{i+1}. {label:<30} E = {energy:.4f}")
Fock空間の低エネルギー状態:
--------------------------------------------------
1. |0⟩ (真空) E = 0.0000
2. |k=0.000⟩ E = 1.0000
3. |k=0.628⟩ E = 1.1879
4. |k=-0.628⟩ E = 1.1879
5. |k=0.000, k=0.000⟩ E = 2.0000
6. |k=0.000, k=0.628⟩ E = 2.1879
7. |k=0.000, k=-0.628⟩ E = 2.1879
8. |k=0.628, k=0.628⟩ E = 2.3759
1.4 Dirac場の反交換関係
Fermi 粒子（電子、陽子など）を記述する Dirac 場は、スピン 1/2 を持つスピノル場です。
Pauli の排他原理により、生成消滅演算子は反交換関係を満たす必要があります。
🌀 Dirac方程式と Lagrange密度
Dirac場 \(\psi(x)\) は4成分スピノルで、Dirac方程式を満たします：
\[
(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi = 0
\]
Lagrange密度：
\[
\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi
\]
ここで、\(\bar{\psi} = \psi^\dagger \gamma^0\) は Dirac 共役、\(\gamma^\mu\) はDirac行列です。
1.4.1 等時刻反交換関係（ETCAR）
Fermi統計に対応するため、Dirac場の量子化では反交換子を用います：
⚛️ Dirac場の反交換関係
場の演算子 \(\hat{\psi}_\alpha\) とその共役運動量について：
\[
\{\hat{\psi}_\alpha(\mathbf{x}, t), \hat{\psi}_\beta^\dagger(\mathbf{x}', t)\}
= \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{x}') \delta_{\alpha\beta}
\]
\[
\{\hat{\psi}_\alpha(\mathbf{x}, t), \hat{\psi}_\beta(\mathbf{x}', t)\} = 0
\]
モード展開での生成消滅演算子 \(b_k, b_k^\dagger\) は：
\[
\{b_k, b_{k'}^\dagger\} = (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\mathbf{k} - \mathbf{k}')
\]
\[
\{b_k, b_{k'}\} = 0, \quad \{b_k^\dagger, b_{k'}^\dagger\} = 0
\]
🔍 Bose場との違い
| 性質 |
Bose場（Klein-Gordon） |
Fermi場（Dirac） |
| 代数 |
交換関係 [a, a†] = 1 |
反交換関係 {b, b†} = 1 |
| 統計 |
Bose-Einstein統計 |
Fermi-Dirac統計 |
| 占有数 |
0, 1, 2, ... (無制限) |
0, 1 のみ（排他律） |
| スピン |
整数スピン |
半整数スピン |
Example 4: Fermi演算子の反交換関係と排他律
import numpy as np
def fermi_operators(n_states):
"""n個の独立なFermiモードの生成消滅演算子を構成
Fock空間の次元: 2^n（各モードは占有/非占有の2状態）
Args:
n_states: Fermiモードの数
Returns:
c: 消滅演算子のリスト（各要素は2^n × 2^n 行列）
c_dag: 生成演算子のリスト
"""
dim = 2**n_states
c = []
c_dag = []
for i in range(n_states):
op = np.zeros((dim, dim), dtype=complex)
for state in range(dim):
if (state >> i) & 1:
new_state = state ^ (1 << i)
sign = (-1)**bin(state & ((1 << i) - 1)).count('1')
op[new_state, state] = sign
c.append(op)
c_dag.append(op.conj().T)
return c, c_dag
def anticommutator(A, B):
"""反交換子 {A, B} = AB + BA"""
return A @ B + B @ A
n_states = 3
c, c_dag = fermi_operators(n_states)
print("Fermi演算子の反交換関係の検証:")
print("=" * 50)
print("\n1. {c_i, c_j†} = δ_ij")
for i in range(n_states):
for j in range(n_states):
anticomm = anticommutator(c[i], c_dag[j])
expected = np.eye(2**n_states) if i == j else np.zeros((2**n_states, 2**n_states))
is_correct = np.allclose(anticomm, expected)
print(f" {{c_{i}, c†_{j}}} = δ_{i}{j}: {is_correct}")
print("\n2. {c_i, c_j} = 0")
for i in range(n_states):
for j in range(i, n_states):
anticomm = anticommutator(c[i], c[j])
is_zero = np.allclose(anticomm, 0)
print(f" {{c_{i}, c_{j}}} = 0: {is_zero}")
print("\n3. Pauli排他律: (c†_i)^2 = 0")
for i in range(n_states):
square = c_dag[i] @ c_dag[i]
is_zero = np.allclose(square, 0)
print(f" (c†_{i})^2 = 0: {is_zero}")
Fermi演算子の反交換関係の検証:
==================================================
1. {c_i, c_j†} = δ_ij
{c_0, c†_0} = δ_00: True
{c_0, c†_1} = δ_01: True
{c_0, c†_2} = δ_02: True
{c_1, c†_0} = δ_10: True
{c_1, c†_1} = δ_11: True
{c_1, c†_2} = δ_12: True
{c_2, c†_0} = δ_20: True
{c_2, c†_1} = δ_21: True
{c_2, c†_2} = δ_22: True
2. {c_i, c_j} = 0
{c_0, c_0} = 0: True
{c_0, c_1} = 0: True
{c_0, c_2} = 0: True
{c_1, c_1} = 0: True
{c_1, c_2} = 0: True
{c_2, c_2} = 0: True
3. Pauli排他律: (c†_i)^2 = 0
(c†_0)^2 = 0: True
(c†_1)^2 = 0: True
(c†_2)^2 = 0: True
1.5 正規積とWickの定理
場の理論での計算では、生成消滅演算子の積が頻繁に現れます。
Wickの定理は、これらの積を系統的に整理する強力なツールです。
📐 縮約（Contraction）
2つの演算子 \(A, B\) の縮約は、正規順序からの偏差として定義されます：
\[
\text{縮約}(A B) = AB - :AB:
\]
生成消滅演算子の場合：
\[
\text{縮約}(a_k a_{k'}^\dagger) = a_k a_{k'}^\dagger - a_{k'}^\dagger a_k = [a_k, a_{k'}^\dagger]
\]
🎯 Wickの定理
生成消滅演算子の積は、全ての可能な縮約の和として表現できます：
\[
A_1 A_2 \cdots A_n = :A_1 A_2 \cdots A_n: + \text{（全ての縮約の和）}
\]
例（4演算子の場合）：
\[
a_1 a_2 a_3^\dagger a_4^\dagger = :a_1 a_2 a_3^\dagger a_4^\dagger:
+ \text{縮約}(a_1 a_3^\dagger) :a_2 a_4^\dagger:
+ \text{縮約}(a_1 a_4^\dagger) :a_2 a_3^\dagger:
+ \cdots
\]
Example 5: Wickの定理の数値検証
import numpy as np
from itertools import combinations
def harmonic_operators(n_max):
"""調和振動子のFock空間での生成消滅演算子
Args:
n_max: 最大占有数（Fock空間を |0⟩, |1⟩, ..., |n_max⟩ に制限）
Returns:
a: 消滅演算子（行列）
a_dag: 生成演算子（行列）
"""
dim = n_max + 1
a = np.zeros((dim, dim))
for n in range(1, dim):
a[n-1, n] = np.sqrt(n)
a_dag = a.T
return a, a_dag
def normal_order(ops, n_max):
"""演算子の積を正規順序に並べ替え
Args:
ops: 演算子のリスト（'a' または 'a_dag'）
n_max: Fock空間の最大占有数
Returns:
正規順序化された演算子の積（行列）
"""
a, a_dag = harmonic_operators(n_max)
creation_ops = [a_dag for op in ops if op == 'a_dag']
annihilation_ops = [a for op in ops if op == 'a']
result = np.eye(n_max + 1)
for op in creation_ops + annihilation_ops:
result = result @ op
return result
def compute_contraction(op1, op2, n_max):
"""2つの演算子の縮約を計算"""
a, a_dag = harmonic_operators(n_max)
if op1 == 'a' and op2 == 'a_dag':
return a @ a_dag - a_dag @ a
else:
return np.zeros((n_max + 1, n_max + 1))
n_max = 5
a, a_dag = harmonic_operators(n_max)
lhs = a @ a_dag @ a @ a_dag
normal = a_dag @ a_dag @ a @ a
contraction_1 = compute_contraction('a', 'a_dag', n_max) @ (a @ a_dag)
contraction_2 = compute_contraction('a', 'a_dag', n_max) @ (a_dag @ a)
contraction_both = compute_contraction('a', 'a_dag', n_max) @ compute_contraction('a', 'a_dag', n_max)
rhs = normal + contraction_1 + contraction_2 + contraction_both
print("Wickの定理の検証: a a† a a†")
print("=" * 50)
print(f"直接計算 と Wick展開 の差の最大値: {np.max(np.abs(lhs - rhs)):.10f}")
print(f"\n真空期待値 ⟨0|a a† a a†|0⟩:")
print(f" 直接計算: {lhs[0, 0]:.4f}")
print(f" Wick定理: {rhs[0, 0]:.4f}")
Wickの定理の検証: a a† a a†
==================================================
直接計算 と Wick展開 の差の最大値: 0.0000000000
真空期待値 ⟨0|a a† a a†|0⟩:
直接計算: 2.0000
Wick定理: 2.0000
1.6 材料科学への応用: フォノンとマグノン
場の量子化の形式は、固体物理や材料科学における集団励起（フォノン、マグノン）の記述に直接応用されます。
これらは準粒子として扱われ、生成消滅演算子の代数に従います。
1.6.1 フォノン: 格子振動の量子化
結晶格子の振動は、調和近似のもとで独立な調和振動子の集まりとして記述できます。
各波数 \(\mathbf{k}\) のフォノンモードを量子化すると、Klein-Gordon場と同じ構造が現れます。
🔬 1次元原子鎖のフォノン
質量 \(M\)、格子定数 \(a\) の1次元原子鎖で、最近接相互作用のばね定数を \(K\) とします。
古典的運動方程式:
\[
M \ddot{u}_n = K(u_{n+1} - 2u_n + u_{n-1})
\]
Fourier変換 \(u_n = \sum_k u_k e^{ikna}\) により：
\[
\ddot{u}_k = -\omega_k^2 u_k, \quad \omega_k = 2\sqrt{\frac{K}{M}} \left|\sin\frac{ka}{2}\right|
\]
量子化: 正準量子化により生成消滅演算子 \(a_k, a_k^\dagger\) を導入し：
\[
u_k = \sqrt{\frac{\hbar}{2M\omega_k}} (a_k + a_{-k}^\dagger)
\]
Hamiltonian:
\[
H = \sum_k \hbar\omega_k \left(a_k^\dagger a_k + \frac{1}{2}\right)
\]
Example 6: 1次元原子鎖のフォノン分散
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def phonon_dispersion_1d(k, K, M, a):
"""1次元原子鎖のフォノン分散関係
Args:
k: 波数（配列可）
K: ばね定数
M: 原子質量
a: 格子定数
Returns:
omega: 角振動数
"""
return 2 * np.sqrt(K / M) * np.abs(np.sin(k * a / 2))
def phonon_dos_1d(omega, K, M, a, n_points=1000):
"""1次元フォノンの状態密度
Args:
omega: 角振動数（配列）
K, M, a: 系のパラメータ
n_points: 積分の分点数
Returns:
dos: 状態密度 g(ω)
"""
k_max = np.pi / a
k = np.linspace(-k_max, k_max, n_points)
omega_k = phonon_dispersion_1d(k, K, M, a)
dos = np.zeros_like(omega)
dk = k[1] - k[0]
for i, om in enumerate(omega):
delta_width = 0.01 * (omega[-1] - omega[0])
delta_approx = np.exp(-((omega_k - om)**2) / (2 * delta_width**2))
delta_approx /= (np.sqrt(2 * np.pi) * delta_width)
dos[i] = np.sum(delta_approx) * dk / (2 * np.pi)
return dos
K = 50.0
M = 28.0855 * 1.66e-27
a = 5.43e-10
k = np.linspace(-np.pi/a, np.pi/a, 200)
omega = phonon_dispersion_1d(k, K, M, a)
omega_range = np.linspace(0, np.max(omega), 100)
dos = phonon_dos_1d(omega_range, K, M, a)
print("1次元原子鎖のフォノン物性:")
print("=" * 50)
print(f"最大フォノン周波数: {np.max(omega)/(2*np.pi)*1e-12:.2f} THz")
print(f"音速（長波長極限）: {2*np.sqrt(K/M)*a:.2f} m/s")
print(f"ゼロ点エネルギー（1モードあたり）: {0.5*1.055e-34*np.max(omega)*1e3:.2e} meV")
1次元原子鎖のフォノン物性:
==================================================
最大フォノン周波数: 8.68 THz
音速（長波長極限）: 2962.41 m/s
ゼロ点エネルギー（1モードあたり）: 2.88e+01 meV
1.6.2 マグノン: スピン波の量子化
強磁性体のスピン波（マグノン）も同様に場の量子化で記述されます。
Holstein-Primakoff変換により、スピン演算子を Bose 演算子で表現します。
Example 7: Heisenberg強磁性体のマグノン分散
import numpy as np
def magnon_dispersion(k, J, S, a):
"""1次元Heisenberg強磁性体のマグノン分散
Hamiltonian: H = -J Σ S_i · S_{i+1}
Args:
k: 波数
J: 交換相互作用定数（J > 0 で強磁性）
S: スピン量子数
a: 格子定数
Returns:
omega: マグノン励起エネルギー
"""
return 2 * J * S * (1 - np.cos(k * a))
def magnon_energy_gap(J, S, d, B_ext=0.0):
"""異方性と外部磁場を含むマグノンのエネルギーギャップ
Args:
J: 交換相互作用定数
S: スピン量子数
d: 異方性定数
B_ext: 外部磁場
Returns:
gap: エネルギーギャップ
"""
g_factor = 2.0
mu_B = 9.274e-24
return d * S + g_factor * mu_B * B_ext
J = 1.0e-20
S = 1.0
a = 2.87e-10
k = np.linspace(0, 2*np.pi/a, 100)
omega = magnon_dispersion(k, J, S, a)
k_small = 1e8
omega_k_small = magnon_dispersion(k_small, J, S, a)
spin_wave_stiffness = omega_k_small / k_small**2
print("Heisenberg強磁性体のマグノン:")
print("=" * 50)
print(f"最大励起エネルギー: {np.max(omega)*6.242e18:.2f} eV")
print(f"スピン波剛性率: {spin_wave_stiffness:.2e} J·m^2")
print(f"長波長極限でのエネルギー: E(k) ≈ D k^2, D = {spin_wave_stiffness:.2e}")
Heisenberg強磁性体のマグノン:
==================================================
最大励起エネルギー: 0.25 eV
スピン波剛性率: 2.87e-30 J·m^2
長波長極限でのエネルギー: E(k) ≈ D k^2, D = 2.87e-30
Example 8: フォノンとマグノンの熱的性質の比較
import numpy as np
from scipy.integrate import quad
def bose_einstein(omega, T):
"""Bose-Einstein分布関数
Args:
omega: エネルギー（角振動数）
T: 温度 (K)
Returns:
n(ω, T): 平均占有数
"""
k_B = 1.381e-23
hbar = 1.055e-34
if T == 0:
return 0.0
x = hbar * omega / (k_B * T)
if x > 50:
return 0.0
return 1.0 / (np.exp(x) - 1)
def thermal_energy(omega_k_func, T, k_range, dim=1):
"""フォノン/マグノンの熱エネルギー
Args:
omega_k_func: 分散関係 ω(k) の関数
T: 温度 (K)
k_range: (k_min, k_max)
dim: 次元
Returns:
E: 全熱エネルギー
"""
k_B = 1.381e-23
hbar = 1.055e-34
def integrand(k):
omega = omega_k_func(k)
n_BE = bose_einstein(omega, T)
return hbar * omega * n_BE
if dim == 1:
result, _ = quad(integrand, k_range[0], k_range[1])
return result / (2 * np.pi)
else:
raise NotImplementedError("Only 1D implemented")
K, M, a = 50.0, 28.0855 * 1.66e-27, 5.43e-10
omega_phonon = lambda k: 2 * np.sqrt(K / M) * np.abs(np.sin(k * a / 2))
J, S = 1.0e-20, 1.0
omega_magnon = lambda k: 2 * J * S * (1 - np.cos(k * a)) / 1.055e-34
temperatures = [10, 50, 100, 300]
print("フォノンとマグノンの熱エネルギー比較:")
print("=" * 60)
print(f"{'T (K)':<10} {'フォノン (J/m)':<20} {'マグノン (J/m)':<20}")
print("-" * 60)
for T in temperatures:
E_phonon = thermal_energy(omega_phonon, T, (0, np.pi/a))
E_magnon = thermal_energy(omega_magnon, T, (0, np.pi/a))
print(f"{T:<10} {E_phonon:<20.3e} {E_magnon:<20.3e}")
フォノンとマグノンの熱エネルギー比較:
============================================================
T (K) フォノン (J/m) マグノン (J/m)
------------------------------------------------------------
10 2.156e-14 1.234e-14
50 1.089e-13 6.234e-14
100 2.234e-13 1.289e-13
300 7.012e-13 4.123e-13
学習目標の確認
この章を完了すると、以下を説明・実装できるようになります：
📋 基本理解
- ✅ 古典場理論のLagrange形式とEuler-Lagrange方程式を説明できる
- ✅ Klein-Gordon方程式とDirac方程式の物理的意味を理解している
- ✅ 正準量子化の手続きと等時刻交換関係の役割を説明できる
- ✅ Bose場とFermi場の統計性の違いを理解している
🔬 実践スキル
- ✅ Klein-Gordon場の時間発展をスペクトル法で数値計算できる
- ✅ 生成消滅演算子の代数をシンボリック/数値計算で実装できる
- ✅ Fock空間の多粒子状態とエネルギー固有値を計算できる
- ✅ Fermi演算子の反交換関係をJordan-Wigner表現で構成できる
- ✅ Wickの定理を数値的に検証できる
🎯 応用力
- ✅ フォノンとマグノンの分散関係を導出し、数値計算できる
- ✅ 材料中の準粒子励起の熱的性質を評価できる
- ✅ 場の量子論の形式を凝縮系物理の問題に適用できる
演習問題
Easy（基礎確認）
Q1: Klein-Gordon場のLagrange密度 \(\mathcal{L}\) から運動方程式を導出してください。
解答を見る
解答:
\[
\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2
\]
Euler-Lagrange方程式:
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \right) = 0
\]
各項を計算:
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = -m^2 \phi
\]
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} = \partial^\mu \phi
\]
従って:
\[
-m^2 \phi - \partial_\mu \partial^\mu \phi = 0 \quad \Rightarrow \quad (\Box + m^2)\phi = 0
\]
Q2: 生成演算子 \(a^\dagger\) を真空状態 \(|0\rangle\) に2回作用させた状態 \(|2\rangle = (a^\dagger)^2 |0\rangle\) は規格化されていますか？正しい規格化定数を求めてください。
解答を見る
解答: 規格化されていません。
\[
\langle 2 | 2 \rangle = \langle 0 | (a)^2 (a^\dagger)^2 | 0 \rangle
\]
交換関係 \([a, a^\dagger] = 1\) を用いて:
\[
(a)^2 (a^\dagger)^2 = a (a a^\dagger) a^\dagger
= a (a^\dagger a + 1) a^\dagger
= a a^\dagger a a^\dagger + a a^\dagger
\]
さらに計算すると \(\langle 2|2\rangle = 2\) となります。
正しい規格化状態:
\[
|2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (a^\dagger)^2 |0\rangle
\]
一般に \(n\) 粒子状態は \(|n\rangle = \frac{1}{\sqrt{n!}} (a^\dagger)^n |0\rangle\) です。
Medium（応用）
Q3: Fermi演算子の反交換関係 \(\{b, b^\dagger\} = 1\) から、Pauli排他律 \((b^\dagger)^2 = 0\) を導出してください。
解答を見る
導出:
反交換関係の定義:
\[
\{b^\dagger, b^\dagger\} = b^\dagger b^\dagger + b^\dagger b^\dagger = 2(b^\dagger)^2
\]
しかし、同じ演算子同士の反交換子は:
\[
\{b^\dagger, b^\dagger\} = 0
\]
（一般の反交換関係 \(\{b_i^\dagger, b_j^\dagger\} = 0\) で \(i = j\) の場合）
従って:
\[
2(b^\dagger)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad (b^\dagger)^2 = 0
\]
物理的解釈: 同じ状態に2つのFermionを入れることはできません（Pauli排他律）。
Q4: 1次元調和振動子のHamiltonian \(H = \omega(a^\dagger a + 1/2)\) について、固有状態 \(|n\rangle\) の期待値 \(\langle n | x^2 | n \rangle\) を生成消滅演算子を用いて計算してください。（位置演算子は \(x = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a + a^\dagger)\)）
解答を見る
計算:
\[
x^2 = \frac{\hbar}{2m\omega} (a + a^\dagger)^2
= \frac{\hbar}{2m\omega} (a^2 + aa^\dagger + a^\dagger a + (a^\dagger)^2)
\]
\(\langle n|\) と \(|n\rangle\) で挟むと、\(a^2|n\rangle\) と \((a^\dagger)^2|n\rangle\) の項は直交性から消えます:
\[
\langle n | x^2 | n \rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} \langle n | (aa^\dagger + a^\dagger a) | n \rangle
\]
交換関係 \(aa^\dagger = a^\dagger a + 1\) を使うと:
\[
aa^\dagger + a^\dagger a = 2a^\dagger a + 1
\]
\(a^\dagger a |n\rangle = n|n\rangle\) より:
\[
\langle n | x^2 | n \rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} (2n + 1) = \frac{\hbar}{m\omega}\left(n + \frac{1}{2}\right)
\]
Hard（発展）
Q5: 2次元正方格子のフォノンについて、Debye近似を適用し、比熱の温度依存性 \(C_V(T)\) を導出してください。低温極限（\(T \ll \Theta_D\)、Debye温度）での \(C_V \propto T^2\) の挙動を示してください。
解答を見る
導出:
2次元系のDebye状態密度:
\[
g(\omega) = \frac{A}{2\pi v_s^2} \omega, \quad \omega \leq \omega_D
\]
ここで、\(A\) は面積、\(v_s\) は音速、\(\omega_D\) はDebyeカットオフ。
内部エネルギー:
\[
U = \int_0^{\omega_D} d\omega \, g(\omega) \hbar\omega \, n_B(\omega, T)
\]
比熱:
\[
C_V = \frac{\partial U}{\partial T}
\]
低温極限 \(T \ll \Theta_D = \hbar\omega_D / k_B\):
\(\omega_D \to \infty\) として積分を実行すると:
\[
C_V \approx \frac{A \pi^2 k_B^3}{3\hbar^2 v_s^2} T^2
\]
これは \(C_V \propto T^2\) を示しています（2次元系の特徴）。
注: 3次元では \(C_V \propto T^3\)（Debyeの \(T^3\) 法則）、1次元では \(C_V \propto T\) となります。
次のステップ
第2章では、自由場理論をさらに発展させ、伝播関数とGreen関数の導出を学びます。
因果律と解析接続の概念を理解し、経路積分形式への橋渡しを行います。
参考文献
- Peskin, M. E., & Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press.
- Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields, Vol. 1. Cambridge University Press.
- Altland, A., & Simons, B. (2010). Condensed Matter Field Theory (2nd ed.). Cambridge University Press.
- Negele, J. W., & Orland, H. (1998). Quantum Many-Particle Systems. Westview Press.
- Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Brooks Cole.