5.1 ベッセル関数の定義と性質
ベッセル関数は円筒座標系での波動方程式や拡散方程式の解として現れます。
📐 定義: ベッセル微分方程式
$$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 - \nu^2)y = 0$$ 第1種ベッセル関数 $J_\nu(x)$: $$J_\nu(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!\Gamma(m+\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}$$
$$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 - \nu^2)y = 0$$ 第1種ベッセル関数 $J_\nu(x)$: $$J_\nu(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!\Gamma(m+\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}$$
💻 コード例 1: ベッセル関数の計算と可視化
Python実装: ベッセル関数の基本性質
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import jv, yv, jn_zeros
# ベッセル関数の可視化
x = np.linspace(0, 20, 1000)
orders = [0, 1, 2, 3, 4]
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 12))
# 第1種ベッセル関数 J_ν(x)
ax = axes[0, 0]
for nu in orders:
y = jv(nu, x)
ax.plot(x, y, linewidth=2, label=f'$J_{{{nu}}}(x)$')
ax.legend()
ax.set_title('第1種ベッセル関数')
# 可視化省略（元のコード参照）
5.2 円筒座標系での波動方程式
円筒座標系での波動方程式の解は、ベッセル関数で表されます。
📐 定理: 円筒座標での波動方程式
$$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$$ 変数分離解: $$u(r,\theta,z,t) = J_m(k_r r) e^{im\theta} e^{ik_z z} e^{-i\omega t}$$
$$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$$ 変数分離解: $$u(r,\theta,z,t) = J_m(k_r r) e^{im\theta} e^{ik_z z} e^{-i\omega t}$$
5.3 ルジャンドル多項式
球座標系での境界値問題では、ルジャンドル多項式が重要な役割を果たします。
📐 定義: ルジャンドル微分方程式
$$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{dy}{dx}\right] + n(n+1)y = 0$$ ロドリゲスの公式: $$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}[(x^2-1)^n]$$
$$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{dy}{dx}\right] + n(n+1)y = 0$$ ロドリゲスの公式: $$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}[(x^2-1)^n]$$
5.4 球面調和関数
球座標系での3次元問題では、ルジャンドル陪関数から構成される球面調和関数を使います。
📐 定義: 球面調和関数
$$Y_l^m(\theta, \phi) = \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi}$$ ここで $P_l^m$ はルジャンドル陪関数
$$Y_l^m(\theta, \phi) = \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi}$$ ここで $P_l^m$ はルジャンドル陪関数
📝 量子力学への応用:
- 水素原子の角度部分の波動関数
- 角運動量の固有状態
- $l$: 方位量子数, $m$: 磁気量子数 ($-l \leq m \leq l$)
5.5 エルミート多項式
調和振動子の量子力学的解として現れるエルミート多項式を学びます。
📐 定義: エルミート微分方程式
$$\frac{d^2y}{dx^2} - 2x\frac{dy}{dx} + 2ny = 0$$ ロドリゲスの公式: $$H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}$$
$$\frac{d^2y}{dx^2} - 2x\frac{dy}{dx} + 2ny = 0$$ ロドリゲスの公式: $$H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}$$
🔬 応用例: 調和振動子のエネルギー固有値
$$E_n = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, \ldots$$ 波動関数: $$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left(\frac{1}{\pi}\right)^{1/4} e^{-x^2/2} H_n(x)$$
$$E_n = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, \ldots$$ 波動関数: $$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left(\frac{1}{\pi}\right)^{1/4} e^{-x^2/2} H_n(x)$$
5.6 ラゲール多項式
水素原子の動径波動関数に現れるラゲール多項式を学びます。
📐 定義: 一般ラゲール多項式
$$L_n^{\alpha}(x) = \frac{e^x x^{-\alpha}}{n!} \frac{d^n}{dx^n}(e^{-x} x^{n+\alpha})$$
$$L_n^{\alpha}(x) = \frac{e^x x^{-\alpha}}{n!} \frac{d^n}{dx^n}(e^{-x} x^{n+\alpha})$$
🔬 応用例: 水素原子のエネルギー準位
$$E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots$$ 動径波動関数には $L_{n-l-1}^{2l+1}$ が含まれる
$$E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots$$ 動径波動関数には $L_{n-l-1}^{2l+1}$ が含まれる
5.7 特殊関数のまとめと関係
📝 座標系と特殊関数の対応:
- 直交座標: 三角関数 (sin, cos)
- 円筒座標: ベッセル関数 ($J_n$, $Y_n$)
- 球座標: ルジャンドル多項式 ($P_n$), 球面調和関数 ($Y_l^m$)
📝 量子力学と特殊関数:
- 調和振動子: エルミート多項式 ($H_n$)
- 水素原子（動径）: ラゲール多項式 ($L_n^{\alpha}$)
- 水素原子（角度）: 球面調和関数 ($Y_l^m$)
- 角運動量: 球面調和関数 ($Y_l^m$)
5.8 材料科学への応用(1): 円柱試料の熱伝導
円筒座標系での熱伝導方程式をベッセル関数で解きます。
🔬 物理的意義:
熱伝導方程式の解: $$T(r,t) = T_{\text{surface}} + \sum_{n} A_n J_0(\lambda_n r) e^{-\alpha \lambda_n^2 t}$$ 特性時間: $\tau = R^2/\alpha$ （温度が約37%まで減衰）
熱伝導方程式の解: $$T(r,t) = T_{\text{surface}} + \sum_{n} A_n J_0(\lambda_n r) e^{-\alpha \lambda_n^2 t}$$ 特性時間: $\tau = R^2/\alpha$ （温度が約37%まで減衰）
5.9 材料科学への応用(2): 球形粒子の拡散問題
球座標系での拡散方程式の解と薬物徐放システムへの応用。
🔬 応用例:
- 薬物徐放カプセル（DDS: Drug Delivery System）
- 触媒粒子からの反応物拡散
- ナノ粒子の溶解
📝 章末問題
✏️ 演習問題
- $J_0(x)$ の最初の3つの正の零点を数値的に求め、円形膜の固有振動数を計算せよ。
- ルジャンドル多項式 $P_2(x)$ と $P_3(x)$ の直交性を数値積分で検証せよ。
- 球面調和関数 $Y_2^1(\theta, \phi)$ を可視化し、その節線を確認せよ。
- 調和振動子の波動関数 $\psi_3(x)$ の節の数を確認し、古典的転回点の位置を求めよ。
まとめ
- 特殊関数は座標系と境界条件に応じた微分方程式の解
- ベッセル関数: 円筒座標系での波動・拡散問題
- ルジャンドル多項式: 球座標系でのラプラス方程式
- 球面調和関数: 3次元球対称問題の角度依存性
- エルミート多項式: 調和振動子（量子力学）
- ラゲール多項式: 水素原子の動径波動関数
- 材料科学（熱伝導、拡散）と量子力学で広範に応用