1.1 複素数の基本演算
複素数は \(z = x + iy\) の形で表され、実部 \(x\) と虚部 \(y\) を持ちます。Pythonではcomplex型やNumPyで扱えます。
📐 定義: 複素数
複素数の定義: \[z = x + iy, \quad i = \sqrt{-1}\] 基本演算:
複素数の定義: \[z = x + iy, \quad i = \sqrt{-1}\] 基本演算:
- 加法: \((x_1 + iy_1) + (x_2 + iy_2) = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)\)
- 乗法: \((x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)\)
- 共役: \(\bar{z} = x - iy\)
- 絶対値: \(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
💻 コード例 1: 複素数の基本演算
Python実装: 複素数の基本演算
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 複素数の定義
z1 = 3 + 4j
z2 = 1 - 2j
print(f"z1 = {z1}")
print(f"z2 = {z2}")
print(f"z1 + z2 = {z1 + z2}")
print(f"z1 * z2 = {z1 * z2}")
print(f"z1 / z2 = {z1 / z2}")
# 共役複素数と絶対値
print(f"\n共役: z1.conjugate() = {z1.conjugate()}")
print(f"絶対値: |z1| = {np.abs(z1)}")
print(f"偏角: arg(z1) = {np.angle(z1)} rad = {np.degrees(np.angle(z1)):.2f}°")
# 複素平面での可視化
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
ax.axhline(0, color='gray', linewidth=0.5)
ax.axvline(0, color='gray', linewidth=0.5)
ax.grid(True, alpha=0.3)
# 複素数をベクトルとして描画
def plot_complex(z, label, color):
ax.arrow(0, 0, z.real, z.imag, head_width=0.3, head_length=0.2,
fc=color, ec=color, linewidth=2, label=label)
ax.plot(z.real, z.imag, 'o', color=color, markersize=8)
ax.text(z.real + 0.3, z.imag + 0.3, label, fontsize=12, color=color)
plot_complex(z1, 'z1', 'blue')
plot_complex(z2, 'z2', 'red')
plot_complex(z1 + z2, 'z1+z2', 'green')
ax.set_xlabel('実部 (Re)', fontsize=12)
ax.set_ylabel('虚部 (Im)', fontsize=12)
ax.set_title('複素平面でのベクトル表示', fontsize=14)
ax.legend()
ax.axis('equal')
ax.set_xlim(-1, 5)
ax.set_ylim(-3, 5)
plt.tight_layout()
plt.show()
1.2 極形式とオイラーの公式
複素数は極形式 \(z = r e^{i\theta}\) でも表現でき、これはオイラーの公式 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) に基づきます。
📐 定理: オイラーの公式
極形式表示: \[z = r e^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)\] ここで \(r = |z|\) (絶対値), \(\theta = \arg(z)\) (偏角)
特殊な場合: \[e^{i\pi} + 1 = 0 \quad \text{(オイラーの等式)}\]
極形式表示: \[z = r e^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)\] ここで \(r = |z|\) (絶対値), \(\theta = \arg(z)\) (偏角)
特殊な場合: \[e^{i\pi} + 1 = 0 \quad \text{(オイラーの等式)}\]
まとめ
- 複素数は実部と虚部から構成され、複素平面上のベクトルとして表現できる
- 極形式表示により、複素数の乗除算が回転と拡大縮小として理解できる
- オイラーの公式は複素数と三角関数を結びつける重要な関係式
- 複素数は交流回路解析や量子力学など様々な物理現象の記述に使われる