第2章: 超伝導量子ビット

原子のように振る舞う回路と、それが要求する冷凍機

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量子コンピューティング道場 > 量子コンピュータのハードウェア > 第2章

第1章では、量子ビットとして機能するためにあらゆる物理系が満たさねばならない条件と、それを満たすことを難しくしている緊張関係を整理しました。ここからは最初の具体的な答えを見ていきます。チップ上にパターニングされた電気回路を、単一の量子的対象として振る舞うまで冷却したものです。

超伝導量子ビットは最も産業的に成熟したプラットフォームですが、その理由は物理が優れているからではありません。理由は、それが 見つけ出されるのではなく設計される という点にあります。原子は自然が与えたエネルギー準位を持ちますが、回路はレイアウトソフトウェア上であなたが描いたエネルギー準位を持ちます。この自由度こそがこのプラットフォームの大きな強みであり、それが要求する冷凍機こそが大きな代償です。

2.1 なぜ超伝導が出発点なのか

普通の電線は、量子情報を保持する場所としては最悪です。電子は散乱し、抵抗はエネルギーを熱として散逸させ、そして散逸とはデコヒーレンスにほかなりません。環境が、回路が何をしていたかを知ってしまうのです。

超伝導は散逸を取り除きます。 ある種の物質では、臨界温度以下で電子が クーパー対 に束縛され、これらの対が凝縮して、明確な位相を持つ1つの巨視的波動関数で記述される単一の集団状態を作ります。電流は抵抗なしに流れます。対が凝縮体の外へ散乱する低エネルギーの経路が存在しないからです。エネルギーギャップ がそれを守っています。

このことの2つの帰結が、このプラットフォームの基礎をなします。

📚 単純なLC回路が抱える問題

最も単純な量子回路は、キャパシタとインダクタからなる LC振動子 です。古典的には、電荷が共鳴周波数

\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]

で行ったり来たりします。これを量子化すると調和振動子になり、エネルギー準位は

\[ E_n = \hbar\omega_0\left(n + \tfrac{1}{2}\right), \qquad n = 0, 1, 2, \ldots \]

となります。そしてここで計画は破綻します。準位が等間隔なのです。 \(|0\rangle \to |1\rangle\)、\(|1\rangle \to |2\rangle\)、\(|2\rangle \to |3\rangle\) というあらゆる遷移が、まったく同じ周波数 \(\omega_0\) で起こります。

なぜそれが致命的なのでしょうか。ゲートは遷移周波数のパルスを送り込むことで実行されるからです。\(|0\rangle\) から \(|1\rangle\) へ占有を移すために回路を駆動すると、その同じ駆動は \(|1\rangle \to |2\rangle\) にも完全に共鳴し、続いて \(|2\rangle \to |3\rangle\) にも共鳴します。占有は梯子を登り続け、2次元の計算部分空間から外へ出て行ってしまいます。隣り合う準位の組がどれも同一に見える系では、2つの準位を選択的に扱うことはできません。

量子ビットには非調和性が必要です。 \(|0\rangle \to |1\rangle\) 遷移が \(|1\rangle \to |2\rangle\) とは 異なる 周波数に位置しなければなりません。そうすれば、最初の遷移に合わせたパルスは2番目とは非共鳴になり、より高い準位には手を触れずに済みます。ところが、普通の実験室にある回路素子 — 抵抗、キャパシタ、インダクタ — はいずれも線形であり、線形素子は調和振動子しか生みません。散逸しない非線形素子が必要なのです。

2.2 ジョセフソン接合

この両方の要件を満たす回路素子はちょうど1つだけ存在し、それがこのプラットフォームが存在する理由です。

ジョセフソン接合 とは、クーパー対が トンネル できるほど薄い障壁 — 数ナノメートルの絶縁酸化膜 — で隔てられた2つの超伝導体のことです。Brian Josephsonは1962年に、そのような障壁を横切って電圧降下をまったく伴わずに超電流が流れること、そしてそれが両側の凝縮体の量子位相の差によって支配されることを予言しました。この予言は間もなく実験的に確認され、以来、接合は超伝導エレクトロニクスの標準的な部品となっています。

私たちにとって重要な性質は2つあります。

その結果が 人工原子 です。すなわち、離散的で不等間隔な準位の梯子を持つ回路であり、その最も低い2つを \(|0\rangle\) と \(|1\rangle\) として用います。本物の原子と違い、その遷移周波数は設計時に選ぶキャパシタンスと接合パラメータによって決まり、典型的には数ギガヘルツの マイクロ波 帯に置かれます。これは好都合です。まさにその帯域こそ、商用の信号生成・増幅技術が成熟している領域だからです。

「人工原子」が比喩以上である理由

原子物理学者が用いる物理 — Rabi振動、共鳴蛍光、共振器量子電磁力学 — は、本質的にそのままこれらの回路に移植できます。回路のコミュニティは、原子物理学が数十年かけて培った技法をまるごと輸入しました。このプラットフォームが急速に成熟した理由の1つがこれです。違いは、ここでの「原子」が人の手で設計されている点にあります。その周波数も、駆動線への結合も、非調和性も、すべて設計パラメータなのです。

2.3 トランズモンと、それが行う取引

接合は非調和性を与えてくれますが、初期の超伝導量子ビットには深刻な問題がありました。電荷雑音 に極端に敏感だったのです。基板中や表面欠陥の中を動き回る迷い電荷が、量子ビットの遷移周波数をランダムに変動させます。そして周波数がさまよえば位相はランダム化されます。これこそ、第1章で見たように \(T_2\) をその上限 \(2T_1\) より低く押し下げる純粋位相緩和にほかなりません。

トランズモン はこれを解決した設計であり、今日このプラットフォームの主力となっています。その発想は、接合を比較的大きなキャパシタで分流することによって達成される、意図的な動作領域の変更です。

この領域では、量子ビット周波数が 電荷雑音に対して指数関数的に鈍感 になります。迷い電荷への依存性が、\(E_J/E_C\) の増大とともに指数関数的に抑制されるのです。これがトランズモンが機能する理由であり、位相緩和のまるごと1つのクラスが、単純に問題でなくなります。

しかし取引は現実に存在します。 \(E_J/E_C\) を大きくすると非調和性も平坦化しますが、そちらは 代数的にしか 減りません。指数関数的にではなく、比の弱いべきとして減るのです。したがって、電荷への鈍感さにおける指数関数的な利得は、非調和性の比較的ゆるやかな損失で購われます。この非対称性こそが、この設計を正当化する議論のすべてです。比を十分に押し上げれば、雑音の面で圧倒的に勝ち、準位間隔の面で控えめに負ける、ということになります。

控えめであってもゼロではなく、残された非調和性はゲート速度に厳然たる限界を課します。

パルス整形の技法 — なめらかに立ち上がる包絡線や、第3準位の存在から導かれる補正 — は、この下限をかなり押し下げます。超伝導制御の実践的な技芸の多くはここに宿っています。それでも下限は存在し、それはトランズモンの設計上の妥協が直接もたらした帰結なのです。

2.4 制御: ゲートとはパルスである

トランズモンは、それに結合した線路に マイクロ波パルス を送り込むことで制御されます。

📚 Rabi振動

量子ビットをその遷移周波数で駆動すると、占有が \(|0\rangle\) と \(|1\rangle\) の間を Rabi周波数 \(\Omega\) で振動します。\(\Omega\) は駆動振幅に比例します。これが基本的な制御機構であり、単一量子ビットゲートの一式はすべてここから導かれます。

その帰結は率直に述べておく価値があります。このプラットフォームでは、単一量子ビットゲートとは数ナノ秒程度続く整形された波形です。ゲート速度はこのプラットフォームの看板となる優位性であり、それは回路と制御線路の間の強い結合から直接もたらされています。

離調はきれいなゲートの敵です。 駆動周波数が量子ビット周波数から \(\Delta\) だけ外れると、振動は速くなると同時に頂点に到達しなくなります。

\[ P_1(t) = \frac{\Omega^2}{\Omega^2 + \Delta^2}\,\sin^2!\left(\frac{\sqrt{\Omega^2 + \Delta^2}}{2}\,t\right) \]

到達可能な最大占有は \(\Omega^2/(\Omega^2 + \Delta^2)\) であり、ゼロでない離調があればこれは1未満になります。周波数がいったんずれてしまえば、どんなパルス長をもってしても完全な反転は取り戻せません。超伝導デバイスが絶えず再較正される理由がこれです。量子ビット周波数はドリフトし、ドリフトした周波数は壊れたゲートを意味します。この曲線は2.7節で実際に計算します。

📚 2量子ビットゲート

量子もつれを生成するゲートには2つのトランズモンが相互作用する必要があり、そこには大きく2つの流儀があります。

固定結合。 量子ビットは通常、共有キャパシタンスやバス共振器を通じて恒久的に接続されており、相互作用が単独では何も起こさないよう、互いに離調させておきます。そのうえで、一方の量子ビットを もう一方 の量子ビットの周波数で駆動することによってゲートを起動します。これが クロス共鳴 方式です。常時オンの結合は、その駆動が存在する間だけ、もつれを生成する相互作用を生み出します。ハードウェアは単純なままですが、その代償は、残留結合が真にオフになることは決してなく、特性評価して打ち消さねばならない小さな不要相互作用が生じることです。

可変結合。 量子ビットの間に別の可変素子を置き、制御信号でその性質を変えることで、実効的な結合をゲートの間だけオンにし、その後はゼロ近くまで下げられるようにします。これは残留相互作用を抑制し、一般により高速でクリーンなゲートを可能にします。その代償は、カプラごとに制御線が1本増えること、そして雑音が量子ビットに到達する経路が1つ増えることです。これは第1章の「隔離と制御の緊張関係」が、1つ上の階層で再び姿を現した直接的な例にほかなりません。

結合が作り込まれた構造である以上、トランズモンは配線された相手の隣接量子ビットとしか相互作用できません。したがってチップのレイアウトは 最近接 グラフになり、アルゴリズム中のあらゆる非局所ゲートは、第1章で述べたとおり、1つあたり3つのCNOTを要するSWAPで経路づけしなければなりません。

2.5 読み出し: 触れずに問う

トランズモンに電圧計をつなぐわけにはいきません。測定は1ビット — 量子ビットは \(|0\rangle\) か \(|1\rangle\) か — を、測定装置が隣の量子ビットを壊したり、操作と操作の間に量子ビットのエネルギーを奪い去ったりすることなく、取り出さなければなりません。

標準的な解決策が 分散読み出し であり、これは共振器量子電磁力学から直接借用されたものです。

各量子ビットは、チップ上の小さなマイクロ波共振器である自分専用の 共振器 に結合され、その周波数が量子ビットの周波数から遠く離れるよう意図的に離調させてあります。この 分散 領域では、2つの系はエネルギーを交換できません — 離調がそれを禁じます — が、互いの周波数をシフトさせることはできます。共振器の周波数はわずかに動き、その 符号が量子ビットの状態に依存する のです。

測定はこのように機能します。

  1. 弱いマイクロ波のプローブトーンを共振器に送る。
  2. トーンは反射または透過し、共振器の周波数が現在どこにあるかに依存した位相と振幅を獲得する。
  3. その位置が量子ビットの状態に依存するので、戻ってきた信号が答えを運んでくる。
  4. 出て行く信号はわずか数個の光子でしかないため、低温段の量子限界増幅器も含めて信号を増幅し、冷凍機の外側でデジタル化する。

この方式を優れたものにしている特徴が2つあります。1つは、原理的に 量子非破壊 であることです。測定は量子ビットのエネルギーを変えることなくそれについて問うので、\(|1\rangle\) と測定された量子ビットは \(|1\rangle\) にとどまり、再度測定できます。もう1つは 多重化 されていることです。それぞれ少しずつ異なる周波数を持つ多数の共振器が1本の出力線を共有でき、個々の答えは後から周波数によって分離できます。これは配線にとって計り知れないほど重要であり、それが次節の主題です。

2.6 冷たさ: なぜミリケルビンは譲れないのか

超伝導量子ビットは、数十ミリケルビンという星間空間よりも冷たい温度で、希釈冷凍機 の中で暮らします。これは工学的な好みの問題ではありません。たった1つのエネルギーの比較から導かれる帰結なのです。

📚 kT対hfの議論

量子ビットの2つの状態はエネルギー \(hf\) だけ隔てられており、ここで \(f\) は遷移周波数です。温度 \(T\) にある環境は、\(k_B T\) 程度の熱エネルギーを持っています。もし \(k_B T\) が \(hf\) と同程度であれば、環境は量子ビットをランダムに励起してしまい、デバイスが確実に \(|0\rangle\) にとどまることはありません。要求されるのは

\[ k_B T \ll h f \]

です。数値を入れてみましょう。約5 GHzという設計周波数に対して、準位分裂は次の温度に対応します。

\[ \frac{hf}{k_B} \approx 0.24\ \text{K} \]

熱励起状態の占有はBoltzmann因子 \(e^{-hf/k_BT}\) に従います。

温度 \(k_BT / hf\) 熱励起 \(e^{-hf/k_BT}\)
300 mK 約 1.25 約 \(0.45\) — 量子ビットはほぼランダム化される
20 mK 約 0.083 約 \(6 \times 10^{-6}\)
10 mK 約 0.042 約 \(4 \times 10^{-11}\)

数百ミリケルビン — 日常的な尺度ではすでに極低温です — では、量子ビットはコイン投げに近い状態です。熱励起が支配的な誤りではなく小さな誤りにまで落ちるのは、数十ミリケルビンの領域に入って初めてのことです。動作温度が今あるとおりの値である理由はこれであり、それは量子ビット周波数と2つの自然定数によって決まっています。材料をどれだけ改良してもこれは変わりません。唯一の代替はずっと高い遷移周波数を用いることですが、それはそれで制御と製造（微細加工）の困難を招きます。

📚 2文で説明する希釈冷凍機

希釈冷凍機は、ヘリウム3とヘリウム4という2つのヘリウム同位体の混合物を利用します。この混合物はおよそ0.87 K以下で、ヘリウム3に富む相がヘリウム3の希薄な相の上に浮かぶ形に分離します。ヘリウム3原子をその相境界を越えて押し込むにはエネルギーを要し — これは蒸発に似た効果ですが、温度が下がっても止まらないという違いがあります — したがってヘリウム3を境界越しに連続的にポンプすることで、ミリケルビン領域まで安定した冷却が得られます。

この装置は、順に冷たくなっていく入れ子状の段の連なりであり、量子ビットのチップは最も冷たい段に取り付けられます。

📚 配線: 誰にも設計で回避できないスケーリング制約

ここに、このプラットフォームの将来を形づくる実践的な限界があります。しかもそれは量子ビットの物理とはまったく関係がありません。

どの量子ビットにも、室温のエレクトロニクスから最も冷たい段まで走る制御線が必要です。各線は物理的な物体であり、それぞれが2つの負担を運びます。

最も冷たい段で利用できる冷却能力はごくわずかで、マイクロワット単位で測られます。一方、熱負荷は線の本数とともに増えます。線の本数に量子ビット数を掛け合わせれば、量子ビットの物理が行き詰まるよりずっと手前で、この算術は居心地の悪いものになります。

読み出しの周波数多重化がこれほど重要である理由も、冷凍機の内部で動作する極低温制御エレクトロニクスが活発な研究方向である理由も、そして「どうやって大規模な機械を配線するか」が「どうやってより良い量子ビットを作るか」と同じくらい真剣な問いになった理由も、これです。この話題には、スケーリングそのものを主題とする第5章で立ち返ります。

2.7 実践: Rabi振動をシミュレートする

ゲートが起こる様子を実際に見てみましょう。駆動とともに回転する系で、駆動された2準位系は次の時間に依存しないハミルトニアンを持ちます（\(\hbar = 1\) とします）。

\[ H = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -\Delta & \Omega \ \Omega & \Delta \end{pmatrix} \]

ここで \(\Omega\) は駆動強度、\(\Delta\) は駆動と量子ビットの間の離調です。以下のコードは、Schrödinger方程式 \(i\,d\psi/dt = H\psi\) を固定ステップの4次Runge-Kutta法で積分し — ソルバーライブラリは使わず、NumPyのみです — その結果を2.4節の解析式と比較します。

時間はナノ秒、周波数はラジアン毎ナノ秒で表します。駆動強度は、Rabi振動の1周期が20 nsになるように選んであり、したがって \(\pi\) パルスの長さは10 nsです。

import numpy as np

# ---------------------------------------------------------------
# 駆動された2準位系の回転系ハミルトニアン (hbar = 1):
#
#     H = (1/2) * [ [-Delta,  Omega ],
#                   [ Omega,  Delta ] ]
#
# Omega = 駆動強度 (Rabi周波数)、Delta = 駆動の離調。
# 時間はナノ秒、周波数は rad/ns。
# ---------------------------------------------------------------
OMEGA = 2.0 * np.pi * 0.05        # 50 MHzの駆動 -> 共鳴時のRabi周期は20 ns


def hamiltonian(omega, delta):
    return 0.5 * np.array([[-delta, omega],
                           [omega, delta]], dtype=complex)


def schrodinger_rk4(omega, delta, t_final, dt):
    """Integrate i dpsi/dt = H psi with fixed-step RK4.

    Returns the excited-state population at every step and the final norm.
    """
    H = hamiltonian(omega, delta)
    deriv = lambda psi: -1j * (H @ psi)

    n_steps = int(round(t_final / dt))
    psi = np.array([1.0 + 0j, 0.0 + 0j])          # |0> から出発
    pop = np.empty(n_steps + 1)
    pop[0] = abs(psi[1]) ** 2

    for k in range(n_steps):
        k1 = deriv(psi)
        k2 = deriv(psi + 0.5 * dt * k1)
        k3 = deriv(psi + 0.5 * dt * k2)
        k4 = deriv(psi + dt * k3)
        psi = psi + (dt / 6.0) * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)
        pop[k + 1] = abs(psi[1]) ** 2

    return pop, float(np.vdot(psi, psi).real)


def analytic(omega, delta, t):
    """P1(t) = (Omega^2 / Omega_R^2) * sin^2(Omega_R t / 2), Omega_R = sqrt(Omega^2+Delta^2)."""
    omega_r = np.hypot(omega, delta)
    return (omega ** 2 / omega_r ** 2) * np.sin(0.5 * omega_r * t) ** 2


DT = 0.001          # 積分ステップは1 ps
T_FINAL = 40.0      # 共鳴時のRabi周期2回分
SAMPLES = [0.0, 5.0, 10.0, 15.0, 20.0, 30.0, 40.0]

for label, delta in [("on resonance   (Delta = 0)", 0.0),
                     ("detuned        (Delta = Omega)", OMEGA),
                     ("far detuned    (Delta = 2*Omega)", 2.0 * OMEGA)]:
    pop, _ = schrodinger_rk4(OMEGA, delta, T_FINAL, DT)
    omega_r = np.hypot(OMEGA, delta)
    print(label)
    print(f"  generalized Rabi frequency Omega_R/2pi = {omega_r / (2 * np.pi):.6f} GHz")
    print(f"  predicted maximum population           = {OMEGA ** 2 / omega_r ** 2:.6f}")
    print(f"  observed  maximum population           = {pop.max():.6f}")
    print("   t (ns)   P1 (RK4)   P1 (analytic)   |diff|")
    for t in SAMPLES:
        idx = int(round(t / DT))
        exact = analytic(OMEGA, delta, t)
        print(f"  {t:6.1f}   {pop[idx]:.6f}     {exact:.6f}     {abs(pop[idx] - exact):.2e}")
    print()

# ---------------------------------------------------------------
# ゲート: 適切な継続時間のパルスが回転を実行する。
# 共鳴時、piパルス (Omega * t = pi) は 0 -> 1 の完全な反転になる。
# ---------------------------------------------------------------
t_pi = np.pi / OMEGA
t_half = 0.5 * t_pi
pop, norm = schrodinger_rk4(OMEGA, 0.0, T_FINAL, DT)
print("Pulse calibration on resonance")
print(f"  pi/2-pulse: t = {t_half:5.2f} ns -> P1 = {pop[int(round(t_half / DT))]:.6f}")
print(f"  pi-pulse  : t = {t_pi:5.2f} ns -> P1 = {pop[int(round(t_pi / DT))]:.6f}")
print(f"  2pi-pulse : t = {2 * t_pi:5.2f} ns -> P1 = {pop[int(round(2 * t_pi / DT))]:.6f}")

# ノルムの保存は、積分器が信頼できるかどうかの健全性チェックである。
print(f"  norm at t = {T_FINAL:.0f} ns (should be 1)     = {norm:.12f}")

出力:

on resonance   (Delta = 0)
  generalized Rabi frequency Omega_R/2pi = 0.050000 GHz
  predicted maximum population           = 1.000000
  observed  maximum population           = 1.000000
   t (ns)   P1 (RK4)   P1 (analytic)   |diff|
     0.0   0.000000     0.000000     0.00e+00
     5.0   0.500000     0.500000     7.77e-16
    10.0   1.000000     1.000000     1.33e-15
    15.0   0.500000     0.500000     1.14e-14
    20.0   0.000000     0.000000     1.26e-28
    30.0   1.000000     1.000000     4.22e-15
    40.0   0.000000     0.000000     4.43e-28

detuned        (Delta = Omega)
  generalized Rabi frequency Omega_R/2pi = 0.070711 GHz
  predicted maximum population           = 0.500000
  observed  maximum population           = 0.500000
   t (ns)   P1 (RK4)   P1 (analytic)   |diff|
     0.0   0.000000     0.000000     0.00e+00
     5.0   0.401425     0.401425     1.28e-15
    10.0   0.316564     0.316564     3.55e-15
    15.0   0.017940     0.017940     4.37e-16
    20.0   0.464554     0.464554     2.55e-15
    30.0   0.069184     0.069184     5.55e-17
    40.0   0.131732     0.131732     2.58e-15

far detuned    (Delta = 2*Omega)
  generalized Rabi frequency Omega_R/2pi = 0.111803 GHz
  predicted maximum population           = 0.200000
  observed  maximum population           = 0.200000
   t (ns)   P1 (RK4)   P1 (analytic)   |diff|
     0.0   0.000000     0.000000     0.00e+00
     5.0   0.193203     0.193203     2.78e-16
    10.0   0.026263     0.026263     1.49e-16
    15.0   0.144247     0.144247     2.83e-15
    20.0   0.091257     0.091257     3.33e-16
    30.0   0.160844     0.160844     8.05e-16
    40.0   0.198471     0.198471     9.44e-16

Pulse calibration on resonance
  pi/2-pulse: t =  5.00 ns -> P1 = 0.500000
  pi-pulse  : t = 10.00 ns -> P1 = 1.000000
  2pi-pulse : t = 20.00 ns -> P1 = 0.000000
  norm at t = 40 ns (should be 1)     = 1.000000000000

結果の読み方。 4つの観察が、数値を物理と結びつけます。

離調をトランズモンの非調和性に設定し、ハミルトニアンに第3準位を加えてみてください。パルスを短くしていくとすぐに \(|2\rangle\) へのリークが現れ、2.3節のゲート速度の下限が再現されるのが見て取れるはずです。

2.8 強みと課題を、正直に

本章の内容を、入門 シリーズで用いたのと同じ定性的な形にまとめます。

超伝導回路
量子ビットの実体 チップ上のマイクロ波帯回路 — ジョセフソン接合によって非調和にされたLC振動子で、最も一般的なのはトランズモン
強み ナノ秒単位で測られる非常に高速なゲート。製造（微細加工）は半導体産業から直接借用でき、レイアウトはリソグラフィでパターニングされ再現性がある。量子ビット周波数、結合、非調和性は自然からの授かりものではなく設計パラメータである。制御と読み出しには成熟した商用マイクロ波技術を使える
課題 数十ミリケルビンという希釈冷凍機の温度が必要。コヒーレンス時間は原子系のプラットフォームと比べて比較的短い。結合が作り込みであるため接続性は典型的に最近接であり、非局所ゲートはSWAPのコストを伴う。量子ビットは同一ではなく、個々に較正が必要でドリフトする。低温段への配線熱負荷がスケーリングの制約になる

このうち2つの項目には、締めくくりのコメントを添える価値があります。実際にはトレードオフであるのに、判決のように読まれやすいからです。

「コヒーレンスが短い」は話の全部ではありません。 第1章の性能指標を思い出してください。効いてくるのは \(T_2/t_{\text{gate}}\) です。超伝導回路は高速なゲートの代償としてコヒーレンスの短さを支払い、失ったものの大半を速度によって取り戻しています。プラットフォーム間でコヒーレンスの列だけを比較するのは、まさに第1章が警告した誤りにほかなりません。

「量子ビットが同一でない」は、設計されることの根深いコストです。 ある同位体の原子は、宇宙にある他のすべての同じ原子とまったく同一です。しかし製造された回路が隣の回路と同じであるのは、製造公差の範囲内でしかありません。したがってどのデバイスも量子ビットごとの較正を必要とし、パラメータのドリフトに合わせてそれを繰り返さねばならず、この較正の負担はデバイスの規模とともに増大します。これは、そもそもこのプラットフォームを魅力的にしている設計の自由度の裏面であり、同じ自由度をコストの列から眺めたものなのです。

🎯 演習問題

  1. 調和的な梯子が失敗する理由。 等間隔のエネルギー準位がなぜ2準位ゲートを不可能にするのかを自分の言葉で説明し、\(|2\rangle\) へのリークがパルス帯域幅と非調和性の比にどう依存すべきかを見積もってください。
  2. 温度の要件。 量子ビット周波数10 GHzについて、\(k_BT\) 対 \(hf\) の計算を繰り返してください。熱励起を \(10^{-4}\) 未満に保つには、どの動作温度が必要でしょうか。量子ビット周波数を上げることが、より温かい機械への魅力的な道筋かどうかについて論じてください。
  3. 離調の許容度。 \(P_{\max} = \Omega^2/(\Omega^2+\Delta^2)\) を用いて、到達可能な最大占有が0.99まで落ちる離調を \(\Omega\) に対する割合として求めてください。この結果は、量子ビット周波数をどれほど厳密に追跡しなければならないかについて何を語っているでしょうか。
  4. 経路づけを含めたゲート予算。 ある回路が、最近接格子上の任意のペアの間で40個の2量子ビットゲートを必要とし、コンパイラがゲートあたり平均3つのSWAPを挿入するとします。3つのCNOTへの分解を用いて、実際に実行される2量子ビットゲートの総数を数え、回路の忠実度への影響について論じてください。
  5. コードを改造する。 非調和性の分だけ離調した \(|2\rangle\) 状態を加えてシミュレーションを3準位系に拡張し、\(\pi\) パルスを短くしていったときのリーク占有を測定してください。ゲート速度の下限はどこに現れるでしょうか。

まとめ

本章では、最も産業的に成熟した量子ビットのプラットフォームである超伝導回路を検討しました。超伝導 は抵抗による散逸を取り除き、巨視的な回路が単一の量子的対象として振る舞うことを可能にしますが、単純な LC振動子 は量子ビットとしては役に立ちません。そのエネルギー準位が 等間隔 であるため、\(|0\rangle \to |1\rangle\) を駆動するパルスはその上の遷移も駆動してしまうからです。ジョセフソン接合 — クーパー対がトンネルする薄い絶縁障壁で隔てられた2つの超伝導体であり、Josephsonが1962年に予言した効果です — は散逸なしに非線形性を供給し、この回路を、最も低い2準位が量子ビットとして働く不等間隔の梯子を持った 人工原子 に変えます。トランズモン は \(E_J \gg E_C\) 領域の深部で動作し、そこでは電荷雑音への感度が指数関数的に下がる一方、非調和性は代数的にしか下がりません。残った非調和性は、リーク を通じてゲート時間に下限を課します。制御は 共鳴マイクロ波パルス によって行われます。パルス面積が回転角を決め、駆動位相が軸を決め、離調は到達可能な占有を \(\Omega^2/(\Omega^2+\Delta^2)\) に制限すると同時に振動を速めます — これらはすべて、私たちのNumPyによるRunge-Kuttaシミュレーションが計算機精度で再現したとおりです。2量子ビットゲートは クロス共鳴で駆動される固定結合 か 可変カプラ から得られ、ハードウェアの単純さと残留相互作用の間の例のトレードオフを伴います。分散読み出し は、結合した共振器の状態依存の周波数シフトを通じて状態を測定します。最後に、ミリケルビンという要件 は \(k_BT \ll hf\) だけから導かれます。数ギガヘルツでは、熱励起は数百ミリケルビンではほぼ全面的であり、数十ミリケルビンになって初めて無視できるようになります。このことが 希釈冷凍機 を必然とし、配線の熱負荷 を正真正銘のスケーリング制約にしているのです。

次章では、正反対の設計思想に目を向けます。イオントラップと中性原子が用いるのは、自然が同一に製造してくれる量子ビットであり、金属にパターニングされるのではなく電磁場と光によってその場に保持されます。ナノ秒のゲートと引き換えに、チップには真似のできないコヒーレンスと接続性を手に入れるのです。

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