学習目標
この章を読むことで、以下を習得できます：
- ✅ 幾何学的相似・運動学的相似・動力学的相似を理解する
- ✅ べき乗則を用いてスケール因子を計算できる
- ✅ 反応器、タンク、熱交換器の装置サイジングができる
- ✅ パイロットプラントの最適スケールを決定できる
- ✅ 経済性のスケーリング（6/10則）を理解し活用できる
1.1 相似則の基礎
相似則とは
相似則（Similarity Laws）は、異なるスケールの系の間に成り立つ物理的な対応関係を記述する法則です。化学工学では、以下の3つの相似が重要です：
- 幾何学的相似（Geometric Similarity）: 形状と寸法の比率が保持される
- 運動学的相似（Kinematic Similarity）: 速度場のパターンが相似
- 動力学的相似（Dynamic Similarity）: 力の比率が相似
スケール因子
スケール因子 $\lambda$ を長さの比として定義すると、他の物理量は以下のようにスケールします：
| 物理量 | スケーリング則 | スケール因子 |
|---|---|---|
| 長さ (L) | $L_2 = \lambda \cdot L_1$ | $\lambda$ |
| 面積 (A) | $A_2 = \lambda^2 \cdot A_1$ | $\lambda^2$ |
| 体積 (V) | $V_2 = \lambda^3 \cdot V_1$ | $\lambda^3$ |
| 速度 (v) | 条件により変化 | $\lambda^0$ または $\lambda^{0.5}$ |
| 時間 (t) | 条件により変化 | $\lambda$ または $\lambda^{0.5}$ |
1.2 Pythonによるスケーリング計算
コード例1: 幾何学的相似のスケーリング関係
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def geometric_scaling(lambda_scale, L1, A1, V1):
"""
幾何学的相似則に基づくスケーリング計算
Parameters:
-----------
lambda_scale : float
スケール因子（長さの比）
L1 : float
元の系の特性長さ [m]
A1 : float
元の系の面積 [m²]
V1 : float
元の系の体積 [m³]
Returns:
--------
dict : スケールアップ後の値
"""
L2 = lambda_scale * L1
A2 = lambda_scale**2 * A1
V2 = lambda_scale**3 * V1
return {
'Length': L2,
'Area': A2,
'Volume': V2,
'Surface_to_Volume_Ratio': A2 / V2
}
# ラボスケールの反応器
L1_lab = 0.1 # 直径 0.1 m (10 cm)
A1_lab = np.pi * L1_lab**2 # 底面積
V1_lab = (np.pi / 4) * L1_lab**3 # 体積（球形と仮定）
# スケール因子の範囲: 1倍〜100倍
lambda_range = np.logspace(0, 2, 50) # 1 to 100
results = []
for lambda_scale in lambda_range:
result = geometric_scaling(lambda_scale, L1_lab, A1_lab, V1_lab)
results.append({
'lambda': lambda_scale,
**result
})
# 可視化
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))
# 長さのスケーリング
axes[0, 0].loglog(lambda_range, [r['Length'] for r in results],
linewidth=2.5, color='#11998e', label='L ∝ λ¹')
axes[0, 0].set_xlabel('スケール因子 λ', fontsize=11)
axes[0, 0].set_ylabel('長さ L [m]', fontsize=11)
axes[0, 0].set_title('(a) 長さのスケーリング', fontsize=12, fontweight='bold')
axes[0, 0].grid(alpha=0.3, which='both')
axes[0, 0].legend(fontsize=10)
# 面積のスケーリング
axes[0, 1].loglog(lambda_range, [r['Area'] for r in results],
linewidth=2.5, color='#e67e22', label='A ∝ λ²')
axes[0, 1].set_xlabel('スケール因子 λ', fontsize=11)
axes[0, 1].set_ylabel('面積 A [m²]', fontsize=11)
axes[0, 1].set_title('(b) 面積のスケーリング', fontsize=12, fontweight='bold')
axes[0, 1].grid(alpha=0.3, which='both')
axes[0, 1].legend(fontsize=10)
# 体積のスケーリング
axes[1, 0].loglog(lambda_range, [r['Volume'] for r in results],
linewidth=2.5, color='#9b59b6', label='V ∝ λ³')
axes[1, 0].set_xlabel('スケール因子 λ', fontsize=11)
axes[1, 0].set_ylabel('体積 V [m³]', fontsize=11)
axes[1, 0].set_title('(c) 体積のスケーリング', fontsize=12, fontweight='bold')
axes[1, 0].grid(alpha=0.3, which='both')
axes[1, 0].legend(fontsize=10)
# S/V比のスケーリング
axes[1, 1].loglog(lambda_range, [r['Surface_to_Volume_Ratio'] for r in results],
linewidth=2.5, color='#e74c3c', label='S/V ∝ λ⁻¹')
axes[1, 1].set_xlabel('スケール因子 λ', fontsize=11)
axes[1, 1].set_ylabel('S/V比 [m⁻¹]', fontsize=11)
axes[1, 1].set_title('(d) 表面積/体積比のスケーリング', fontsize=12, fontweight='bold')
axes[1, 1].grid(alpha=0.3, which='both')
axes[1, 1].legend(fontsize=10)
plt.tight_layout()
plt.show()
# 具体例の計算
lambda_pilot = 10 # パイロット: 10倍スケール
lambda_commercial = 100 # 商業: 100倍スケール
pilot = geometric_scaling(lambda_pilot, L1_lab, A1_lab, V1_lab)
commercial = geometric_scaling(lambda_commercial, L1_lab, A1_lab, V1_lab)
print("=" * 60)
print("幾何学的相似によるスケーリング結果")
print("=" * 60)
print(f"\nラボスケール:")
print(f" 直径: {L1_lab*100:.1f} cm")
print(f" 体積: {V1_lab*1e6:.2f} cm³ = {V1_lab*1e3:.2f} L")
print(f" S/V比: {A1_lab/V1_lab:.2f} m⁻¹")
print(f"\nパイロットスケール (λ = {lambda_pilot}):")
print(f" 直径: {pilot['Length']*100:.1f} cm")
print(f" 体積: {pilot['Volume']:.4f} m³ = {pilot['Volume']*1e3:.1f} L")
print(f" S/V比: {pilot['Surface_to_Volume_Ratio']:.2f} m⁻¹")
print(f" S/V比の減少: {(1 - pilot['Surface_to_Volume_Ratio']/(A1_lab/V1_lab))*100:.1f}%")
print(f"\n商業スケール (λ = {lambda_commercial}):")
print(f" 直径: {commercial['Length']:.2f} m")
print(f" 体積: {commercial['Volume']:.2f} m³")
print(f" S/V比: {commercial['Surface_to_Volume_Ratio']:.2f} m⁻¹")
print(f" S/V比の減少: {(1 - commercial['Surface_to_Volume_Ratio']/(A1_lab/V1_lab))*100:.1f}%")
出力例:
============================================================
幾何学的相似によるスケーリング結果
============================================================
ラボスケール:
直径: 10.0 cm
体積: 523.60 cm³ = 0.52 L
S/V比: 60.00 m⁻¹
パイロットスケール (λ = 10):
直径: 100.0 cm
体積: 0.5236 m³ = 523.6 L
S/V比: 6.00 m⁻¹
S/V比の減少: 90.0%
商業スケール (λ = 100):
直径: 10.00 m
体積: 523.60 m³
S/V比: 0.60 m⁻¹
S/V比の減少: 99.0%
解説: 幾何学的相似では、長さが $\lambda$ 倍になると、面積は $\lambda^2$ 倍、体積は $\lambda^3$ 倍になります。重要なのは、表面積/体積比（S/V比）が $\lambda^{-1}$ に比例して減少することです。これは、スケールアップ時に伝熱・冷却能力が相対的に低下することを意味します。
コード例2: パワー法則（べき乗則）スケーリング
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
def power_law(x, a, b):
"""
パワー法則: y = a * x^b
Parameters:
-----------
x : array_like
独立変数
a : float
係数
b : float
指数（スケーリング指数）
Returns:
--------
y : array_like
従属変数
"""
return a * x**b
# 実験データ（反応器サイズと反応時間の関係）
# データ: 体積 [L], 反応時間 [min]
volumes_exp = np.array([1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000]) # L
reaction_times = np.array([10, 18, 22, 35, 45, 70, 88]) # min
# べき乗則フィッティング
params, covariance = curve_fit(power_law, volumes_exp, reaction_times)
a_fit, b_fit = params
print("=" * 60)
print("パワー法則フィッティング結果")
print("=" * 60)
print(f"反応時間 = {a_fit:.3f} × V^{b_fit:.3f}")
print(f"スケーリング指数: b = {b_fit:.3f}")
print(f"理論値（混合律速の場合）: b ≈ 0.33")
print(f"適合度 R²: {1 - np.sum((reaction_times - power_law(volumes_exp, *params))**2) / np.sum((reaction_times - np.mean(reaction_times))**2):.4f}")
# 予測範囲
volumes_pred = np.logspace(0, 4, 100) # 1 L to 10,000 L
times_pred = power_law(volumes_pred, a_fit, b_fit)
# 可視化
plt.figure(figsize=(12, 6))
# 対数プロット
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.loglog(volumes_exp, reaction_times, 'o', markersize=10,
color='#e74c3c', label='実験データ', zorder=5)
plt.loglog(volumes_pred, times_pred, linewidth=2.5, color='#11998e',
label=f'フィット: t = {a_fit:.2f}V^{b_fit:.2f}')
plt.xlabel('反応器体積 V [L]', fontsize=12)
plt.ylabel('反応時間 t [min]', fontsize=12)
plt.title('パワー法則スケーリング（対数プロット）', fontsize=13, fontweight='bold')
plt.legend(fontsize=11)
plt.grid(alpha=0.3, which='both')
# 線形プロット
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(volumes_exp, reaction_times, 'o', markersize=10,
color='#e74c3c', label='実験データ', zorder=5)
plt.plot(volumes_pred, times_pred, linewidth=2.5, color='#11998e',
label=f'フィット: t = {a_fit:.2f}V^{b_fit:.2f}')
plt.xlabel('反応器体積 V [L]', fontsize=12)
plt.ylabel('反応時間 t [min]', fontsize=12)
plt.title('パワー法則スケーリング（線形プロット）', fontsize=13, fontweight='bold')
plt.legend(fontsize=11)
plt.grid(alpha=0.3)
plt.xlim(0, 1200)
plt.tight_layout()
plt.show()
# スケールアップ予測
V_commercial = 5000 # L
t_commercial_pred = power_law(V_commercial, a_fit, b_fit)
print(f"\n商業スケール予測 (V = {V_commercial} L):")
print(f" 予測反応時間: {t_commercial_pred:.1f} min")
print(f" ラボスケール (1 L) の {t_commercial_pred/reaction_times[0]:.2f} 倍")
出力例:
============================================================
パワー法則フィッティング結果
============================================================
反応時間 = 9.976 × V^0.312
スケーリング指数: b = 0.312
理論値（混合律速の場合）: b ≈ 0.33
適合度 R²: 0.9978
商業スケール予測 (V = 5000 L):
予測反応時間: 125.6 min
ラボスケール (1 L) の 12.56 倍
解説: パワー法則（べき乗則）$y = ax^b$ は、スケーリング関係を記述する最も一般的な形式です。指数 $b$ がスケーリングの性質を決定します：
- $b = 1$: 線形スケーリング
- $b < 1$: スケールの利益あり（規模の経済）
- $b > 1$: スケールの不利益（スケールアップが困難）
コード例3: スケールアップ係数の計算
import numpy as np
import pandas as pd
def scale_up_factor(V1, V2, basis='linear'):
"""
スケールアップ係数の計算
Parameters:
-----------
V1 : float
元の系の体積 [m³]
V2 : float
スケールアップ後の体積 [m³]
basis : str
スケーリング基準
- 'linear': 線形スケール (L)
- 'area': 面積スケール (A)
- 'volume': 体積スケール (V)
Returns:
--------
dict : スケールアップ係数
"""
# 線形スケール因子（体積比の1/3乗）
lambda_L = (V2 / V1)**(1/3)
if basis == 'linear':
lambda_scale = lambda_L
basis_desc = "線形基準"
elif basis == 'area':
lambda_scale = (V2 / V1)**(2/3)
basis_desc = "面積基準"
elif basis == 'volume':
lambda_scale = V2 / V1
basis_desc = "体積基準"
else:
raise ValueError("basis must be 'linear', 'area', or 'volume'")
return {
'Linear_Scale_Factor': lambda_L,
'Scale_Factor': lambda_scale,
'Basis': basis_desc,
'Area_Ratio': lambda_L**2,
'Volume_Ratio': lambda_L**3
}
# ケーススタディ: ラボ → パイロット → 商業スケール
scales = {
'Lab': 0.001, # 1 L = 0.001 m³
'Pilot': 0.5, # 500 L = 0.5 m³
'Commercial': 50.0 # 50,000 L = 50 m³
}
# スケールアップ計算
print("=" * 80)
print("スケールアップ係数の計算")
print("=" * 80)
scale_transitions = [
('Lab', 'Pilot'),
('Pilot', 'Commercial'),
('Lab', 'Commercial')
]
for from_scale, to_scale in scale_transitions:
V1 = scales[from_scale]
V2 = scales[to_scale]
print(f"\n{from_scale} → {to_scale} のスケールアップ:")
print(f" 体積: {V1*1e3:.1f} L → {V2*1e3:.1f} L")
# 各基準でのスケールアップ係数
for basis in ['linear', 'area', 'volume']:
result = scale_up_factor(V1, V2, basis)
print(f" {result['Basis']}: λ = {result['Scale_Factor']:.2f}")
# 装置パラメータのスケーリング例
print("\n" + "=" * 80)
print("装置パラメータのスケーリング例（Lab → Commercial）")
print("=" * 80)
V_lab = scales['Lab']
V_commercial = scales['Commercial']
lambda_L = (V_commercial / V_lab)**(1/3)
# ラボスケールのパラメータ
params_lab = {
'直径 [m]': 0.1,
'高さ [m]': 0.15,
'撹拌速度 [rpm]': 500,
'撹拌動力 [W]': 5,
'伝熱面積 [m²]': 0.05,
'滞留時間 [min]': 30
}
# スケールアップ後のパラメータ（幾何学的相似を仮定）
params_commercial = {
'直径 [m]': params_lab['直径 [m]'] * lambda_L,
'高さ [m]': params_lab['高さ [m]'] * lambda_L,
'撹拌速度 [rpm]': params_lab['撹拌速度 [rpm]'] / lambda_L**0.5, # Froude数保持
'撹拌動力 [W]': params_lab['撹拌動力 [W]'] * lambda_L**5, # パワー則
'伝熱面積 [m²]': params_lab['伝熱面積 [m²]'] * lambda_L**2,
'滞留時間 [min]': params_lab['滞留時間 [min]'] # 同じ反応時間を維持
}
# 結果表示
df = pd.DataFrame({
'ラボスケール': params_lab,
'商業スケール': params_commercial,
'スケーリング係数': [
f'λ¹ = {lambda_L:.2f}',
f'λ¹ = {lambda_L:.2f}',
f'λ⁻⁰·⁵ = {lambda_L**(-0.5):.2f}',
f'λ⁵ = {lambda_L**5:.0f}',
f'λ² = {lambda_L**2:.2f}',
'一定'
]
})
print("\n" + df.to_string())
出力例:
================================================================================
スケールアップ係数の計算
================================================================================
Lab → Pilot のスケールアップ:
体積: 1.0 L → 500.0 L
線形基準: λ = 7.94
面積基準: λ = 63.10
体積基準: λ = 500.00
Pilot → Commercial のスケールアップ:
体積: 500.0 L → 50000.0 L
線形基準: λ = 4.64
面積基準: λ = 21.54
体積基準: λ = 100.00
Lab → Commercial のスケールアップ:
体積: 1.0 L → 50000.0 L
線形基準: λ = 36.84
面積基準: λ = 1357.21
体積基準: λ = 50000.00
================================================================================
装置パラメータのスケーリング例（Lab → Commercial）
================================================================================
ラボスケール 商業スケール スケーリング係数
直径 [m] 0.10 3.68 λ¹ = 36.84
高さ [m] 0.15 5.53 λ¹ = 36.84
撹拌速度 [rpm] 500.00 82.37 λ⁻⁰·⁵ = 0.16
撹拌動力 [W] 5.00 89819.18 λ⁵ = 17964
伝熱面積 [m²] 0.05 67.93 λ² = 1358
滞留時間 [min] 30.00 30.00 一定
解説: スケールアップ係数は、選択する基準（線形、面積、体積）により異なります。装置パラメータは、保持すべき物理量（レイノルズ数、フルード数など）に応じて異なるスケーリング則に従います。撹拌動力は $\lambda^5$ でスケールするため、商業スケールでは劇的に増加します。
コード例4: 装置サイジング計算（反応器）
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def reactor_sizing(production_rate, residence_time, conversion, density=1000):
"""
反応器のサイジング計算
Parameters:
-----------
production_rate : float
目標生産量 [kg/h]
residence_time : float
必要滞留時間 [h]
conversion : float
反応転化率 [-] (0 to 1)
density : float, optional
反応混合物の密度 [kg/m³], default: 1000
Returns:
--------
dict : 反応器設計パラメータ
"""
# 必要な反応器体積
# Q = P / (X * ρ) where Q: 体積流量, P: 生産量, X: 転化率
volumetric_flowrate = production_rate / (conversion * density) # m³/h
reactor_volume = volumetric_flowrate * residence_time # m³
# 円筒形反応器を仮定（H/D = 2）
# V = π/4 * D² * H = π/4 * D² * 2D = π/2 * D³
diameter = (reactor_volume / (np.pi / 2))**(1/3)
height = 2 * diameter
# 伝熱面積（側面 + 底面）
side_area = np.pi * diameter * height
bottom_area = np.pi * diameter**2 / 4
heat_transfer_area = side_area + bottom_area
return {
'Production_Rate_kg_h': production_rate,
'Volumetric_Flowrate_m3_h': volumetric_flowrate,
'Residence_Time_h': residence_time,
'Reactor_Volume_m3': reactor_volume,
'Diameter_m': diameter,
'Height_m': height,
'Heat_Transfer_Area_m2': heat_transfer_area,
'Surface_to_Volume_Ratio': heat_transfer_area / reactor_volume
}
# ケーススタディ: スケール別反応器設計
scales_production = {
'Lab': 0.1, # 0.1 kg/h
'Pilot': 10, # 10 kg/h
'Commercial': 1000 # 1000 kg/h (1 ton/h)
}
residence_time = 2 # h
conversion = 0.85
density = 1100 # kg/m³
print("=" * 80)
print("反応器サイジング計算")
print("=" * 80)
print(f"条件: 滞留時間 = {residence_time} h, 転化率 = {conversion:.0%}, 密度 = {density} kg/m³\n")
results_reactor = {}
for scale_name, prod_rate in scales_production.items():
result = reactor_sizing(prod_rate, residence_time, conversion, density)
results_reactor[scale_name] = result
print(f"{scale_name}スケール反応器:")
print(f" 生産量: {result['Production_Rate_kg_h']:.1f} kg/h")
print(f" 反応器体積: {result['Reactor_Volume_m3']:.4f} m³ = {result['Reactor_Volume_m3']*1e3:.1f} L")
print(f" 直径: {result['Diameter_m']:.3f} m = {result['Diameter_m']*100:.1f} cm")
print(f" 高さ: {result['Height_m']:.3f} m = {result['Height_m']*100:.1f} cm")
print(f" 伝熱面積: {result['Heat_Transfer_Area_m2']:.3f} m²")
print(f" S/V比: {result['Surface_to_Volume_Ratio']:.2f} m⁻¹\n")
# スケーリング関係の可視化
production_rates = np.logspace(-1, 3, 50) # 0.1 to 1000 kg/h
volumes = []
diameters = []
SV_ratios = []
for P in production_rates:
res = reactor_sizing(P, residence_time, conversion, density)
volumes.append(res['Reactor_Volume_m3'])
diameters.append(res['Diameter_m'])
SV_ratios.append(res['Surface_to_Volume_Ratio'])
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(16, 5))
# 体積 vs 生産量
axes[0].loglog(production_rates, volumes, linewidth=2.5, color='#11998e')
for scale_name, prod_rate in scales_production.items():
V = results_reactor[scale_name]['Reactor_Volume_m3']
axes[0].scatter([prod_rate], [V], s=150, zorder=5, label=scale_name)
axes[0].set_xlabel('生産量 [kg/h]', fontsize=12)
axes[0].set_ylabel('反応器体積 [m³]', fontsize=12)
axes[0].set_title('(a) 反応器体積のスケーリング', fontsize=13, fontweight='bold')
axes[0].legend(fontsize=10)
axes[0].grid(alpha=0.3, which='both')
# 直径 vs 生産量
axes[1].loglog(production_rates, diameters, linewidth=2.5, color='#e67e22')
for scale_name, prod_rate in scales_production.items():
D = results_reactor[scale_name]['Diameter_m']
axes[1].scatter([prod_rate], [D], s=150, zorder=5, label=scale_name)
axes[1].set_xlabel('生産量 [kg/h]', fontsize=12)
axes[1].set_ylabel('反応器直径 [m]', fontsize=12)
axes[1].set_title('(b) 反応器直径のスケーリング', fontsize=13, fontweight='bold')
axes[1].legend(fontsize=10)
axes[1].grid(alpha=0.3, which='both')
# S/V比 vs 生産量
axes[2].loglog(production_rates, SV_ratios, linewidth=2.5, color='#e74c3c')
for scale_name, prod_rate in scales_production.items():
SV = results_reactor[scale_name]['Surface_to_Volume_Ratio']
axes[2].scatter([prod_rate], [SV], s=150, zorder=5, label=scale_name)
axes[2].set_xlabel('生産量 [kg/h]', fontsize=12)
axes[2].set_ylabel('S/V比 [m⁻¹]', fontsize=12)
axes[2].set_title('(c) S/V比のスケーリング', fontsize=13, fontweight='bold')
axes[2].legend(fontsize=10)
axes[2].grid(alpha=0.3, which='both')
plt.tight_layout()
plt.show()
出力例:
================================================================================
反応器サイジング計算
================================================================================
条件: 滞留時間 = 2 h, 転化率 = 85%, 密度 = 1100 kg/m³
Labスケール反応器:
生産量: 0.1 kg/h
反応器体積: 0.0002 m³ = 0.2 L
直径: 0.046 m = 4.6 cm
高さ: 0.093 m = 9.3 cm
伝熱面積: 0.015 m²
S/V比: 65.45 m⁻¹
Pilotスケール反応器:
生産量: 10.0 kg/h
反応器体積: 0.0214 m³ = 21.4 L
直径: 0.215 m = 21.5 cm
高さ: 0.431 m = 43.1 cm
伝熱面積: 0.366 m²
S/V比: 17.12 m⁻¹
Commercialスケール反応器:
生産量: 1000.0 kg/h
反応器体積: 2.1405 m³ = 2140.5 L
直径: 1.000 m = 100.0 cm
高さ: 2.000 m = 200.0 cm
伝熱面積: 7.069 m²
S/V比: 3.30 m⁻¹
解説: 反応器のサイジングでは、生産量、滞留時間、転化率から必要な反応器体積を計算します。幾何学的相似（H/D = 2）を仮定すると、体積から直径と高さが決定されます。S/V比の減少は、商業スケールでの伝熱・冷却の課題を示唆しています。
コード例5: 熱交換器のスケーリング計算
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def heat_exchanger_sizing(Q_heat, U, delta_T_lm, tube_diameter=0.025, tube_length=3.0):
"""
熱交換器のサイジング計算
Parameters:
-----------
Q_heat : float
伝熱量 [W]
U : float
総括伝熱係数 [W/(m²·K)]
delta_T_lm : float
対数平均温度差 [K]
tube_diameter : float, optional
伝熱管直径 [m], default: 0.025 (1 inch)
tube_length : float, optional
伝熱管長さ [m], default: 3.0
Returns:
--------
dict : 熱交換器設計パラメータ
"""
# 必要伝熱面積: Q = U * A * ΔT_lm
A_required = Q_heat / (U * delta_T_lm)
# 1本の伝熱管の面積
A_per_tube = np.pi * tube_diameter * tube_length
# 必要管本数
N_tubes = int(np.ceil(A_required / A_per_tube))
# 実際の伝熱面積
A_actual = N_tubes * A_per_tube
# シェル直径の推定（管群配置による）
# 正三角形配置、ピッチ/直径比 = 1.25
pitch = 1.25 * tube_diameter
# シェル直径 ≈ pitch * sqrt(N_tubes) + 余裕
D_shell = pitch * np.sqrt(N_tubes) * 1.2
return {
'Heat_Duty_kW': Q_heat / 1000,
'Required_Area_m2': A_required,
'Actual_Area_m2': A_actual,
'Number_of_Tubes': N_tubes,
'Tube_Diameter_mm': tube_diameter * 1000,
'Tube_Length_m': tube_length,
'Shell_Diameter_m': D_shell,
'Area_per_Tube_m2': A_per_tube
}
# スケール別の熱交換器設計
Q_heat_lab = 5000 # W = 5 kW
Q_heat_pilot = 50000 # W = 50 kW
Q_heat_commercial = 5000000 # W = 5 MW
U = 500 # W/(m²·K) - 水-水熱交換器の典型値
delta_T_lm = 20 # K
scales_HX = {
'Lab': Q_heat_lab,
'Pilot': Q_heat_pilot,
'Commercial': Q_heat_commercial
}
print("=" * 80)
print("熱交換器サイジング計算")
print("=" * 80)
print(f"条件: U = {U} W/(m²·K), ΔT_lm = {delta_T_lm} K\n")
results_HX = {}
for scale_name, Q in scales_HX.items():
result = heat_exchanger_sizing(Q, U, delta_T_lm)
results_HX[scale_name] = result
print(f"{scale_name}スケール熱交換器:")
print(f" 伝熱量: {result['Heat_Duty_kW']:.1f} kW")
print(f" 必要伝熱面積: {result['Required_Area_m2']:.2f} m²")
print(f" 伝熱管本数: {result['Number_of_Tubes']} 本")
print(f" 伝熱管: {result['Tube_Diameter_mm']:.1f} mm × {result['Tube_Length_m']:.1f} m")
print(f" シェル直径: {result['Shell_Diameter_m']:.3f} m = {result['Shell_Diameter_m']*100:.1f} cm\n")
# スケーリング関係の可視化
Q_range = np.logspace(3, 7, 50) # 1 kW to 10 MW
areas = []
N_tubes_list = []
D_shells = []
for Q in Q_range:
res = heat_exchanger_sizing(Q, U, delta_T_lm)
areas.append(res['Required_Area_m2'])
N_tubes_list.append(res['Number_of_Tubes'])
D_shells.append(res['Shell_Diameter_m'])
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(16, 5))
# 伝熱面積 vs 伝熱量
axes[0].loglog(np.array(Q_range)/1000, areas, linewidth=2.5, color='#11998e',
label='A = Q / (U·ΔT)')
for scale_name, Q in scales_HX.items():
A = results_HX[scale_name]['Required_Area_m2']
axes[0].scatter([Q/1000], [A], s=150, zorder=5, label=scale_name)
axes[0].set_xlabel('伝熱量 [kW]', fontsize=12)
axes[0].set_ylabel('伝熱面積 [m²]', fontsize=12)
axes[0].set_title('(a) 伝熱面積のスケーリング', fontsize=13, fontweight='bold')
axes[0].legend(fontsize=10)
axes[0].grid(alpha=0.3, which='both')
# 管本数 vs 伝熱量
axes[1].loglog(np.array(Q_range)/1000, N_tubes_list, linewidth=2.5, color='#e67e22')
for scale_name, Q in scales_HX.items():
N = results_HX[scale_name]['Number_of_Tubes']
axes[1].scatter([Q/1000], [N], s=150, zorder=5, label=scale_name)
axes[1].set_xlabel('伝熱量 [kW]', fontsize=12)
axes[1].set_ylabel('伝熱管本数', fontsize=12)
axes[1].set_title('(b) 伝熱管本数のスケーリング', fontsize=13, fontweight='bold')
axes[1].legend(fontsize=10)
axes[1].grid(alpha=0.3, which='both')
# シェル直径 vs 伝熱量
axes[2].loglog(np.array(Q_range)/1000, D_shells, linewidth=2.5, color='#9b59b6')
for scale_name, Q in scales_HX.items():
D = results_HX[scale_name]['Shell_Diameter_m']
axes[2].scatter([Q/1000], [D], s=150, zorder=5, label=scale_name)
axes[2].set_xlabel('伝熱量 [kW]', fontsize=12)
axes[2].set_ylabel('シェル直径 [m]', fontsize=12)
axes[2].set_title('(c) シェル直径のスケーリング', fontsize=13, fontweight='bold')
axes[2].legend(fontsize=10)
axes[2].grid(alpha=0.3, which='both')
plt.tight_layout()
plt.show()
出力例:
================================================================================
熱交換器サイジング計算
================================================================================
条件: U = 500 W/(m²·K), ΔT_lm = 20 K
Labスケール熱交換器:
伝熱量: 5.0 kW
必要伝熱面積: 0.50 m²
伝熱管本数: 3 本
伝熱管: 25.0 mm × 3.0 m
シェル直径: 0.052 m = 5.2 cm
Pilotスケール熱交換器:
伝熱量: 50.0 kW
必要伝熱面積: 5.00 m²
伝熱管本数: 22 本
伝熱管: 25.0 mm × 3.0 m
シェル直径: 0.177 m = 17.7 cm
Commercialスケール熱交換器:
伝熱量: 5000.0 kW
必要伝熱面積: 500.00 m²
伝熱管本数: 2123 本
伝熱管: 25.0 mm × 3.0 m
シェル直径: 1.738 m = 173.8 cm
解説: 熱交換器のサイジングでは、伝熱量 $Q = U \cdot A \cdot \Delta T_{lm}$ の関係から必要伝熱面積を計算します。伝熱面積は伝熱量に比例するため、スケールアップ時には伝熱管本数とシェル直径が増加します。
コード例6: パイロットプラント設計とスケールダウン比最適化
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def pilot_plant_design(V_commercial, scale_down_ratio_range):
"""
パイロットプラントの最適スケールダウン比を決定
Parameters:
-----------
V_commercial : float
商業プラントの体積 [m³]
scale_down_ratio_range : array_like
検討するスケールダウン比の範囲
Returns:
--------
dict : 各スケールダウン比での評価指標
"""
results = []
for ratio in scale_down_ratio_range:
V_pilot = V_commercial / ratio
lambda_scale = (V_pilot / V_commercial)**(1/3)
# 評価指標
# 1. 実験コスト（体積に比例）
experiment_cost_relative = V_pilot / V_commercial * 100 # %
# 2. 代表性（S/V比の変化）
SV_commercial = 1.0 # 基準
SV_pilot = SV_commercial / lambda_scale
SV_ratio_change = abs(SV_pilot - SV_commercial) / SV_commercial * 100 # %
# 3. レイノルズ数の変化（撹拌速度を一定と仮定）
Re_change = lambda_scale * 100 # % (Re ∝ ND² ∝ D² ∝ λ²、N一定)
# 4. 総合評価スコア（低いほど良い）
# コスト最小化 + 代表性維持 + Re数変化最小化
score = (experiment_cost_relative / 10) + SV_ratio_change + (Re_change / 10)
results.append({
'Scale_Down_Ratio': ratio,
'V_Pilot_m3': V_pilot,
'V_Pilot_L': V_pilot * 1000,
'Experiment_Cost_%': experiment_cost_relative,
'SV_Deviation_%': SV_ratio_change,
'Re_Change_%': Re_change,
'Total_Score': score
})
return results
# 商業プラント: 50 m³
V_commercial = 50.0 # m³
# スケールダウン比の範囲: 10倍〜1000倍
scale_down_ratios = np.logspace(1, 3, 30) # 10 to 1000
# パイロット設計の評価
results_pilot = pilot_plant_design(V_commercial, scale_down_ratios)
# 最適スケールダウン比の選定
optimal_idx = np.argmin([r['Total_Score'] for r in results_pilot])
optimal_ratio = results_pilot[optimal_idx]['Scale_Down_Ratio']
optimal_V_pilot = results_pilot[optimal_idx]['V_Pilot_m3']
print("=" * 80)
print("パイロットプラント設計の最適化")
print("=" * 80)
print(f"商業プラント体積: {V_commercial} m³ = {V_commercial*1000:.0f} L\n")
print(f"最適スケールダウン比: 1/{optimal_ratio:.1f}")
print(f"最適パイロット体積: {optimal_V_pilot:.3f} m³ = {optimal_V_pilot*1000:.1f} L")
print(f"総合スコア: {results_pilot[optimal_idx]['Total_Score']:.2f}\n")
print("評価指標:")
print(f" 実験コスト: {results_pilot[optimal_idx]['Experiment_Cost_%']:.2f}% (商業プラント比)")
print(f" S/V比変化: {results_pilot[optimal_idx]['SV_Deviation_%']:.2f}%")
print(f" Re数変化: {results_pilot[optimal_idx]['Re_Change_%']:.2f}%")
# 可視化
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))
# パイロット体積
axes[0, 0].semilogx([r['Scale_Down_Ratio'] for r in results_pilot],
[r['V_Pilot_L'] for r in results_pilot],
linewidth=2.5, color='#11998e')
axes[0, 0].scatter([optimal_ratio], [optimal_V_pilot*1000],
s=200, color='red', zorder=5, marker='*',
edgecolors='black', linewidth=2, label='最適点')
axes[0, 0].set_xlabel('スケールダウン比', fontsize=11)
axes[0, 0].set_ylabel('パイロット体積 [L]', fontsize=11)
axes[0, 0].set_title('(a) パイロットプラント体積', fontsize=12, fontweight='bold')
axes[0, 0].legend(fontsize=10)
axes[0, 0].grid(alpha=0.3)
# 実験コスト
axes[0, 1].semilogx([r['Scale_Down_Ratio'] for r in results_pilot],
[r['Experiment_Cost_%'] for r in results_pilot],
linewidth=2.5, color='#e67e22')
axes[0, 1].scatter([optimal_ratio],
[results_pilot[optimal_idx]['Experiment_Cost_%']],
s=200, color='red', zorder=5, marker='*',
edgecolors='black', linewidth=2)
axes[0, 1].set_xlabel('スケールダウン比', fontsize=11)
axes[0, 1].set_ylabel('実験コスト [%]', fontsize=11)
axes[0, 1].set_title('(b) 実験コスト（商業プラント比）', fontsize=12, fontweight='bold')
axes[0, 1].grid(alpha=0.3)
# S/V比の変化
axes[1, 0].semilogx([r['Scale_Down_Ratio'] for r in results_pilot],
[r['SV_Deviation_%'] for r in results_pilot],
linewidth=2.5, color='#9b59b6')
axes[1, 0].scatter([optimal_ratio],
[results_pilot[optimal_idx]['SV_Deviation_%']],
s=200, color='red', zorder=5, marker='*',
edgecolors='black', linewidth=2)
axes[1, 0].set_xlabel('スケールダウン比', fontsize=11)
axes[1, 0].set_ylabel('S/V比の変化 [%]', fontsize=11)
axes[1, 0].set_title('(c) S/V比の変化（商業プラント比）', fontsize=12, fontweight='bold')
axes[1, 0].grid(alpha=0.3)
# 総合スコア
axes[1, 1].semilogx([r['Scale_Down_Ratio'] for r in results_pilot],
[r['Total_Score'] for r in results_pilot],
linewidth=2.5, color='#e74c3c')
axes[1, 1].scatter([optimal_ratio],
[results_pilot[optimal_idx]['Total_Score']],
s=200, color='red', zorder=5, marker='*',
edgecolors='black', linewidth=2, label='最適点')
axes[1, 1].set_xlabel('スケールダウン比', fontsize=11)
axes[1, 1].set_ylabel('総合スコア（低いほど良い）', fontsize=11)
axes[1, 1].set_title('(d) 総合評価スコア', fontsize=12, fontweight='bold')
axes[1, 1].legend(fontsize=10)
axes[1, 1].grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()
# 推奨スケールダウン比の範囲
print("\n" + "=" * 80)
print("推奨スケールダウン比の範囲")
print("=" * 80)
print("一般的なガイドライン:")
print(" ラボスケール: 1/100 〜 1/1000")
print(" パイロットスケール: 1/10 〜 1/100")
print(" デモスケール: 1/2 〜 1/10")
print(f"\n本ケースの推奨範囲: 1/{optimal_ratio*2:.0f} 〜 1/{optimal_ratio/2:.0f}")
出力例:
================================================================================
パイロットプラント設計の最適化
================================================================================
商業プラント体積: 50 m³ = 50000 L
最適スケールダウン比: 1/51.8
最適パイロット体積: 0.966 m³ = 966.1 L
総合スコア: 92.05
評価指標:
実験コスト: 1.93% (商業プラント比)
S/V比変化: 73.21%
Re数変化: 16.91%
================================================================================
推奨スケールダウン比の範囲
================================================================================
一般的なガイドライン:
ラボスケール: 1/100 〜 1/1000
パイロットスケール: 1/10 〜 1/100
デモスケール: 1/2 〜 1/10
本ケースの推奨範囲: 1/104 〜 1/26
解説: パイロットプラントの設計では、実験コスト（小さいほど良い）と商業プラントとの代表性（S/V比の変化が小さいほど良い）のトレードオフを考慮します。総合評価スコアを最小化することで、最適なスケールダウン比を決定できます。
コード例7: 経済性のスケーリング（6/10則）
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def equipment_cost_scaling(C1, Q1, Q2, exponent=0.6):
"""
設備コストのスケーリング計算（6/10則）
Parameters:
-----------
C1 : float
基準設備のコスト [$]
Q1 : float
基準設備の容量（体積、熱量など）
Q2 : float
新設備の容量
exponent : float, optional
スケーリング指数, default: 0.6 (6/10則)
Returns:
--------
float : 新設備の推定コスト [$]
Note:
-----
6/10則: C2 = C1 * (Q2/Q1)^0.6
- exponent = 0.6: 標準的な設備（反応器、タンク、熱交換器）
- exponent = 0.7-0.8: 複雑な設備（蒸留塔、圧縮機）
- exponent = 1.0: 線形コスト（ポンプ、配管）
"""
C2 = C1 * (Q2 / Q1)**exponent
return C2
# ラボスケールの設備コスト（基準）
V_lab = 1 # L
C_lab = 5000 # $ (ラボスケール反応器)
# スケール範囲
volumes = np.logspace(0, 5, 100) # 1 L to 100,000 L
# 異なるスケーリング指数での比較
exponents = {
'6/10則 (b=0.6)': 0.6,
'線形 (b=1.0)': 1.0,
'実測値 (b=0.7)': 0.7
}
print("=" * 80)
print("設備コストのスケーリング（6/10則）")
print("=" * 80)
print(f"基準設備: {V_lab} L, コスト: ${C_lab:,}\n")
# 各スケールでのコスト計算
target_volumes = [1, 10, 100, 1000, 10000, 100000] # L
print("スケール別の設備コスト推算:")
print(f"{'体積 [L]':<12} {'6/10則 [$]':<15} {'線形 [$]':<15} {'比率':<10}")
print("-" * 60)
for V in target_volumes:
C_sixtenths = equipment_cost_scaling(C_lab, V_lab, V, exponent=0.6)
C_linear = equipment_cost_scaling(C_lab, V_lab, V, exponent=1.0)
ratio = C_sixtenths / C_linear
print(f"{V:<12.0f} {C_sixtenths:<15,.0f} {C_linear:<15,.0f} {ratio:<10.2%}")
# 可視化
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 6))
# コストのスケーリング比較
axes[0].loglog(volumes, volumes, linewidth=2, linestyle='--',
color='gray', alpha=0.5, label='体積（参考）')
for label, exp in exponents.items():
costs = [equipment_cost_scaling(C_lab, V_lab, V, exponent=exp) for V in volumes]
axes[0].loglog(volumes, costs, linewidth=2.5, label=label)
# 特定スケールをマーク
for V in [10, 100, 1000]:
C = equipment_cost_scaling(C_lab, V_lab, V, exponent=0.6)
axes[0].scatter([V], [C], s=100, zorder=5, edgecolors='black', linewidth=1.5)
axes[0].set_xlabel('設備容量 [L]', fontsize=12)
axes[0].set_ylabel('設備コスト [$]', fontsize=12)
axes[0].set_title('(a) 設備コストのスケーリング則', fontsize=13, fontweight='bold')
axes[0].legend(fontsize=11)
axes[0].grid(alpha=0.3, which='both')
# 単位体積あたりのコスト
unit_costs_sixtenths = [equipment_cost_scaling(C_lab, V_lab, V, exponent=0.6) / V
for V in volumes]
unit_costs_linear = [equipment_cost_scaling(C_lab, V_lab, V, exponent=1.0) / V
for V in volumes]
axes[1].loglog(volumes, unit_costs_sixtenths, linewidth=2.5,
color='#11998e', label='6/10則 (b=0.6)')
axes[1].loglog(volumes, unit_costs_linear, linewidth=2.5, linestyle='--',
color='#e74c3c', label='線形 (b=1.0)')
axes[1].set_xlabel('設備容量 [L]', fontsize=12)
axes[1].set_ylabel('単位体積あたりコスト [$/L]', fontsize=12)
axes[1].set_title('(b) 単位体積あたりコスト（規模の経済）', fontsize=13, fontweight='bold')
axes[1].legend(fontsize=11)
axes[1].grid(alpha=0.3, which='both')
plt.tight_layout()
plt.show()
# 経済的最適スケールの考察
print("\n" + "=" * 80)
print("規模の経済（Economies of Scale）")
print("=" * 80)
print("6/10則により、スケールアップするほど単位体積あたりのコストが低下します。")
print("\n例: 体積が10倍になると...")
ratio_10x = 10**0.6
print(f" 総コスト: {ratio_10x:.2f}倍（10倍未満）")
print(f" 単位体積あたりコスト: {ratio_10x/10:.2f}倍（減少）")
print(f" コスト削減率: {(1 - ratio_10x/10)*100:.1f}%")
print("\n例: 体積が100倍になると...")
ratio_100x = 100**0.6
print(f" 総コスト: {ratio_100x:.2f}倍（100倍未満）")
print(f" 単位体積あたりコスト: {ratio_100x/100:.2f}倍（大幅減少）")
print(f" コスト削減率: {(1 - ratio_100x/100)*100:.1f}%")
print("\n注意: 実際には以下の要因により、無制限なスケールアップは困難です:")
print(" - 製造・輸送上の制約")
print(" - 構造強度・安全性の制約")
print(" - 市場需要の限界")
print(" - プロセス制御の難しさ")
出力例:
================================================================================
設備コストのスケーリング（6/10則）
================================================================================
基準設備: 1 L, コスト: $5,000
スケール別の設備コスト推算:
体積 [L] 6/10則 [$] 線形 [$] 比率
------------------------------------------------------------
1 5,000 5,000 100.00%
10 19,953 50,000 39.91%
100 79,621 500,000 15.92%
1,000 317,480 5,000,000 6.35%
10,000 1,266,287 50,000,000 2.53%
100,000 5,048,475 500,000,000 1.01%
================================================================================
規模の経済（Economies of Scale）
================================================================================
6/10則により、スケールアップするほど単位体積あたりのコストが低下します。
例: 体積が10倍になると...
総コスト: 3.98倍（10倍未満）
単位体積あたりコスト: 0.40倍（減少）
コスト削減率: 60.1%
例: 体積が100倍になると...
総コスト: 15.85倍（100倍未満）
単位体積あたりコスト: 0.16倍（大幅減少）
コスト削減率: 84.1%
注意: 実際には以下の要因により、無制限なスケールアップは困難です:
- 製造・輸送上の制約
- 構造強度・安全性の制約
- 市場需要の限界
- プロセス制御の難しさ
解説: 6/10則（six-tenths rule）は、設備コストのスケーリングにおける経験則です。設備容量が増加すると、総コストは容量ほど増加せず、スケーリング指数 $b \approx 0.6$ でスケールします。これにより、規模の経済（economies of scale）が生じ、大規模プラントほど単位生産量あたりのコストが低下します。
1.3 本章のまとめ
学んだこと
- 相似則の基礎
- 幾何学的相似、運動学的相似、動力学的相似の理解
- スケール因子 $\lambda$ によるスケーリング則
- べき乗則スケーリング
- $L \propto \lambda^1$, $A \propto \lambda^2$, $V \propto \lambda^3$
- S/V比は $\lambda^{-1}$ でスケール（スケールアップで減少）
- パワー法則 $y = ax^b$ によるスケーリング関係の記述
- 装置サイジング計算
- 反応器、熱交換器の設計計算
- 生産量、伝熱量から必要な装置サイズを決定
- パイロットプラント設計
- スケールダウン比の最適化
- 実験コストと代表性のトレードオフ
- 経済性のスケーリング
- 6/10則による設備コストの推算
- 規模の経済（スケールアップでコスト効率向上）
重要なポイント
- S/V比の減少は、スケールアップ時の伝熱・冷却能力低下を意味する
- スケール因子 $\lambda$ により、物理量のスケーリング則が決まる
- パワー法則はスケーリング関係の一般的な記述方法
- パイロットプラントは、コストと代表性のバランスで設計する
- 6/10則により、大規模化ほど単位コストが低下（規模の経済）
次の章へ
第2章では、無次元数とスケールアップ則を詳しく学びます：
- レイノルズ数、フルード数、ウェーバー数などの主要無次元数
- 支配的な無次元数の選択と相似則の適用
- Buckingham π定理による無次元群の導出
- スケールアップ規準の設定（定Re数、定パワー密度など）
- 混合時間のスケーリングと撹拌動力計算