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第2章: 硬さ試験と衝撃試験

押込みと動的負荷による試験法

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2.1 硬さ試験の基礎

硬さとは、塑性変形または押込みに対する抵抗のことです。代表的な試験法にはブリネル、ビッカース、ロックウェル、ナノインデンテーションがあります。

📐 硬さの定義
ブリネル硬さ（HB）: $$HB = \frac{2F}{\pi D(D - \sqrt{D^2 - d^2})}$$ ここで $F$ は荷重（kgf）、$D$ は圧子球の直径（mm）、$d$ は圧痕の直径（mm）です。

ビッカース硬さ（HV）: $$HV = \frac{1.854F}{d^2}$$ ここで $F$ は荷重（kgf）、$d$ は対角線長さ（mm）です。

💻 コード例1: 硬さの計算

# 動作環境:
# - Python 3.9+
# - numpy>=1.24.0, <2.0.0

import numpy as np

class HardnessTester:
    """硬さ試験計算クラス"""

    def brinell_hardness(self, force, ball_diameter, indent_diameter):
        """ブリネル硬さ（HB）を計算"""
        F = force  # kgf
        D = ball_diameter  # mm
        d = indent_diameter  # mm
        HB = (2 * F) / (np.pi * D * (D - np.sqrt(D**2 - d**2)))
        return HB

    def vickers_hardness(self, force, diagonal):
        """ビッカース硬さ（HV）を計算"""
        F = force  # kgf
        d = diagonal  # mm
        HV = 1.854 * F / (d**2)
        return HV

    def rockwell_c_hardness(self, depth):
        """ロックウェルC硬さ（HRC）を計算"""
        HRC = 100 - 500 * depth  # depth の単位は mm
        return HRC

tester = HardnessTester()

# 計算例
hb = tester.brinell_hardness(force=3000, ball_diameter=10, indent_diameter=4.5)
hv = tester.vickers_hardness(force=30, diagonal=0.5)
hrc = tester.rockwell_c_hardness(depth=0.15)

print(f"ブリネル硬さ: {hb:.1f} HB")
print(f"ビッカース硬さ: {hv:.1f} HV")
print(f"ロックウェルC硬さ: {hrc:.1f} HRC")

2.2 硬さと強度の相関

硬さは引張強さと相関します。鋼の場合、UTS（MPa）≈ 3.45 × HB です。

💻 コード例2: 硬さと強度の換算

# 動作環境:
# - Python 3.9+
# - matplotlib>=3.7.0

def hardness_to_tensile_strength(hardness, method='HB', material='steel'):
    """硬さを近似的な引張強さに換算"""

    if material == 'steel':
        if method == 'HB':
            UTS = 3.45 * hardness
        elif method == 'HV':
            UTS = 3.2 * hardness
        elif method == 'HRC':
            UTS = (HRC + 18) * 10

    return UTS

hb_values = np.array([150, 200, 250, 300, 350])
uts_values = [hardness_to_tensile_strength(hb, 'HB') for hb in hb_values]

import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(hb_values, uts_values, 'bo-', linewidth=2, markersize=8)
plt.xlabel('Brinell Hardness (HB)')
plt.ylabel('Tensile Strength (MPa)')
plt.title('Hardness-Strength Correlation for Steel')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()

2.3 衝撃試験

衝撃試験は、動的負荷の際に吸収されるエネルギーを測定します。シャルピー試験とアイゾット試験は、靱性と延性-脆性遷移を評価します。

📐 衝撃エネルギー
シャルピー衝撃エネルギー: $$E = mgh_0 - mgh_f = mgh_0(1 - \cos\alpha)$$ ここで $m$ はハンマー質量、$h_0$ は初期高さ、$\alpha$ は振り上げ角です。

💻 コード例3: 衝撃エネルギーの計算

class ImpactTest:
    """シャルピー/アイゾット衝撃試験計算クラス"""

    def __init__(self, hammer_mass=25, pendulum_length=0.75):
        self.mass = hammer_mass  # kg
        self.length = pendulum_length  # m
        self.g = 9.81  # m/s^2

    def calculate_energy(self, initial_angle, final_angle):
        """吸収エネルギーを計算"""
        theta_0 = np.radians(initial_angle)
        theta_f = np.radians(final_angle)

        h_0 = self.length * (1 - np.cos(theta_0))
        h_f = self.length * (1 - np.cos(theta_f))

        E = self.mass * self.g * (h_0 - h_f)
        return E

impact = ImpactTest()
energy = impact.calculate_energy(initial_angle=140, final_angle=45)
print(f"吸収衝撃エネルギー: {energy:.1f} J")

2.4 延性-脆性遷移

多くの材料は低温で延性から脆性へと挙動が遷移し、これは極低温用途において重要です。

💻 コード例4: DBTT解析

def dbtt_curve(temperature, T_dbtt=-20, E_upper=200, E_lower=20):
    """延性-脆性遷移温度（DBTT）をモデル化"""
    # シグモイド遷移
    k = 0.1
    energy = E_lower + (E_upper - E_lower) / (1 + np.exp(-k * (temperature - T_dbtt)))
    return energy

temperatures = np.linspace(-100, 100, 200)
energies = dbtt_curve(temperatures)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(temperatures, energies, 'b-', linewidth=2)
plt.axvline(-20, color='r', linestyle='--', label='DBTT = -20°C')
plt.axhline(110, color='g', linestyle='--', alpha=0.5, label='50% Energy')
plt.xlabel('Temperature (°C)')
plt.ylabel('Impact Energy (J)')
plt.title('Ductile-Brittle Transition Curve')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()

2.5 ナノインデンテーション

ナノインデンテーションは、連続的な荷重-押込み深さ測定を用いて、ナノスケールでの機械的特性を測定します。

💻 コード例5: Oliver-Pharr解析

def oliver_pharr_analysis(load, depth, tip_angle=70.3):
    """ナノインデンテーションのためのOliver-Pharr法"""
    # バーコビッチ圧子の面積関数
    C = 24.5  # バーコビッチ圧子の定数
    A_c = C * depth**2

    # 硬さ
    H = load / A_c

    # 換算弾性率（簡略化）
    S = np.gradient(load, depth)[-1]  # 剛性
    E_r = (np.sqrt(np.pi) / 2) * S / np.sqrt(A_c)

    return H, E_r, A_c

depths = np.linspace(0, 1000, 100)  # nm
loads = 0.1 * depths**1.5  # 模擬データ

H, E_r, A_c = oliver_pharr_analysis(loads, depths)
print(f"硬さ: {H[-1]:.2f} GPa")
print(f"換算弾性率: {E_r:.1f} GPa")

2.6 マイクロ硬さマッピング

硬さの空間的マッピングにより、微視組織の変化や相分布を明らかにできます。

💻 コード例6: 硬さマッピング

def generate_hardness_map(grid_size=20):
    """合成硬さマップを生成"""
    x = np.linspace(0, 10, grid_size)
    y = np.linspace(0, 10, grid_size)
    X, Y = np.meshgrid(x, y)

    # 硬さの変化をシミュレート
    HV = 200 + 50 * np.sin(X) + 30 * np.cos(Y) + 10 * np.random.randn(grid_size, grid_size)

    return X, Y, HV

X, Y, HV = generate_hardness_map()

plt.figure(figsize=(10, 8))
contour = plt.contourf(X, Y, HV, levels=20, cmap='viridis')
plt.colorbar(contour, label='Vickers Hardness (HV)')
plt.xlabel('X Position (mm)')
plt.ylabel('Y Position (mm)')
plt.title('Microhardness Map')
plt.show()

2.7 統計解析

複数回の測定と統計解析により、信頼性の高い硬さの特性評価が可能になります。

💻 コード例7: 硬さデータの統計解析

# 動作環境:
# - Python 3.9+
# - scipy>=1.11.0

from scipy import stats

def analyze_hardness_data(measurements):
    """硬さ測定値の統計解析"""

    mean = np.mean(measurements)
    std = np.std(measurements, ddof=1)
    sem = stats.sem(measurements)

    # 95%信頼区間
    ci = stats.t.interval(0.95, len(measurements)-1, mean, sem)

    # 外れ値検出（3シグマ）
    outliers = np.abs(measurements - mean) > 3 * std

    return {
        'mean': mean,
        'std': std,
        'cv': (std/mean)*100,
        'confidence_interval': ci,
        'outliers': np.where(outliers)[0]
    }

# データセット例
hardness_data = np.array([220, 225, 218, 230, 222, 226, 219, 280, 224, 221])
results = analyze_hardness_data(hardness_data)

print(f"平均硬さ: {results['mean']:.1f} ± {results['std']:.1f} HV")
print(f"変動係数（CV）: {results['cv']:.2f}%")
print(f"95%信頼区間: [{results['confidence_interval'][0]:.1f}, {results['confidence_interval'][1]:.1f}]")
print(f"外れ値のインデックス: {results['outliers']}")

📝 章末演習

✏️ 演習問題
  1. 荷重3000 kgf、圧子球径10 mm、圧痕径4.2 mmの条件でブリネル硬さを計算してください。
  2. 280 HBの鋼について、経験的相関式を用いて引張強さを推定してください。
  3. 初期角140°、終了角50°のシャルピー試験において吸収される衝撃エネルギーを求めてください。
  4. DBTT曲線を解析し、-40°Cにおける衝撃エネルギーを予測してください。
  5. 10個の硬さ測定値について統計解析を行い、外れ値を特定してください。

まとめ

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