1.1 引張試験の概要
引張試験は、強度・延性・弾性率などの材料特性を測定するために用いられる、最も基本的な機械試験です。試験片に制御された引張荷重を破断まで加えながら、荷重と伸びを測定します。
📖 定義: 公称応力と公称ひずみ
公称応力: $$\sigma = \frac{F}{A_0}$$ ここで $F$ は加えられた荷重、$A_0$ は初期断面積です。
公称ひずみ: $$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{L - L_0}{L_0}$$ ここで $L_0$ は初期長さ、$L$ は現在の長さです。
公称応力: $$\sigma = \frac{F}{A_0}$$ ここで $F$ は加えられた荷重、$A_0$ は初期断面積です。
公称ひずみ: $$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{L - L_0}{L_0}$$ ここで $L_0$ は初期長さ、$L$ は現在の長さです。
💻 コード例1: 応力–ひずみ曲線の生成
Python実装: 公称応力–ひずみ解析
# 要件:
# - Python 3.9+
# - matplotlib>=3.7.0
# - numpy>=1.24.0, <2.0.0
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def generate_stress_strain_curve(material='steel'):
"""公称応力–ひずみ曲線を生成"""
materials = {
'steel': {'E': 200e3, 'yield': 250, 'uts': 400, 'fracture_strain': 0.25},
'aluminum': {'E': 70e3, 'yield': 100, 'uts': 200, 'fracture_strain': 0.15},
'copper': {'E': 120e3, 'yield': 70, 'uts': 220, 'fracture_strain': 0.45}
}
props = materials[material]
# 弾性領域
strain_elastic = np.linspace(0, props['yield']/props['E'], 100)
stress_elastic = props['E'] * strain_elastic
# 塑性領域
strain_plastic = np.linspace(props['yield']/props['E'], props['fracture_strain'], 200)
K = props['uts'] * 1.1
n = 0.2
stress_plastic = K * strain_plastic**n
strain = np.concatenate([strain_elastic, strain_plastic])
stress = np.concatenate([stress_elastic, stress_plastic])
return strain, stress, props
# 異なる材料を可視化
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
for material in ['steel', 'aluminum', 'copper']:
strain, stress, props = generate_stress_strain_curve(material)
ax.plot(strain * 100, stress, linewidth=2, label=material.capitalize())
yield_idx = np.argmin(np.abs(stress - props['yield']))
ax.plot(strain[yield_idx] * 100, stress[yield_idx], 'o', markersize=8)
ax.set_xlabel('Engineering Strain (%)', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Engineering Stress (MPa)', fontsize=12)
ax.set_title('Engineering Stress-Strain Curves', fontsize=14, fontweight='bold')
ax.legend()
ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()1.2 真応力と真ひずみ
公称応力・公称ひずみは寸法が一定であると仮定しますが、実際には試験中に材料は変形します。真応力・真ひずみは、その瞬間の寸法を考慮したものです。
📖 定義: 真応力と真ひずみ
真応力: $\sigma_T = \frac{F}{A} = \sigma(1 + \epsilon)$
真ひずみ: $\epsilon_T = \ln\left(\frac{L}{L_0}\right) = \ln(1 + \epsilon)$
真応力: $\sigma_T = \frac{F}{A} = \sigma(1 + \epsilon)$
真ひずみ: $\epsilon_T = \ln\left(\frac{L}{L_0}\right) = \ln(1 + \epsilon)$
💻 コード例2: 真応力と公称応力の変換
Python実装: 応力–ひずみの変換
def engineering_to_true(eng_stress, eng_strain):
"""公称応力–ひずみを真応力–ひずみに変換"""
true_stress = eng_stress * (1 + eng_strain)
true_strain = np.log(1 + eng_strain)
return true_stress, true_strain
strain_eng, stress_eng, _ = generate_stress_strain_curve('steel')
stress_true, strain_true = engineering_to_true(stress_eng, strain_eng)
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
ax1.plot(strain_eng * 100, stress_eng, 'b-', linewidth=2, label='Engineering')
ax1.set_xlabel('Engineering Strain (%)')
ax1.set_ylabel('Engineering Stress (MPa)')
ax1.set_title('Engineering Stress-Strain')
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax1.legend()
ax2.plot(strain_true * 100, stress_true, 'r-', linewidth=2, label='True')
ax2.set_xlabel('True Strain (%)')
ax2.set_ylabel('True Stress (MPa)')
ax2.set_title('True Stress-Strain')
ax2.grid(True, alpha=0.3)
ax2.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()1.3 機械的性質の抽出
引張試験からは、弾性率・降伏強度・引張強さ・延性といった重要な機械的性質が得られます。
📖 主要な機械的性質
- 弾性率: 弾性領域における $E = \frac{\sigma}{\epsilon}$
- 降伏強度: 0.2%オフセット法
- 引張強さ: 公称応力の最大値
- 延性: $\delta = \frac{L_f - L_0}{L_0} \times 100\%$
- じん性: 応力–ひずみ曲線下の面積
💻 コード例3: 機械的性質の計算
# 要件:
# - Python 3.9+
# - scipy>=1.11.0
from scipy import integrate
from scipy.stats import linregress
def calculate_mechanical_properties(strain, stress):
"""応力–ひずみ曲線から機械的性質を抽出"""
properties = {}
# 弾性率
elastic_idx = int(len(strain) * 0.05)
slope, intercept, r_value, _, _ = linregress(strain[:elastic_idx], stress[:elastic_idx])
properties['elastic_modulus'] = slope
# 降伏強度（0.2%オフセット）
offset_strain = 0.002
offset_line = slope * (strain - offset_strain) + intercept
diff = np.abs(stress - offset_line)
yield_idx = elastic_idx + np.argmin(diff[elastic_idx:])
properties['yield_strength'] = stress[yield_idx]
# 引張強さ
uts_idx = np.argmax(stress)
properties['ultimate_tensile_strength'] = stress[uts_idx]
properties['uniform_elongation'] = strain[uts_idx]
# 延性
properties['elongation_percent'] = strain[-1] * 100
# じん性
properties['toughness'] = integrate.trapz(stress, strain)
return properties
strain, stress, _ = generate_stress_strain_curve('steel')
props = calculate_mechanical_properties(strain, stress)
print(f"弾性率: {props['elastic_modulus']/1000:.1f} GPa")
print(f"降伏強度: {props['yield_strength']:.1f} MPa")
print(f"引張強さ: {props['ultimate_tensile_strength']:.1f} MPa")
print(f"伸び: {props['elongation_percent']:.1f}%")
print(f"じん性: {props['toughness']:.1f} MJ/m³")1.4 試験規格
ASTM E8 と ISO 6892 は、再現性を確保するための標準化された手順を規定しています。主な要件には、試験片形状、ひずみ速度、環境条件などが含まれます。
💻 コード例4: ASTM E8 試験片設計
class TensileSpecimen:
"""ASTM E8 引張試験片計算機"""
def calculate_dimensions(self, diameter=12.5):
"""ASTM E8に基づき試験片寸法を計算"""
area = np.pi * (diameter/2)**2
gauge_length = 4 * np.sqrt(area)
return {
'diameter': diameter,
'area': area,
'gauge_length': gauge_length,
'total_length': gauge_length * 1.5 + 60
}
def calculate_test_speed(self, gauge_length, strain_rate=0.005):
"""クロスヘッド速度を計算"""
return strain_rate * gauge_length
specimen = TensileSpecimen()
dims = specimen.calculate_dimensions(diameter=12.5)
speed = specimen.calculate_test_speed(dims['gauge_length'])
print(f"標点距離: {dims['gauge_length']:.2f} mm")
print(f"試験速度: {speed:.3f} mm/min")1.5 加工硬化
塑性変形の間、流動応力はひずみとともに増加します（加工硬化）。これはHollomon則で記述されます。
📖 Hollomon則: $\sigma_T = K \epsilon_T^n$
ここで $K$ は強度係数、$n$ は加工硬化指数です。
ここで $K$ は強度係数、$n$ は加工硬化指数です。
💻 コード例5: Hollomon則のフィッティング
def fit_hollomon_equation(true_strain, true_stress):
"""データにHollomon則をフィッティング"""
plastic_idx = 100
strain_plastic = true_strain[plastic_idx:]
stress_plastic = true_stress[plastic_idx:]
log_strain = np.log(strain_plastic)
log_stress = np.log(stress_plastic)
n, log_K, r_value, _, _ = linregress(log_strain, log_stress)
K = np.exp(log_K)
return K, n, r_value**2
strain_eng, stress_eng, _ = generate_stress_strain_curve('steel')
stress_true, strain_true = engineering_to_true(stress_eng, strain_eng)
K, n, R2 = fit_hollomon_equation(strain_true, stress_true)
print(f"Hollomon則: σ = {K:.1f} * ε^{n:.3f}")
print(f"R² = {R2:.4f}")
print(f"加工硬化指数: n = {n:.3f}")1.6 温度の影響
機械的性質は温度によって変化します。高温では強度が低下し、延性が増加します。
💻 コード例6: 温度依存性
def temperature_dependent_properties(T, T_ref=293):
"""温度依存の降伏強度を計算"""
R = 8.314
Q = 50000
sigma_ref = 250
sigma_y = sigma_ref * np.exp(Q/R * (1/T - 1/T_ref))
E = 200e3 * (1 - 0.0005 * (T - T_ref))
elongation = 25 * (T / T_ref)**0.5
return sigma_y, E, elongation
temperatures = np.linspace(200, 800, 100)
results = [temperature_dependent_properties(T) for T in temperatures]
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(temperatures - 273, [r[0] for r in results], label='Yield Strength')
plt.xlabel('Temperature (°C)')
plt.ylabel('Yield Strength (MPa)')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend()
plt.show()1.7 くびれと不安定性
くびれ（ネッキング）は、局所的な変形が始まる引張強さの点で発生します。Considère条件はくびれの発生を予測します。
📖 Considère条件: $\frac{d\sigma_T}{d\epsilon_T} = \sigma_T$ のときにくびれが発生
Hollomon則の場合: $\epsilon_T^{neck} = n$
Hollomon則の場合: $\epsilon_T^{neck} = n$
💻 コード例7: くびれの予測
def predict_necking(K, n):
"""Considère条件を用いてくびれを予測"""
necking_strain_true = n
necking_stress_true = K * necking_strain_true**n
necking_strain_eng = np.exp(necking_strain_true) - 1
necking_stress_eng = necking_stress_true / (1 + necking_strain_eng)
return {
'true_strain': necking_strain_true,
'true_stress': necking_stress_true,
'eng_strain': necking_strain_eng,
'eng_stress': necking_stress_eng
}
K, n = 550, 0.22
necking = predict_necking(K, n)
print(f"くびれ発生時の真ひずみ: {necking['true_strain']:.3f}")
print(f"公称ひずみ: {necking['eng_strain']*100:.1f}%")📝 章末問題
演習問題
- 初期直径12.5 mmの試験片に62 kNの荷重を加え、直径が10.8 mmになったときの公称応力と真応力を計算しなさい。
- 応力–ひずみデータから弾性率・降伏強度・引張強さを求め、じん性を計算しなさい。
- 塑性領域にHollomon則をフィッティングし、くびれ発生時のひずみを予測しなさい。
- 厚さ2 mmの板材に対するASTM E8の矩形試験片を設計しなさい。
- 高温用途を想定し、25°Cから400°Cにおける特性変化を解析しなさい。
まとめ
- 引張試験は基本的な機械的性質を決定する
- 公称応力–ひずみと真応力–ひずみ: 初期寸法と瞬間寸法の違い
- 主要特性: 弾性率、降伏強度、引張強さ、延性、じん性
- ASTM E8／ISO 6892 が試験手順を標準化する
- Hollomon則は加工硬化を記述する: σ = Kε^n
- 温度とひずみ速度は特性に大きく影響する
- くびれはConsidère条件で予測される