第1章: 電気伝導測定の基礎

電気伝導測定は、材料の電気的特性を定量的に評価する基本的な手法です。この章では、Drudeモデルによる電気伝導の理論的基礎、二端子測定と四端子測定の違い、van der Pauw法による任意形状試料の測定、温度依存性から得られるキャリア散乱機構の情報を学び、Pythonで実践的なデータ解析を行います。

1.1 電気伝導のDrudeモデル

1.1.1 Drudeモデルの基礎

Drudeモデル（1900年、Paul Drude提唱）は、金属や高ドープ半導体の電気伝導を説明する古典的な理論です。このモデルでは、電子を自由に動き回る「自由電子ガス」として扱います。

基本仮定：

• 電子は原子核や他の電子と散乱するまで自由に運動する
• 散乱は平均緩和時間 $\tau$ で起こる（散乱確率 $\propto 1/\tau$）
• 散乱後、電子の速度はランダムな方向を向く（電場による drift はリセット）

電気伝導率の導出：

電場 $\vec{E}$ がかかると、電子は加速される：

ここで、$m$ は電子質量、$e$ は電荷素量（$e > 0$）、$\tau$ は散乱緩和時間です。定常状態（$d\vec{v}/dt = 0$）で：

電流密度 $\vec{j}$ は、キャリア密度 $n$、電荷 $-e$、ドリフト速度 $\vec{v}_{\text{drift}}$ の積：

電気伝導率 $\sigma$ と抵抗率 $\rho$ は：

移動度 $\mu$ は、単位電場あたりのドリフト速度：

したがって、電気伝導率は次のようにも表現できます：

コード例1-1: Drudeモデルによる電気伝導率計算

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def drude_conductivity(n, tau, m=9.10938e-31):
    """
    Drudeモデルによる電気伝導率を計算

    Parameters
    ----------
    n : float or array-like
        キャリア密度 [m^-3]
    tau : float or array-like
        散乱緩和時間 [s]
    m : float
        有効質量 [kg]（デフォルト：自由電子質量）

    Returns
    -------
    sigma : float or array-like
        電気伝導率 [S/m]
    """
    e = 1.60218e-19  # 電荷素量 [C]
    sigma = n * e**2 * tau / m
    return sigma

# 典型的な金属（銅）のパラメータ
n_Cu = 8.5e28  # キャリア密度 [m^-3]（銅の自由電子密度）
tau_Cu = 2.5e-14  # 散乱緩和時間 [s]（室温）

sigma_Cu = drude_conductivity(n_Cu, tau_Cu)
rho_Cu = 1 / sigma_Cu

print(f"銅の電気伝導率: {sigma_Cu:.3e} S/m")
print(f"銅の抵抗率: {rho_Cu:.3e} Ω·m = {rho_Cu * 1e8:.2f} μΩ·cm")
print(f"実験値（室温）: ρ ≈ 1.68 μΩ·cm")

# キャリア密度依存性
n_range = np.logspace(26, 30, 100)  # [m^-3]
tau_fixed = 1e-14  # [s]

sigma_n = drude_conductivity(n_range, tau_fixed)

# 散乱緩和時間依存性
n_fixed = 1e28  # [m^-3]
tau_range = np.logspace(-15, -12, 100)  # [s]

sigma_tau = drude_conductivity(n_fixed, tau_range)

# プロット
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# 左図：キャリア密度依存性
ax1.loglog(n_range, sigma_n, linewidth=2.5, color='#f093fb')
ax1.scatter([n_Cu], [sigma_Cu], s=150, c='#f5576c', edgecolors='black', linewidth=2, zorder=5, label='Cu (room temp)')
ax1.set_xlabel('Carrier Density n [m$^{-3}$]', fontsize=12)
ax1.set_ylabel('Conductivity σ [S/m]', fontsize=12)
ax1.set_title('Conductivity vs Carrier Density\n(τ = 10 fs)', fontsize=14, fontweight='bold')
ax1.legend(fontsize=11)
ax1.grid(alpha=0.3, which='both')

# 右図：散乱緩和時間依存性
ax2.loglog(tau_range * 1e15, sigma_tau, linewidth=2.5, color='#f093fb')
ax2.scatter([tau_Cu * 1e15], [sigma_Cu], s=150, c='#f5576c', edgecolors='black', linewidth=2, zorder=5, label='Cu (room temp)')
ax2.set_xlabel('Scattering Relaxation Time τ [fs]', fontsize=12)
ax2.set_ylabel('Conductivity σ [S/m]', fontsize=12)
ax2.set_title('Conductivity vs Relaxation Time\n(n = 10$^{28}$ m$^{-3}$)', fontsize=14, fontweight='bold')
ax2.legend(fontsize=11)
ax2.grid(alpha=0.3, which='both')

plt.tight_layout()
plt.show()

出力解釈：

• 銅の電気伝導率: 約 $5.8 \times 10^7$ S/m（実験値とよく一致）
• 電気伝導率は $n$ と $\tau$ に比例（$\sigma \propto n\tau$）
• 金属では $n$ はほぼ一定なので、温度依存性は主に $\tau$ に起因

1.1.2 温度依存性と散乱機構

散乱緩和時間 $\tau$ は、散乱機構に依存して温度により変化します。

Matthiessenの法則：複数の散乱機構が独立に働く場合、総抵抗率は各機構の寄与の和：

ここで、$\rho_0$ は残留抵抗率（不純物・欠陥による、温度に依存しない）、$\rho_{\text{phonon}}(T)$ はフォノン散乱による温度依存項です。

1.2 二端子測定と四端子測定

1.2.1 二端子測定の問題点

二端子測定では、電流を流す端子と電圧を測定する端子が同じであるため、接触抵抗や配線抵抗が測定値に含まれてしまいます。

測定される電圧：

接触抵抗 $R_c$ は、試料抵抗 $R_{\text{sample}}$ よりも大きい場合があり（特に薄膜や半導体）、正確な測定の妨げとなります。

1.2.2 四端子測定法（Kelvin測定）

四端子測定法では、電流端子と電圧端子を分離することで、接触抵抗の影響を排除します。

電圧計は高入力インピーダンス（理想的には無限大）なので、電圧端子にはほとんど電流が流れません。したがって、電圧端子の接触抵抗による電圧降下はゼロで、試料内部の電圧のみを測定できます：

四端子測定の利点：

• 接触抵抗の影響を受けない
• 配線抵抗の影響も排除できる
• 低抵抗材料の高精度測定が可能（μΩオーダーも測定可能）

コード例1-2: 二端子 vs 四端子測定のシミュレーション

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def two_terminal_measurement(R_sample, R_contact, I):
    """
    二端子測定をシミュレート
    """
    V_measured = I * (2 * R_contact + R_sample)
    R_measured = V_measured / I
    return R_measured

def four_terminal_measurement(R_sample, I):
    """
    四端子測定をシミュレート
    """
    V_sample = I * R_sample
    R_measured = V_sample / I
    return R_measured

# パラメータ
R_sample = 1.0  # 試料抵抗 [Ω]
R_contact_range = np.linspace(0, 5, 100)  # 接触抵抗 [Ω]
I = 0.1  # 電流 [A]

# 測定値計算
R_2terminal = [two_terminal_measurement(R_sample, Rc, I) for Rc in R_contact_range]
R_4terminal = [four_terminal_measurement(R_sample, I) for Rc in R_contact_range]

# プロット
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))

ax.plot(R_contact_range, R_2terminal, linewidth=2.5, label='2-terminal (with contact resistance)', color='#ffa500')
ax.plot(R_contact_range, R_4terminal, linewidth=2.5, label='4-terminal (no contact resistance)', color='#f093fb', linestyle='--')
ax.axhline(y=R_sample, color='black', linestyle=':', linewidth=1.5, label=f'True sample resistance = {R_sample} Ω')

ax.set_xlabel('Contact Resistance R$_c$ [Ω]', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Measured Resistance [Ω]', fontsize=12)
ax.set_title('2-Terminal vs 4-Terminal Measurement', fontsize=14, fontweight='bold')
ax.legend(fontsize=11, loc='upper left')
ax.grid(alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

# 具体例
R_contact_example = 2.0  # [Ω]
R_2t = two_terminal_measurement(R_sample, R_contact_example, I)
R_4t = four_terminal_measurement(R_sample, I)

print(f"試料抵抗: {R_sample} Ω")
print(f"接触抵抗: {R_contact_example} Ω（各接点）")
print(f"二端子測定値: {R_2t:.2f} Ω（誤差: {(R_2t - R_sample) / R_sample * 100:.1f}%）")
print(f"四端子測定値: {R_4t:.2f} Ω（誤差: 0%）")

1.3 van der Pauw法

1.3.1 van der Pauw定理

van der Pauw法（1958年、L.J. van der Pauw提唱）は、任意形状の薄膜試料のシート抵抗を測定できる強力な手法です。試料の形状を特定の形（矩形、円形など）にする必要がなく、4つの接点さえあれば測定可能です。

条件：

• 試料は平面的で、厚さ $t$ が一様
• 試料に穴や欠陥がない（単連結）
• 4つの接点が試料の端部に配置されている
• 接点は十分小さい

van der Pauw定理：

4つの接点 A, B, C, D を試料周辺に配置し、次の2つの抵抗を測定します：

van der Pauwの定理により、シート抵抗 $R_s$ は次の式を満たします：

この式を $R_s$ について解くことで、シート抵抗が求まります。

シート抵抗とバルク抵抗率の関係：

ここで、$\rho$ はバルク抵抗率、$t$ は試料の厚さです。$R_s$ の単位は Ω/□（オーム・パー・スクエア）で表されます。

コード例1-3: van der Pauw法によるシート抵抗計算

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve
import matplotlib.pyplot as plt

def van_der_pauw_equation(Rs, R1, R2):
    """
    van der Pauw方程式: exp(-π R1/Rs) + exp(-π R2/Rs) = 1
    """
    return np.exp(-np.pi * R1 / Rs) + np.exp(-np.pi * R2 / Rs) - 1

def calculate_sheet_resistance(R_AB_CD, R_BC_DA):
    """
    van der Pauw法によりシート抵抗を計算

    Parameters
    ----------
    R_AB_CD : float
        抵抗 R_AB,CD [Ω]
    R_BC_DA : float
        抵抗 R_BC,DA [Ω]

    Returns
    -------
    R_s : float
        シート抵抗 [Ω/sq]
    """
    # 初期推定値：平均抵抗
    R_initial = (R_AB_CD + R_BC_DA) / 2 * np.pi / np.log(2)

    # 数値的に解く
    R_s = fsolve(van_der_pauw_equation, R_initial, args=(R_AB_CD, R_BC_DA))[0]

    return R_s

# 測定例1：正方形試料（対称配置）
R1 = 100  # [Ω]
R2 = 100  # [Ω]

R_s1 = calculate_sheet_resistance(R1, R2)
print("例1：正方形試料（対称配置）")
print(f"  R_AB,CD = {R1:.1f} Ω")
print(f"  R_BC,DA = {R2:.1f} Ω")
print(f"  シート抵抗 R_s = {R_s1:.2f} Ω/sq")
print(f"  簡略式 R_s ≈ (π/ln2)(R1+R2)/2 = {np.pi / np.log(2) * (R1 + R2) / 2:.2f} Ω/sq")

# 測定例2：非対称配置
R1 = 120  # [Ω]
R2 = 80   # [Ω]

R_s2 = calculate_sheet_resistance(R1, R2)
print("\n例2：非対称配置")
print(f"  R_AB,CD = {R1:.1f} Ω")
print(f"  R_BC,DA = {R2:.1f} Ω")
print(f"  シート抵抗 R_s = {R_s2:.2f} Ω/sq")

# 厚さからバルク抵抗率を計算
t = 100e-9  # 厚さ 100 nm
rho1 = R_s1 * t
rho2 = R_s2 * t

print(f"\n厚さ t = {t * 1e9:.0f} nm とすると：")
print(f"  例1のバルク抵抗率 ρ = {rho1:.3e} Ω·m = {rho1 * 1e8:.2f} μΩ·cm")
print(f"  例2のバルク抵抗率 ρ = {rho2:.3e} Ω·m = {rho2 * 1e8:.2f} μΩ·cm")

# van der Pauw方程式の可視化
R1_range = np.linspace(50, 150, 50)
R2_range = np.linspace(50, 150, 50)
R1_mesh, R2_mesh = np.meshgrid(R1_range, R2_range)

R_s_mesh = np.zeros_like(R1_mesh)
for i in range(R1_mesh.shape[0]):
    for j in range(R1_mesh.shape[1]):
        R_s_mesh[i, j] = calculate_sheet_resistance(R1_mesh[i, j], R2_mesh[i, j])

# プロット
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8))

contour = ax.contourf(R1_mesh, R2_mesh, R_s_mesh, levels=20, cmap='plasma')
cbar = plt.colorbar(contour, ax=ax)
cbar.set_label('Sheet Resistance R$_s$ [Ω/sq]', fontsize=12)

ax.scatter([R1], [R2], s=200, c='white', edgecolors='black', linewidth=2, marker='o', label='Example 2')
ax.set_xlabel('R$_{AB,CD}$ [Ω]', fontsize=12)
ax.set_ylabel('R$_{BC,DA}$ [Ω]', fontsize=12)
ax.set_title('van der Pauw Method: Sheet Resistance Map', fontsize=14, fontweight='bold')
ax.legend(fontsize=11)
ax.grid(alpha=0.3, color='white')

plt.tight_layout()
plt.show()

出力解釈：

• 対称配置（$R_1 = R_2$）の場合、簡略式 $R_s \approx \frac{\pi}{\ln 2}R_1$ がよく使われる
• 非対称配置でも、van der Pauw方程式を数値的に解けば正確な $R_s$ が得られる
• シート抵抗から厚さを掛けることで、バルク抵抗率が得られる

1.4 温度依存性測定とフィッティング

1.4.1 金属の温度依存性（Bloch-Grüneisenモデル）

金属の抵抗率は、低温では不純物散乱（温度に依存しない $\rho_0$）、高温ではフォノン散乱（$T$ に比例）が支配的です：

ここで、$A$ はフォノン散乱に関係する係数です。

1.4.2 半導体の温度依存性（Arrheniusプロット）

半導体では、キャリア密度が温度により変化します（熱励起）：

抵抗率は：

$\ln \rho$ vs $1/T$ のプロット（Arrheniusプロット）で、活性化エネルギー $E_a$ が求まります。

コード例1-4: 温度依存性データのフィッティング

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from lmfit import Model

# 金属モデル：ρ(T) = ρ₀ + A*T
def metal_resistivity(T, rho0, A):
    return rho0 + A * T

# 半導体モデル：ρ(T) = ρ₀ * exp(Ea / (kB * T))
def semiconductor_resistivity(T, rho0, Ea):
    kB = 8.617333e-5  # Boltzmann定数 [eV/K]
    return rho0 * np.exp(Ea / (kB * T))

# シミュレーションデータ生成
# 金属（銅）
T_metal = np.linspace(50, 400, 30)  # [K]
rho0_true = 0.5e-8  # [Ω·m]
A_true = 5e-11  # [Ω·m/K]
rho_metal = metal_resistivity(T_metal, rho0_true, A_true) * (1 + 0.02 * np.random.randn(len(T_metal)))  # 2%ノイズ

# 半導体（シリコン）
T_semi = np.linspace(300, 600, 30)  # [K]
rho0_semi_true = 1e-5  # [Ω·m]
Ea_true = 0.5  # [eV]
rho_semi = semiconductor_resistivity(T_semi, rho0_semi_true, Ea_true) * (1 + 0.05 * np.random.randn(len(T_semi)))  # 5%ノイズ

# フィッティング：金属
metal_model = Model(metal_resistivity)
metal_params = metal_model.make_params(rho0=1e-8, A=1e-11)
metal_result = metal_model.fit(rho_metal, metal_params, T=T_metal)

print("金属のフィッティング結果:")
print(metal_result.fit_report())

# フィッティング：半導体
semi_model = Model(semiconductor_resistivity)
semi_params = semi_model.make_params(rho0=1e-6, Ea=0.6)
semi_result = semi_model.fit(rho_semi, semi_params, T=T_semi)

print("\n半導体のフィッティング結果:")
print(semi_result.fit_report())

# プロット
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))

# 金属：ρ vs T
axes[0, 0].scatter(T_metal, rho_metal * 1e8, s=80, alpha=0.7, edgecolors='black', linewidths=1.5, label='Data (with noise)', color='#f093fb')
axes[0, 0].plot(T_metal, metal_result.best_fit * 1e8, linewidth=2.5, label='Fit: ρ = ρ₀ + AT', color='#f5576c')
axes[0, 0].set_xlabel('Temperature T [K]', fontsize=12)
axes[0, 0].set_ylabel('Resistivity ρ [μΩ·cm]', fontsize=12)
axes[0, 0].set_title('Metal (Cu): Resistivity vs Temperature', fontsize=13, fontweight='bold')
axes[0, 0].legend(fontsize=10)
axes[0, 0].grid(alpha=0.3)

# 金属：残差
residuals_metal = rho_metal - metal_result.best_fit
axes[0, 1].scatter(T_metal, residuals_metal * 1e8, s=80, alpha=0.7, edgecolors='black', linewidths=1.5, color='#99ccff')
axes[0, 1].axhline(0, color='black', linestyle='--', linewidth=1.5)
axes[0, 1].set_xlabel('Temperature T [K]', fontsize=12)
axes[0, 1].set_ylabel('Residuals [μΩ·cm]', fontsize=12)
axes[0, 1].set_title('Fit Residuals (Metal)', fontsize=13, fontweight='bold')
axes[0, 1].grid(alpha=0.3)

# 半導体：ρ vs T
axes[1, 0].scatter(T_semi, rho_semi, s=80, alpha=0.7, edgecolors='black', linewidths=1.5, label='Data (with noise)', color='#ffa500')
axes[1, 0].plot(T_semi, semi_result.best_fit, linewidth=2.5, label='Fit: ρ = ρ₀exp(Ea/kT)', color='#ff6347')
axes[1, 0].set_xlabel('Temperature T [K]', fontsize=12)
axes[1, 0].set_ylabel('Resistivity ρ [Ω·m]', fontsize=12)
axes[1, 0].set_title('Semiconductor (Si): Resistivity vs Temperature', fontsize=13, fontweight='bold')
axes[1, 0].legend(fontsize=10)
axes[1, 0].grid(alpha=0.3)
axes[1, 0].set_yscale('log')

# 半導体：Arrheniusプロット
axes[1, 1].scatter(1000 / T_semi, np.log(rho_semi), s=80, alpha=0.7, edgecolors='black', linewidths=1.5, label='Data', color='#ffa500')
axes[1, 1].plot(1000 / T_semi, np.log(semi_result.best_fit), linewidth=2.5, label='Fit (Arrhenius)', color='#ff6347')
axes[1, 1].set_xlabel('1000/T [K$^{-1}$]', fontsize=12)
axes[1, 1].set_ylabel('ln(ρ)', fontsize=12)
axes[1, 1].set_title('Arrhenius Plot (Semiconductor)', fontsize=13, fontweight='bold')
axes[1, 1].legend(fontsize=10)
axes[1, 1].grid(alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

1.5 接触抵抗の評価と補正

1.5.1 Transfer Length Method (TLM)

TLM（Transfer Length Method）は、接触抵抗を定量的に評価する手法です。異なる間隔の接点対を作成し、測定抵抗と接点間距離の関係から接触抵抗を求めます。

測定抵抗 $R_{\text{total}}$ は：

ここで、$R_c$ は接触抵抗、$R_s$ はシート抵抗、$L$ は接点間距離、$W$ は試料幅です。$R_{\text{total}}$ を $L$ に対してプロットすると、切片から $2R_c$ が、傾きから $R_s/W$ が得られます。

コード例1-5: TLM法による接触抵抗評価

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import linregress

# パラメータ
R_s = 50  # シート抵抗 [Ω/sq]
R_c = 10  # 接触抵抗 [Ω]
W = 0.01  # 試料幅 [m] = 1 cm

# 接点間距離
L_values = np.array([0.001, 0.002, 0.003, 0.005, 0.010])  # [m]

# 測定抵抗（ノイズあり）
R_total = 2 * R_c + R_s * L_values / W
R_total_noise = R_total * (1 + 0.03 * np.random.randn(len(L_values)))  # 3%ノイズ

# 線形フィッティング
slope, intercept, r_value, p_value, std_err = linregress(L_values * 1000, R_total_noise)

R_c_fit = intercept / 2
R_s_fit = slope * W * 1000  # 傾き × W

print("TLM法による接触抵抗評価:")
print(f"  真の接触抵抗 R_c = {R_c:.2f} Ω")
print(f"  フィットから求めた R_c = {R_c_fit:.2f} Ω")
print(f"  真のシート抵抗 R_s = {R_s:.2f} Ω/sq")
print(f"  フィットから求めた R_s = {R_s_fit:.2f} Ω/sq")
print(f"  決定係数 R² = {r_value**2:.4f}")

# プロット
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))

ax.scatter(L_values * 1000, R_total_noise, s=150, edgecolors='black', linewidths=2, label='Measured data', color='#f093fb', zorder=5)
L_fit = np.linspace(0, np.max(L_values) * 1000, 100)
R_fit = slope * L_fit + intercept
ax.plot(L_fit, R_fit, linewidth=2.5, label=f'Linear fit: R = {slope:.2f}L + {intercept:.2f}', color='#f5576c', linestyle='--')

# 切片を強調
ax.axhline(y=intercept, color='orange', linestyle=':', linewidth=2, label=f'Intercept = 2R$_c$ = {intercept:.2f} Ω')
ax.scatter([0], [intercept], s=200, c='orange', edgecolors='black', linewidth=2, marker='s', zorder=5)

ax.set_xlabel('Contact Spacing L [mm]', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Total Resistance R$_{total}$ [Ω]', fontsize=12)
ax.set_title('Transfer Length Method (TLM)', fontsize=14, fontweight='bold')
ax.legend(fontsize=11)
ax.grid(alpha=0.3)
ax.set_xlim(left=0)

plt.tight_layout()
plt.show()

1.6 演習問題

演習1-1: Drudeモデルの計算（Easy）

Easy 問題：金のキャリア密度 $n = 5.9 \times 10^{28}$ m$^{-3}$、散乱緩和時間 $\tau = 3 \times 10^{-14}$ s として、電気伝導率と抵抗率を計算せよ。

import numpy as np

# 定数
e = 1.60218e-19  # [C]
m = 9.10938e-31  # [kg]

# 金のパラメータ
n = 5.9e28  # [m^-3]
tau = 3e-14  # [s]

# 電気伝導率
sigma = n * e**2 * tau / m
rho = 1 / sigma

print(f"電気伝導率 σ = {sigma:.3e} S/m")
print(f"抵抗率 ρ = {rho:.3e} Ω·m = {rho * 1e8:.2f} μΩ·cm")
print(f"実験値（室温）: ρ ≈ 2.44 μΩ·cm")

演習1-2: 移動度の計算（Easy）

Easy 問題：散乱緩和時間 $\tau = 1 \times 10^{-14}$ s の電子の移動度 $\mu$ を計算せよ。

e = 1.60218e-19  # [C]
m = 9.10938e-31  # [kg]
tau = 1e-14  # [s]

mu = e * tau / m
print(f"移動度 μ = {mu:.3e} m²/(V·s) = {mu * 1e4:.1f} cm²/(V·s)")

演習1-3: van der Pauw法の計算（Medium）

Medium 問題：van der Pauw測定で $R_{\text{AB,CD}} = 85$ Ω、$R_{\text{BC,DA}} = 115$ Ω が得られた。シート抵抗 $R_s$ を計算し、厚さ $t = 50$ nm のときのバルク抵抗率 $\rho$ を求めよ。

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve

def van_der_pauw_eq(Rs, R1, R2):
    return np.exp(-np.pi * R1 / Rs) + np.exp(-np.pi * R2 / Rs) - 1

R1 = 85  # [Ω]
R2 = 115  # [Ω]

R_s = fsolve(van_der_pauw_eq, (R1 + R2) / 2 * np.pi / np.log(2), args=(R1, R2))[0]

print(f"シート抵抗 R_s = {R_s:.2f} Ω/sq")

t = 50e-9  # [m]
rho = R_s * t

print(f"厚さ t = {t * 1e9:.0f} nm")
print(f"バルク抵抗率 ρ = {rho:.3e} Ω·m = {rho * 1e8:.2f} μΩ·cm")

演習1-4: 温度依存性のフィッティング（Medium）

Medium 問題：金属試料の抵抗率が T = 100 K で 0.8 μΩ·cm、300 K で 2.0 μΩ·cm であった。モデル $\rho(T) = \rho_0 + AT$ でフィッティングし、$\rho_0$ と $A$ を求めよ。

import numpy as np

T1, rho1 = 100, 0.8e-8  # [K], [Ω·m]
T2, rho2 = 300, 2.0e-8  # [K], [Ω·m]

# 線形方程式を解く
A = (rho2 - rho1) / (T2 - T1)
rho0 = rho1 - A * T1

print(f"ρ₀ = {rho0:.3e} Ω·m = {rho0 * 1e8:.2f} μΩ·cm")
print(f"A = {A:.3e} Ω·m/K")

# 検証
rho_100 = rho0 + A * 100
rho_300 = rho0 + A * 300
print(f"\n検証:")
print(f"  ρ(100 K) = {rho_100 * 1e8:.2f} μΩ·cm（与えられた値: 0.80 μΩ·cm）")
print(f"  ρ(300 K) = {rho_300 * 1e8:.2f} μΩ·cm（与えられた値: 2.00 μΩ·cm）")

演習1-5: TLM法の解析（Medium）

Medium 問題：TLM測定で、接点間距離 $L$ = 1, 2, 3, 4, 5 mm に対して、総抵抗 $R_{\text{total}}$ = 25, 30, 35, 40, 45 Ω が得られた。試料幅 $W = 1$ cm として、接触抵抗 $R_c$ とシート抵抗 $R_s$ を求めよ。

import numpy as np
from scipy.stats import linregress

L = np.array([1, 2, 3, 4, 5])  # [mm]
R_total = np.array([25, 30, 35, 40, 45])  # [Ω]
W = 0.01  # [m]

slope, intercept, r_value, _, _ = linregress(L, R_total)

R_c = intercept / 2
R_s = slope * W * 1000  # W を mm に変換

print(f"接触抵抗 R_c = {R_c:.2f} Ω")
print(f"シート抵抗 R_s = {R_s:.2f} Ω/sq")
print(f"決定係数 R² = {r_value**2:.4f}")

演習1-6: 半導体の活性化エネルギー（Hard）

Hard 問題：半導体試料の抵抗率が T = 300 K で 1.0 Ω·m、400 K で 0.1 Ω·m であった。モデル $\rho(T) = \rho_0 \exp(E_a / k_B T)$ でフィッティングし、活性化エネルギー $E_a$ を eV 単位で求めよ（$k_B = 8.617 \times 10^{-5}$ eV/K）。

import numpy as np

T1, rho1 = 300, 1.0  # [K], [Ω·m]
T2, rho2 = 400, 0.1  # [K], [Ω·m]
kB = 8.617e-5  # [eV/K]

# ln(ρ) = ln(ρ₀) + Ea/(kB T)
# ln(rho1) = ln(rho0) + Ea/(kB T1)
# ln(rho2) = ln(rho0) + Ea/(kB T2)
# ln(rho1) - ln(rho2) = Ea/(kB) * (1/T1 - 1/T2)

Ea = kB * (np.log(rho1) - np.log(rho2)) / (1/T1 - 1/T2)

print(f"活性化エネルギー Ea = {Ea:.3f} eV")

# ρ₀ を求める
rho0 = rho1 * np.exp(-Ea / (kB * T1))
print(f"ρ₀ = {rho0:.3e} Ω·m")

# 検証
rho_300 = rho0 * np.exp(Ea / (kB * 300))
rho_400 = rho0 * np.exp(Ea / (kB * 400))
print(f"\n検証:")
print(f"  ρ(300 K) = {rho_300:.2f} Ω·m（与えられた値: 1.00 Ω·m）")
print(f"  ρ(400 K) = {rho_400:.2f} Ω·m（与えられた値: 0.10 Ω·m）")

演習1-7: 四端子測定の誤差評価（Hard）

Hard 問題：試料抵抗 $R_{\text{sample}} = 0.5$ Ω、接触抵抗 $R_c = 10$ Ω、電流 $I = 0.1$ A のとき、二端子測定と四端子測定での相対誤差を計算せよ。また、接触抵抗が何Ω以下であれば、二端子測定でも相対誤差が5%以内に収まるか求めよ。

R_sample = 0.5  # [Ω]
R_c = 10  # [Ω]

# 二端子測定
R_2terminal = 2 * R_c + R_sample
error_relative = (R_2terminal - R_sample) / R_sample * 100

print(f"試料抵抗 R_sample = {R_sample} Ω")
print(f"接触抵抗 R_c = {R_c} Ω")
print(f"二端子測定値: {R_2terminal} Ω")
print(f"相対誤差: {error_relative:.1f}%")

# 相対誤差5%以内の条件
# (2*R_c + R_sample - R_sample) / R_sample <= 0.05
# 2*R_c / R_sample <= 0.05
# R_c <= 0.05 * R_sample / 2

R_c_max = 0.05 * R_sample / 2
print(f"\n相対誤差5%以内の条件: R_c <= {R_c_max:.4f} Ω = {R_c_max * 1000:.2f} mΩ")

演習1-8: 実験計画（Hard）

Hard 問題：未知の薄膜材料（厚さ200 nm）の電気伝導特性を評価する実験計画を立案せよ。測定法（二端子/四端子、van der Pauw）、温度範囲、データ解析手法を説明せよ。

1.7 学習の確認

以下のチェックリストで理解度を確認しましょう：

基本理解

• Drudeモデルの仮定と電気伝導率の式 $\sigma = ne^2\tau/m$ を説明できる
• 散乱緩和時間 $\tau$ の物理的意味を理解している
• 二端子測定と四端子測定の原理と違いを説明できる
• van der Pauw定理の式を理解し、シート抵抗を計算できる
• Matthiessenの法則を理解している

実践スキル

• Drudeモデルを使って電気伝導率を計算できる
• van der Pauw法のPythonコードを実装できる
• 温度依存性データをフィッティングできる（lmfit使用）
• TLM法で接触抵抗を評価できる
• 測定データの不確かさを評価できる

応用力

• 金属と半導体の温度依存性の違いを説明できる
• 実験データから散乱機構を推定できる
• 適切な測定法（二端子/四端子、van der Pauw）を選択できる
• 測定誤差の主要因を特定し、対策を提案できる

1.8 参考文献

1. van der Pauw, L. J. (1958). A method of measuring specific resistivity and Hall effect of discs of arbitrary shape. Philips Research Reports, 13(1), 1-9. - van der Pauw法の原論文
2. Drude, P. (1900). Zur Elektronentheorie der Metalle. Annalen der Physik, 306(3), 566-613. - Drudeモデルの原論文
3. Schroder, D. K. (2006). Semiconductor Material and Device Characterization (3rd ed.). Wiley-Interscience. - 半導体測定技術の標準テキスト
4. Streetman, B. G., & Banerjee, S. K. (2015). Solid State Electronic Devices (7th ed.). Pearson. - 電気伝導理論の教科書
5. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston. - Drudeモデルと金属物性の詳細
6. Cohen, M. H., et al. (1960). Contact Resistance and Methods for Its Determination. Solid-State Electronics, 1(2), 159-169. - 接触抵抗測定技術
7. Reeves, G. K., & Harrison, H. B. (1982). Obtaining the specific contact resistance from transmission line model measurements. IEEE Electron Device Letters, 3(5), 111-113. - TLM法の実践的解説

1.9 次章へ

次章では、Hall効果測定の原理と実践を学びます。Hall効果は、磁場中での電荷の偏向を利用してキャリア密度とキャリア種別（電子/正孔）を決定する強力な手法です。van der Pauw法と組み合わせることで、材料の電気的特性を完全に特徴付けることができます。