ビデオ講義

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第1章：伝導、対流、そして総括係数

本章は、プラントのほぼすべての熱負荷を担う 2 つの機構 — 固体中の伝導と表面での対流 — から伝熱シリーズを始め、それらがどのように 1 つの数値、すなわちあらゆる熱交換器のサイジングに使われる総括伝熱係数 $U$ へと組み合わさるのかを示します。

フーリエの法則、境膜伝熱係数、そして直列の熱抵抗

学習目標

本章を修了すると、以下ができるようになります:

• ✅ 伝熱（heat transfer）を 流束 = 係数 × 駆動力 という移動現象の枠組みの中に位置づけられる
• ✅ フーリエの法則（Fourier's law）を適用し、金属から気体までの範囲にわたる熱伝導率（thermal conductivity）を挙げられる
• ✅ 境膜伝熱係数（film coefficient）$h$ が物性値ではなく流れの帰結である理由を説明できる
• ✅ 境膜と壁の熱抵抗（thermal resistance）を直列に合成して総括伝熱係数（overall heat-transfer coefficient）$U$ を計算できる
• ✅ 支配的な熱抵抗を見きわめ、どの改善が効いてどの改善が効かないかを予測できる
• ✅ 汚れ（ファウリング、fouling）を増大する熱抵抗として説明し、運転中に $U$ が低下することが何を意味するかを述べられる

読了時間: 20-25分 コード例: 1 演習: 3

1.1 3 番目の移動

入門シリーズ第1章では、移動現象（transport phenomena）を 3 行 — 運動量、熱、物質 — からなる 1 つの表として提示しました。各行はいずれも同じ文、流束 = 係数 × 駆動力 の一例です。流体力学シリーズは運動量の行を展開し、そこでは駆動力が速度勾配、係数が粘度でした。本シリーズは熱の行を展開します。駆動力は温度差であり、その係数が本章の主題です。

これを気にすべき商業上の理由は、すでに提示されています。熱力学第1章では、蒸留塔のリボイラーとコンデンサーがフローシート上で通常最大のユーティリティ消費者であることを示しました。還流のたびに再び沸騰させ、再び凝縮させなければならないからです。熱力学はそれがどれだけのエネルギーを要するかを教えてくれます — $Q = \Delta H$ — が、そこで止まります。熱交換器がどれだけ大きくなければならないかも、汚れた管束が 8 月にも所定の熱負荷を出せるかどうかも、決して語りません。それらは伝熱の問題であり、そのほとんどすべてが 1 つの式を通ります:

$$ Q = U A \Delta T $$

熱負荷（duty）$Q$ はワット、伝熱面積 $A$ は m²、代表的な温度差 $\Delta T$ はケルビン、そして $U$ — 総括伝熱係数、単位は W/(m²·K) — が材料、流体、流れに関するすべてを担います。本シリーズはユーティリティの請求書を設計方程式へと変えていきます: 本章が $U$ を組み立て、第2章が実際の熱交換器に対して $\Delta T$ を精密化し、第 3 章から第 5 章が沸騰、放射、設計へと話を広げます。

1.2 伝導：フーリエの法則

伝導（conduction）とは、物質そのものが動かずに熱が物質の中を移動することです — エネルギーが隣り合う分子の間で受け渡され、金属では自由電子によって運ばれます。その法則はニュートンの粘性法則の直接の類似物です:

$$ q = -k \frac{dT}{dx} $$

ここで $q$ は 熱流束（heat flux）、単位は W/m²（単位面積あたりの仕事率）、$dT/dx$ は温度勾配で単位は K/m、$k$ は 熱伝導率 で単位は W/(m·K) です。マイナス符号は物理ではなく帳簿付けです: 熱は勾配を下って高温から低温へ流れる、ということを述べており、したがって負の勾配が正の流束を与えます。

工業的に重要な場合 — 厚さ $L$、面積 $A$ の平板、定常状態、高温面が $T_1$ で低温面が $T_2$ — では勾配が一様になり、法則は次の形に積分されます

$$ Q = \frac{k A (T_1 - T_2)}{L} = \frac{k A \Delta T}{L} $$

薄い壁と伝導性の高い材料はよく熱を通し、厚くて断熱性の高いものは通しません。どちらの形も定常状態を前提としています — 温度が時間的に一定で、一方の面から入ったものはそのまま他方の面から出て行く — これは定格運転中のプラントの通常の条件であり、本章のあらゆる計算の背後にある仮定です。この結果を有用にしているのは、$k$ の途方もない広がりです:

これらは目安としての代表的なオーダーであって設計データではありません。実際の値は合金、温度、含水率によって変わります。比として読んでください。銅と静止空気の比はおよそ 15,000 倍 — 4 桁 — であり、その幅こそが設計空間のすべてです。金属は熱を通し、気体は熱を遮るのであって、プラントにおけるあらゆる熱的な判断はその線上のどこかで下されます。ステンレス鋼が炭素鋼よりおよそ 3 倍熱を通しにくいことにも注意してください: 耐食性のためにそれを指定することは熱的な譲歩であり、その定量化は演習 2 で行います。

断熱材の項目は、空気の項目を見れば自ずと説明がつきます。ロックウール、フォーム、グラスウールが優れた断熱材であるのは、それらが何でできているかによるのではなく — ガラス繊維は 0.04 よりはるかによく熱を通します — 何を含んでいるかによります。内部の循環を抑えられるほど小さなポケットに空気を閉じ込めるので、複合体としては、その場に保持された静止空気とほぼ同じように振る舞うのです。断熱材は気体を動けなくすることで機能します。 圧縮したり、濡らしたり、沈み込ませたりすれば、機能しなくなります。

1.3 対流と境膜伝熱係数

対流（convection）は表面と運動する流体との間で運ばれる熱であり、実際の熱交換器における熱抵抗の大半が宿るのはここです。それを定義する式、ニュートンの冷却の法則は、意図的に単純です:

$$ Q = h A \Delta T $$

ここで $\Delta T$ は表面と流体バルクとの差、$h$ は 境膜伝熱係数（対流伝熱係数、表面伝熱係数とも呼ばれます）で単位は W/(m²·K) です。

その単純さは難しさを覆い隠しています。熱伝導率は物性値です — 銅を調べればそれで済みます。境膜伝熱係数は物性値ではありません。同じ水が同じ鋼に接していても、流速、管径、温度、あるいは流れが層流か乱流かを変えれば $h$ は変わります。それは流れ場の帰結であり、だからこそ本シリーズは前のシリーズに依存しているのです。

これを直観的にしてくれる描像が、この係数の名の由来である境膜（film）です。バルクの流体がどれほど速く動いていても、すべりなし条件が壁面ではそれを静止させるので、薄くゆっくりとした層が表面に張り付きます。熱はその層を流体中の伝導によって横切らねばならず、流体は熱を通しにくい — 水で 0.6、気体で 0.026 前後です。しばしば 1 ミリメートルの何分の 1 という厚さのその停滞した膜こそが本当の熱抵抗であり、その先のよく混合されたバルクは、比べればほぼ等温です。膜を薄くするものは何であれ $h$ を高めます。

ここでレイノルズ数が再登場します。乱流は渦を壁の近くまで運び込み、膜を薄くしてそこを横切る温度勾配を急峻にします。そのため流れが乱流になると $h$ は急激に上がります — この依存性を定量化するのが Dittus–Boelter の式などの相関式で、そこでは $h$ がおよそレイノルズ数の 0.8 乗で増大するので、管内流速を 2 倍にすると境膜伝熱係数はおよそ 74% 増えます。それは同時に圧力損失も要求し、そちらはおよそ流速の 2 乗で増大します。そのトレードオフ — 伝熱と送液動力 — こそが第5章の明示的な主題です。

ここでも 4 桁の幅があり、覚えるべきはその順序です: 気体はひどく、送液された液体は良く、相変化は別格です。潜熱がほぼ一定の温度で大きなエネルギーを動かすからです（第3章）。壁の一方の側にある気体は、反対側で何が起ころうともそれを支配します — 以下の算術はそれについて曖昧さがありません。

1.4 直列の熱抵抗と総括伝熱係数

熱交換器の壁を横切る熱は、順に 3 つの行程を経ます: 高温流体の境膜を通り、金属を通り、低温流体の境膜を通ります。逐次的なステップとは直列の熱抵抗を意味し、これは電気回路とまったく同じで、温度差が電圧の役割を、熱流が電流の役割を果たします。

この類推は真剣に受け取る価値があります。というのも、それが 1 つの習慣を持ち込むからです: 直列回路ではすべての素子を同じ電流が通るので、最も大きな抵抗が最も大きな電圧降下を取ります。ここでは同じ熱がすべての層を横切るので、最も大きな熱抵抗が温度差の最も大きな分け前を取ります。それらの熱抵抗を足し合わせると総括伝熱係数が得られます。これは、$Q = U A \Delta T$ が全体の温度差から全体の熱負荷を再現するように定義されています:

$$ \frac{1}{U} = \frac{1}{h_i} + \frac{L}{k} + \frac{1}{h_o} $$

ここで $h_i$ は内表面側の境膜伝熱係数、$h_o$ は外側のそれです。各項の単位は m²·K/W であり、$1/U$ はそれらの和です。これが平板形です。管では内側と外側の面積が異なるので、厳密な扱いでは曲率の補正を伴い、$U$ がどちらの面積を基準としているかを明示します。ここではそれらの精密化は脇に置きます。それらが数値を数パーセント変えるのに対し、以下で示す教訓は 10 倍のオーダーの効果だからです。

例題。 管内側の冷却水が $h_i = 1{,}000$ W/(m²·K)、5 mm の炭素鋼壁が $k = 45$ W/(m·K)、外側のプロセス液が $h_o = 2{,}000$ W/(m²·K) の場合:

$$ \frac{1}{U} = 0.001000 + \frac{0.005}{45} + 0.000500 = 0.001000 + 0.000111 + 0.000500 = 0.001611 $$

$$ U = 621\ \text{W/(m}^2\text{·K)} $$

壁の寄与は 0.001611 のうち 0.000111 — 全体の 6.9% です。図面上では主役である金属が、熱的にはほとんど無関係であり、2 枚の薄い境膜が両者で熱抵抗の 93% を占めています。

（以下のコードが水側を h\_hot と名付けているのは、式の中での位置によるものにすぎません — 物理はどちらの側が高温かを気にせず、両方の境膜が数えられていることだけを気にします。）

def overall\_U(h\_hot, thickness, k, h\_cold):
    """Overall coefficient U [W/(m^2*K)] for a plane wall, with each resistance."""
    resistances = {
        "hot film  1/h\_hot": 1.0 / h\_hot,
        "wall        L/k  ": thickness / k,
        "cold film 1/h\_cold": 1.0 / h\_cold,
    }
    total = sum(resistances.values())
    return 1.0 / total, total, resistances


CASES = {
    "water / steel / water": dict(h\_hot=1000.0, thickness=0.005, k=45.0, h\_cold=2000.0),
    "water / steel / air": dict(h\_hot=1000.0, thickness=0.005, k=45.0, h\_cold=50.0),
}

for name, case in CASES.items():
    U, total, res = overall\_U(**case)
    print(f"{name}:  U = {U:.1f} W/(m^2*K),  total R = {total:.6f} m^2*K/W")
    for label, value in res.items():
        print(f"    {label} = {value:.6f}  ({100 * value / total:4.1f}% of total)")
    print()

# water / steel / water:  U = 620.7 W/(m^2*K),  total R = 0.001611 m^2*K/W
#     hot film  1/h\_hot = 0.001000  (62.1% of total)
#     wall        L/k   = 0.000111  ( 6.9% of total)
#     cold film 1/h\_cold = 0.000500  (31.0% of total)
#
# water / steel / air:  U = 47.4 W/(m^2*K),  total R = 0.021111 m^2*K/W
#     hot film  1/h\_hot = 0.001000  ( 4.7% of total)
#     wall        L/k   = 0.000111  ( 0.5% of total)
#     cold film 1/h\_cold = 0.020000  (94.7% of total)

覚えておくべきは 2 番目のケースです。外側の液体を $h = 50$ の空気に置き換えると、$U$ は 621 から 47.4 W/(m²·K) へ崩れ落ちます — 空気の境膜だけで熱抵抗の 94.7% です。ここで水側にお金をかけ、流速を上げて良い管を使い 1,000 から 5,000 W/(m²·K) へ引き上げたとしましょう: $U$ は 49.2 に上がり、増分は 4% 未満です。送液動力を買っただけで、何も得ていません。

最大の熱抵抗が支配します。 支配的な熱抵抗に手を付けないかぎり、それ以外の何を改善しても徒労です。1 番目のケースで逆向きに試してみましょう: 小さいほうの熱抵抗の係数を 2 倍にして 2,000 から 4,000 にすると $U$ は 621 から 735 へ（+18%）上がりますが、支配的なほうを 1,000 から 2,000 へ 2 倍にすると 900 へ（+45%）上がります。このたった 1 つの規則が、現実の装置の多くを説明します。空冷式熱交換器は空気側にフィンを付け、管側には何も付けません。係数が最も悪いところに追加された面積だけが役に立つからです。壁を隔てて気体が液体と出会うときはつねに、主導権を握るのは気体です。

1.5 汚れ（ファウリング）：増大していく熱抵抗

ここまではすべて、きれいな金属を前提としてきました。実際の表面には堆積物がたまります — 硬い冷却水由来のスケール、生物膜、腐食生成物、コーク、ポリマー、析出した塩。それぞれの堆積物は、熱がまさに横切らねばならない場所に居座る低伝導率材料の薄い層であり、和の中にもう 1 つの $L/k$ 項として入ってきます:

$$ \frac{1}{U} = \frac{1}{h_i} + R_{f,i} + \frac{L}{k} + R_{f,o} + \frac{1}{h_o} $$

追加された項が汚れ係数（fouling factor）（または汚れ熱抵抗）で、$R_f$ は単位 m²·K/W です: これは、清掃と清掃の間に熱交換器がためると見込まれる汚れに対する設計上の余裕です。公表されている代表的な余裕は、処理済み冷却水や蒸気の凝縮といったきれいなサービスでおよそ 0.0001 から 0.0004 m²·K/W、汚れやすい用途では 0.001 以上へと上がります。これらは測定値ではなく、オーダーの目安としての設計余裕と受け取ってください。

小さな数値、大きな帰結です。例題の両側にささやかな 0.0002 を加えると $1/U$ は 0.001611 から 0.002011 になります: $U$ は 621 から 497 W/(m²·K) へ下がり、熱交換器の能力の 20% が、運転を始める前に失われるのです。だからこそ熱交換器は設計段階で意図的に大きめに作られます — そして、余裕を取りすぎることがそれ自体で危険なのも、そのためです。ひどく大きすぎる装置は低流速で運転され、低流速はより速く汚れるからです。

汚れはまた、時間とともに変化する唯一の熱抵抗であり、そのことが観測を可能にしています。流量と温度は連続的に測定されているので、$Q = U A \Delta T$ から $U$ を逆算してトレンドを取ることができます。$U$ が着実に下がっていれば、それは清掃スケジュールがひとりでに書かれているということです。急激な低下はたいてい別の不具合です — バイパス、閉塞したパス、漏れている管。これはまさに入門シリーズ第5章のソフトセンサーの論理です: 測りにくい状態 — ここでは誰も見ることのできない表面の状態 — を、すでに手元にある安価な測定から推定するのです。第5章では、汚れを設計とプロセス強化の問題として再び取り上げます。

1.6 本章のまとめ

1. 伝熱は移動現象の表の 2 行目 — 流束 = 係数 × 駆動力 — であり、熱力学的な熱負荷 $Q = \Delta H$ を $Q = U A \Delta T$ を通じてハードウェアへと変換する
2. フーリエの法則 $q = -k\,dT/dx$ は平板に対して $Q = kA\Delta T/L$ を与える。代表的な熱伝導率は銅 ≈ 400 から静止空気 ≈ 0.026 W/(m·K) までおよそ 15,000 倍の幅にわたり、断熱材が機能するのは何か特別な材料物性によるのではなく空気を閉じ込めることによる
3. $Q = hA\Delta T$ における境膜伝熱係数 $h$ は物性値ではなく流れの結果である: 乱流は壁面の停滞した膜を薄くして $h$ を上げるので、$h$ はレイノルズ数に追随する。代表的な範囲は気体の自然対流で 5–25、沸騰と凝縮では 2,500–100,000 に及ぶ
4. 熱抵抗は直列に加算される: $1/U = 1/h_i + L/k + 1/h_o$（平板形、内側と外側の境膜。管の曲率補正はここでは無視している）
5. 例題: $0.001000 + 0.000111 + 0.000500 = 0.001611$ から $U = 621$ W/(m²·K) が得られ、鋼壁は熱抵抗の 6.9% にすぎない
6. 最大の熱抵抗が支配する。 外側が空気（$h = 50$）だと $U$ は 47.4 W/(m²·K) へ下がり、空気の境膜が全体の 94.7% を占める — 水側を 1,000 から 5,000 へ改善しても得られるのは 4% 未満である
7. 汚れ係数（代表的な設計余裕 ≈ 0.0001–0.001 m²·K/W）は運転中に増大する熱抵抗を加える。片側あたり 0.0002 で例題は 621 から 497 W/(m²·K) へ下がり、トレンドを取った $U$ は表面状態のソフトセンサーになる

次章: $U$ は $Q = U A \Delta T$ の一因子にすぎず、実際の熱交換器では両方の流体が加熱・冷却されるにつれて温度差が端から端へと変化します。第2章は $U$ を実際に働かせます — 熱交換器と対数平均温度差（LMTD） — 並流と向流の配置が、達成できる熱負荷に何をもたらすかも含めて扱います。

演習問題

1. 概念 — 熱抵抗はどこに宿るか: ある多管式（シェルアンドチューブ）熱交換器が、シェル側で蒸気を凝縮させ（$h \approx 8{,}000$ W/(m²·K)）、3 mm の炭素鋼壁を隔てて管内の粘い油を加熱している（$h \approx 200$ W/(m²·K)）。(a) $U$ を厳密に計算せずに 3 つの熱抵抗を順位付けせよ。(b) 性能を改善するために管を銅に交換するという提案がなされた。これを評価せよ。(c) 実際に効く変更は何で、それはなぜか。 ヒント: 各熱抵抗を $1/h$ または $L/k$ として書き出し、計算を始める前に大きさを比較せよ。 解答: (a) 油の境膜 $1/200 = 0.005$、蒸気の境膜 $1/8{,}000 = 0.000125$、壁 $0.003/45 = 0.0000667$。油の境膜が支配的で、およそ 0.00519 m²·K/W という合計の約 96% を占めます。(b) ほとんど無価値です。銅にすれば壁の項は 0.0000667 から約 0.0000075 に減りますが、それは全熱抵抗の約 1% を取り除くにすぎず、$U$ は約 193 から約 195 W/(m²·K) へ上がるだけです — 多額の材料費と引き換えに。(c) 油の境膜を攻めることです: 管側流速を上げる（パス数を増やすか細い管にする）、乱流促進体やツイストテープ挿入物を入れる、あるいは油を予熱して粘度を下げる — 粘度の低い流体のほうが乱流になりやすいからです。いずれも $h$ を 2 倍以上動かしうるものであり、$U$ を目に見えて変えるのはその側だけです。

2. 定量 — ステンレスの代償: ある熱交換器は片側が $h_1 = 500$ W/(m²·K)、壁が 3 mm のステンレス鋼（$k = 15$ W/(m·K)）、もう一方が $h_2 = 5{,}000$ W/(m²·K) である。(a) 各熱抵抗と総括伝熱係数 $U$ を計算せよ。(b) どの熱抵抗が支配的で、その割合はいくらか。(c) ある技術者が、その流体の流速を上げて $h_2$ を 2 倍の 10,000 にすることを提案している。新しい $U$ を計算し、論評せよ。(d) 代わりに $h_1$ を 2 倍の 1,000 にしたら何が得られるか。 ヒント: $1/U$ を項ごとに組み立てよ。壁の項は $L/k = 0.003/15$ である。 解答: (a) $1/h_1 = 0.002000$、$L/k = 0.003/15 = 0.000200$、$1/h_2 = 0.000200$。合計して $1/U = 0.002400$ m²·K/W、したがって $U = $ 417 W/(m²·K)。(b) $h_1 = 500$ の側で、$0.002/0.0024 = $ 83.3% が全体に占める割合です。壁と速い側はそれぞれ 8.3% を占めます。(c) $1/U = 0.002 + 0.0002 + 0.0001 = 0.0023$ となり、$U = $ 435 W/(m²·K) — 得られるのはわずか 4.3% で、その流体の圧力損失はおよそ 4 倍になります。やる価値はありません。(d) $1/U = 0.001 + 0.0002 + 0.0002 = 0.0014$ なので $U = $ 714 W/(m²·K)、同じ相対的変化を支配的な熱抵抗に適用しただけで 71% の改善です。なお、ステンレスの代わりに炭素鋼を使えば壁の項は 0.000200 から 0.0000667 に減り、$U$ にしておよそ 6% の価値がありますが — 実在するとはいえ副次的であり、耐食のためにステンレスが使われている以上、そもそも選べないことも多いのです。

3. 議論 — 性能不足のガス冷却器: ある高温プロセスガスが、素管の熱交換器で水によって冷却されている。実測性能は $U \approx 40$ W/(m²·K) で、設計時に仮定した 60 を大きく下回っており、プラントは (i) 水側の研磨とスケール除去、(ii) 水の流量を 50% 増やす、(iii) 管束をフィンチューブ設計に交換する、(iv) 不足を受け入れて 2 台目を直列に追加する、を検討している。それぞれを論じ、この議論に決着をつける測定が何かを説明せよ。 ヒント: どの選択肢を判断するよりも先に、1.3 節の代表的な $h$ の範囲から、どちら側が熱抵抗を握っているかを見積もれ。 解答: 気体は強制対流でもおよそ 25–250 W/(m²·K) の $h$ しか与えないのに対し、水は 1,000 以上を与えるので、ガスの境膜がほぼすべての熱抵抗を握っています — $1/U$ の合計 0.025 m²·K/W に対し、水側の寄与は 0.001 付近、約 4% です。したがって選択肢 (i) と (ii) は、すでに無視できる熱抵抗に対処するものです: 水側を完全に消し去ったとしても $U$ を約 42 より上げることはできず、(ii) は何も得ないまま送液動力を費やします。選択肢 (iii) が正しい工学的な答えです。フィンは、係数が最も悪いところにまさに面積を追加するからです。ガス側の表面は数倍にでき、実際に熱負荷を決める積である $UA$ がそれに応じて上がります。選択肢 (iv) は (iii) の力ずくの版です: 面積を安く買うのではなく定価で買うことになりますが、敷地に余裕があり停止時間が取れないのであれば正当な選択です。議論に決着をつける測定は壁温です: 管の表面温度が水の温度に近ければ、$\Delta T$ のほぼ全体がガスの境膜を横切って費やされていることになり、ガス側が支配的であることが確認されます。次いで $U$ の経時トレンドが、設計の不足と進行する汚れとを切り分けます — 60 から始まって減衰した $U$ は清掃の問題であり、一度も 42 を超えなかった $U$ は、いかなる清掃でも直らない設計の問題です。