第2章：磁気的性質と渦糸物理

学習目標

• 磁束量子化の概念と導出を理解する（Φ₀ = h/2e）
• 単一渦糸の構造とコアの物理を説明する
• 下部臨界磁場Hc1と上部臨界磁場Hc2の理論的導出を習得する
• Abrikosov渦糸格子の形成と三角格子解を理解する
• 混合状態の熱力学と渦糸間相互作用を定量的に扱う
• 渦糸ピン止めと臨界電流の関係を理解する
• Pythonで渦糸物理の計算と可視化ができるようになる

2.1 磁束量子化

ロンドン理論からの導入

超伝導体のリング内部では、単一値波動関数の条件により、磁束は量子化されます。この現象を理論的に導出しましょう。

位相の量子化条件

超伝導秩序パラメータを \(\psi = |\psi| e^{i\theta}\) とすると、リング周りの閉経路 \(C\) に沿った位相変化は次の条件を満たす必要があります：

超伝導電流密度 \(\mathbf{j}_s\) は、ゲージ不変な形で次のように表されます：

ここで、\(n_s\) は超伝導電子密度、\(e^* = 2e\)（クーパー対の電荷）、\(m^* = 2m_e\)（クーパー対の質量）です。

磁束量子の導出

リング内部で電流がゼロ（\(\mathbf{j}_s = 0\)）の条件では：

両辺を閉経路 \(C\) に沿って積分すると：

Stokesの定理により、右辺は磁束 \(\Phi\) に等しくなります：

これより、磁束量子が得られます：

実験的検証

磁束量子化は、1961年にDeaverとFairbankによって実験的に確認されました。超伝導リングに閉じ込められた磁束が、正確に \(\Phi_0\) の整数倍であることが測定されました。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Physical constants
h = 6.626e-34  # Planck constant (J·s)
e = 1.602e-19  # Elementary charge (C)

# Flux quantum
Phi_0 = h / (2 * e)  # Weber (Wb)

print(f"磁束量子 Φ₀ = {Phi_0:.4e} Wb")
print(f"           = {Phi_0*1e15:.3f} fWb (フェムトウェーバー)")

# Visualization: Flux quantization in a superconducting ring
n_values = np.arange(0, 11)  # Integer quantum numbers
flux_values = n_values * Phi_0

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# Left plot: Flux quantization ladder
ax1.scatter(n_values, flux_values*1e15, s=100, c='blue', zorder=3)
ax1.plot(n_values, flux_values*1e15, 'b--', alpha=0.5)
for n, flux in zip(n_values, flux_values*1e15):
    ax1.text(n+0.2, flux, f'n={n}', fontsize=9)

ax1.set_xlabel('量子数 n', fontsize=12)
ax1.set_ylabel('磁束 Φ (fWb)', fontsize=12)
ax1.set_title('超伝導リングにおける磁束量子化', fontsize=14)
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax1.axhline(y=0, color='k', linewidth=0.5)

# Right plot: Forbidden flux values (shaded regions)
n_range = np.linspace(0, 10, 1000)
flux_range = n_range * Phi_0 * 1e15

ax2.fill_between([0, 10], [0, 0], [20, 20], alpha=0.1, color='red',
                  label='許されない磁束値')
for n in range(11):
    flux = n * Phi_0 * 1e15
    ax2.axhline(y=flux, color='blue', linewidth=2, alpha=0.7)
    ax2.plot([0, 10], [flux, flux], 'b-', linewidth=2)

ax2.scatter(n_values, flux_values*1e15, s=100, c='blue', zorder=3,
            label='許される磁束値 (nΦ₀)')
ax2.set_xlabel('リング径の任意パラメータ', fontsize=12)
ax2.set_ylabel('磁束 Φ (fWb)', fontsize=12)
ax2.set_title('量子化された磁束レベル', fontsize=14)
ax2.legend(fontsize=11)
ax2.set_ylim(-1, 21)
ax2.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

2.2 単一渦糸の構造

Abrikosov渦糸（Vortex）

第II種超伝導体では、磁場が下部臨界磁場 \(H_{c1}\) を超えると、磁束が量子化された渦糸（vortex）として侵入します。各渦糸は正確に1つの磁束量子 \(\Phi_0\) を運びます。

渦糸の構造

単一渦糸は以下の構造を持ちます：

• 渦糸コア（Vortex Core）：半径 \(\xi\)（コヒーレンス長）の領域で、秩序パラメータ \(|\psi| \to 0\)
• 超電流領域：コアの周りを渦電流が循環
• 磁場分布：中心で最大、距離 \(\sim \lambda\)（侵入長）で減衰

Ginzburg-Landau方程式からの解

軸対称の渦糸では、GL方程式の解は次の形をとります：

磁場分布は修正ベッセル関数で記述されます：

ここで \(K_0\) は第2種修正ベッセル関数（0次）です。

GL パラメータ κ の役割

超伝導体の振る舞いは、Ginzburg-Landauパラメータ \(\kappa = \lambda/\xi\) によって決まります：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import k0  # Modified Bessel function of 2nd kind, order 0

# Parameters for a Type-II superconductor (e.g., NbTi)
xi = 5e-9       # Coherence length (m)
lambda_L = 100e-9  # Penetration depth (m)
kappa = lambda_L / xi

print(f"GL パラメータ κ = {kappa:.2f}")
print(f"タイプ: {'第II種' if kappa > 1/np.sqrt(2) else '第I種'}")

# Radial distance from vortex core
r = np.logspace(-9, -7, 500)  # From 1 nm to 100 nm

# Order parameter (normalized)
f_r = np.where(r < xi, r/xi, 1 - np.exp(-(r-xi)/xi))

# Magnetic field distribution (normalized)
Phi_0 = 2.067e-15  # Wb
B_r = (Phi_0 / (2 * np.pi * lambda_L**2)) * k0(r / lambda_L)

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(16, 5))

# Plot 1: Order parameter
axes[0].plot(r*1e9, f_r, 'b-', linewidth=2)
axes[0].axvline(x=xi*1e9, color='r', linestyle='--', label=f'ξ = {xi*1e9:.1f} nm')
axes[0].set_xlabel('距離 r (nm)', fontsize=12)
axes[0].set_ylabel('秩序パラメータ |ψ|/|ψ∞|', fontsize=12)
axes[0].set_title('渦糸コア構造', fontsize=14)
axes[0].legend(fontsize=11)
axes[0].grid(True, alpha=0.3)
axes[0].set_ylim([0, 1.1])

# Plot 2: Magnetic field
axes[1].plot(r*1e9, B_r*1e3, 'g-', linewidth=2)
axes[1].axvline(x=lambda_L*1e9, color='r', linestyle='--', label=f'λ = {lambda_L*1e9:.1f} nm')
axes[1].set_xlabel('距離 r (nm)', fontsize=12)
axes[1].set_ylabel('磁束密度 B (mT)', fontsize=12)
axes[1].set_title('渦糸周りの磁場分布', fontsize=14)
axes[1].legend(fontsize=11)
axes[1].grid(True, alpha=0.3)
axes[1].set_xscale('log')
axes[1].set_yscale('log')

# Plot 3: Supercurrent density (proportional to dB/dr)
j_s = -np.gradient(B_r, r)  # Simplified
axes[2].plot(r*1e9, j_s/np.max(np.abs(j_s)), 'purple', linewidth=2)
axes[2].axvline(x=xi*1e9, color='r', linestyle='--', alpha=0.5)
axes[2].axvline(x=lambda_L*1e9, color='orange', linestyle='--', alpha=0.5)
axes[2].set_xlabel('距離 r (nm)', fontsize=12)
axes[2].set_ylabel('超電流密度 js (規格化)', fontsize=12)
axes[2].set_title('渦糸周りの超電流', fontsize=14)
axes[2].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

2.3 下部臨界磁場 Hc1

単一渦糸の侵入条件

下部臨界磁場 \(H_{c1}\) は、最初の渦糸が超伝導体に侵入するために必要な磁場です。この値は、渦糸生成のエネルギーコストと磁気エネルギー利得のバランスから決まります。

エネルギー解析

単位長さあたりの渦糸のエネルギー（自己エネルギー）は次のように評価されます：

外部磁場による磁気圧は：

渦糸侵入の条件は、磁気圧が渦糸の自己エネルギーを上回ることです：

典型的な値

2.4 上部臨界磁場 Hc2

渦糸コアの重なり

磁場が増加すると、渦糸の密度が高くなり、隣接する渦糸コアが重なり始めます。上部臨界磁場 \(H_{c2}\) では、渦糸コアが完全に重なり、超伝導性が破壊されます。

Hc2 の導出

渦糸密度 \(n_v\) は磁束密度に比例します：

渦糸間の平均距離 \(d\) は：

渦糸コアが接触する条件（\(d \sim 2\xi\)）から：

温度依存性

GL理論により、臨界温度近傍での温度依存性は：

ここで \(t = T/T_c\) です。より精密には、Werthamer-Helfand-Hohenberg (WHH) 理論が使われます。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Physical constants
Phi_0 = 2.067e-15  # Wb
mu_0 = 4*np.pi*1e-7  # H/m

# Material parameters (NbTi example)
xi_0 = 4e-9    # Coherence length at T=0 (m)
lambda_0 = 200e-9  # Penetration depth at T=0 (m)
Tc = 9.5       # Critical temperature (K)
kappa = lambda_0 / xi_0

# Calculate Hc1 and Hc2 at T=0
Hc1_0 = (Phi_0 / (4 * np.pi * mu_0 * lambda_0**2)) * np.log(kappa)
Hc2_0 = Phi_0 / (2 * np.pi * mu_0 * xi_0**2)

print(f"NbTi の臨界磁場 (T=0 K):")
print(f"  Hc1(0) = {Hc1_0*1e3:.1f} mT = {Hc1_0:.3f} T")
print(f"  Hc2(0) = {Hc2_0:.2f} T")
print(f"  比率 Hc2/Hc1 = {Hc2_0/Hc1_0:.1f}")

# Temperature dependence
T = np.linspace(0, Tc, 100)
t = T / Tc

# GL-like temperature dependence
xi_T = xi_0 / np.sqrt(1 - t**2 + 1e-10)
lambda_T = lambda_0 / np.sqrt(1 - t**2 + 1e-10)

Hc1_T = (Phi_0 / (4 * np.pi * mu_0 * lambda_T**2)) * np.log(lambda_T/xi_T)
Hc2_T = Phi_0 / (2 * np.pi * mu_0 * xi_T**2)

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# Temperature dependence plot
ax1.plot(T, Hc2_T, 'r-', linewidth=2, label='Hc2(T)')
ax1.plot(T, Hc1_T*1e3, 'b-', linewidth=2, label='Hc1(T) × 10³')
ax1.fill_between(T, 0, Hc1_T*1e3, alpha=0.2, color='cyan', label='マイスナー状態')
ax1.fill_between(T, Hc1_T*1e3, Hc2_T, alpha=0.2, color='yellow', label='混合状態')
ax1.set_xlabel('温度 T (K)', fontsize=12)
ax1.set_ylabel('臨界磁場 (T)', fontsize=12)
ax1.set_title('NbTi の臨界磁場の温度依存性', fontsize=14)
ax1.legend(fontsize=11)
ax1.grid(True, alpha=0.3)

# Phase diagram
H = np.linspace(0, Hc2_0*1.1, 200)
T_mesh, H_mesh = np.meshgrid(T, H)

# Create phase boundaries
phase = np.zeros_like(T_mesh)
for i, h in enumerate(H):
    for j, temp in enumerate(T):
        t_val = temp / Tc
        if t_val >= 1:
            phase[i, j] = 3  # Normal
        else:
            xi_val = xi_0 / np.sqrt(1 - t_val**2 + 1e-10)
            lambda_val = lambda_0 / np.sqrt(1 - t_val**2 + 1e-10)
            hc1_val = (Phi_0 / (4*np.pi*mu_0*lambda_val**2)) * np.log(lambda_val/xi_val)
            hc2_val = Phi_0 / (2*np.pi*mu_0*xi_val**2)

            if h < hc1_val:
                phase[i, j] = 1  # Meissner
            elif h < hc2_val:
                phase[i, j] = 2  # Mixed
            else:
                phase[i, j] = 3  # Normal

ax2.contourf(T_mesh, H_mesh, phase, levels=[0.5, 1.5, 2.5, 3.5],
             colors=['cyan', 'yellow', 'lightgray'], alpha=0.6)
ax2.plot(T, Hc1_T, 'b-', linewidth=2, label='Hc1(T)')
ax2.plot(T, Hc2_T, 'r-', linewidth=2, label='Hc2(T)')
ax2.set_xlabel('温度 T (K)', fontsize=12)
ax2.set_ylabel('磁場 H (T)', fontsize=12)
ax2.set_title('H-T 相図（第II種超伝導体）', fontsize=14)
ax2.legend(fontsize=11, loc='upper right')
ax2.grid(True, alpha=0.3)
ax2.text(Tc*0.3, Hc1_0*0.3, 'マイスナー\n状態', fontsize=11, ha='center')
ax2.text(Tc*0.5, Hc2_0*0.5, '混合状態\n(渦糸格子)', fontsize=11, ha='center')
ax2.text(Tc*0.8, Hc2_0*0.9, '常伝導\n状態', fontsize=11, ha='center')

plt.tight_layout()
plt.show()

2.5 Abrikosov渦糸格子

渦糸の周期配列

混合状態では、渦糸は自発的に周期的な格子構造を形成します。この現象を1957年に理論的に予測したAlexei Abrikosovは、2003年にノーベル物理学賞を受賞しました。

格子形成のエネルギー的理由

渦糸間には斥力が働きます。これは以下の理由によります：

• 各渦糸周りの超電流が隣接渦糸の磁場と相互作用
• 渦糸コアの重なりによる凝縮エネルギーの損失

渦糸間の相互作用エネルギー（単位長さあたり）は、距離 \(r\) に対して次のように振る舞います：

この斥力により、渦糸は可能な限り離れた配置を取ろうとします。

三角格子（Triangular Lattice）

Abrikosovの解析により、最も安定な配置は三角格子（六方格子）であることが示されました：

格子定数の導出

三角格子の単位セルの面積は \(A_{\text{cell}} = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2\) です。各単位セルに1つの渦糸（磁束 \(\Phi_0\)）が含まれるため：

これより：

実験的観測

Abrikosov格子は、以下の実験技術で直接観測されています：

• 中性子小角散乱：格子のブラッグ反射を検出
• 磁気力顕微鏡（MFM）：表面の磁場分布を可視化
• 走査型SQUID顕微鏡：個々の渦糸の磁束を測定
• ビター装飾法：磁性微粒子が渦糸位置に堆積

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Create triangular (hexagonal) Abrikosov vortex lattice
def create_triangular_lattice(B_field, size=10):
    """
    Create triangular vortex lattice for given magnetic field.

    Parameters:
    B_field: Applied magnetic field (T)
    size: Lattice size (number of unit cells)
    """
    Phi_0 = 2.067e-15  # Wb

    # Lattice constant
    a = np.sqrt(2 * Phi_0 / (np.sqrt(3) * B_field))

    # Generate triangular lattice points
    vortex_positions = []
    for i in range(-size, size+1):
        for j in range(-size, size+1):
            x = a * (i + 0.5 * j)
            y = a * (np.sqrt(3)/2) * j
            vortex_positions.append([x, y])

    return np.array(vortex_positions), a

# Magnetic field values
B_low = 0.1   # T (low field - large spacing)
B_high = 0.5  # T (high field - small spacing)

vortices_low, a_low = create_triangular_lattice(B_low, size=5)
vortices_high, a_high = create_triangular_lattice(B_high, size=5)

print(f"低磁場 B = {B_low} T:")
print(f"  格子定数 a = {a_low*1e9:.1f} nm")
print(f"  渦糸密度 = {B_low/(2.067e-15)*1e-18:.2e} m⁻²")

print(f"\n高磁場 B = {B_high} T:")
print(f"  格子定数 a = {a_high*1e9:.1f} nm")
print(f"  渦糸密度 = {B_high/(2.067e-15)*1e-18:.2e} m⁻²")

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 6))

# Low field
axes[0].scatter(vortices_low[:, 0]*1e9, vortices_low[:, 1]*1e9,
                s=100, c='red', marker='o', edgecolors='black', linewidths=1.5)
# Draw lines to nearest neighbors for one vortex
center_idx = len(vortices_low)//2
center = vortices_low[center_idx]
distances = np.linalg.norm(vortices_low - center, axis=1)
nearest_indices = np.argsort(distances)[1:7]  # 6 nearest neighbors
for idx in nearest_indices:
    axes[0].plot([center[0]*1e9, vortices_low[idx, 0]*1e9],
                 [center[1]*1e9, vortices_low[idx, 1]*1e9],
                 'b--', alpha=0.4, linewidth=1)

axes[0].set_xlabel('x (nm)', fontsize=12)
axes[0].set_ylabel('y (nm)', fontsize=12)
axes[0].set_title(f'低磁場 (B = {B_low} T)\n格子定数 a = {a_low*1e9:.1f} nm', fontsize=14)
axes[0].set_aspect('equal')
axes[0].grid(True, alpha=0.3)
axes[0].set_xlim(-a_low*6*1e9, a_low*6*1e9)
axes[0].set_ylim(-a_low*6*1e9, a_low*6*1e9)

# High field
axes[1].scatter(vortices_high[:, 0]*1e9, vortices_high[:, 1]*1e9,
                s=100, c='red', marker='o', edgecolors='black', linewidths=1.5)
center_idx = len(vortices_high)//2
center = vortices_high[center_idx]
distances = np.linalg.norm(vortices_high - center, axis=1)
nearest_indices = np.argsort(distances)[1:7]
for idx in nearest_indices:
    axes[1].plot([center[0]*1e9, vortices_high[idx, 0]*1e9],
                 [center[1]*1e9, vortices_high[idx, 1]*1e9],
                 'b--', alpha=0.4, linewidth=1)

axes[1].set_xlabel('x (nm)', fontsize=12)
axes[1].set_ylabel('y (nm)', fontsize=12)
axes[1].set_title(f'高磁場 (B = {B_high} T)\n格子定数 a = {a_high*1e9:.1f} nm', fontsize=14)
axes[1].set_aspect('equal')
axes[1].grid(True, alpha=0.3)
axes[1].set_xlim(-a_low*6*1e9, a_low*6*1e9)
axes[1].set_ylim(-a_low*6*1e9, a_low*6*1e9)

plt.tight_layout()
plt.show()

2.6 混合状態の熱力学

Gibbs自由エネルギー

混合状態における超伝導体のGibbs自由エネルギー密度は：

ここで \(M\) は磁化です。第II種超伝導体では、\(H_{c1} < H < H_{c2}\) の範囲で磁化が非線形に変化します。

磁化曲線 M(H)

混合状態における磁化は次のような振る舞いを示します：

• \(H < H_{c1}\)：\(M = -H\)（完全反磁性）
• \(H_{c1} < H < H_{c2}\)：\(M\) が徐々に減少（磁束侵入）
• \(H > H_{c2}\)：\(M = 0\)（常伝導状態）

渦糸密度と磁化の関係

磁束密度 \(B\) と外部磁場 \(H\) の関係は：

混合状態では \(B = n_v \Phi_0\)（渦糸密度 \(n_v\)）なので、磁化は渦糸密度から計算できます。

2.7 渦糸ピン止めと臨界電流

ピン止め中心（Pinning Centers）

実用的な超伝導線材では、渦糸が動かないように「ピン止め」することが重要です。ピン止め中心となるのは：

• 結晶欠陥：転位、粒界
• 析出物：非超伝導相の微粒子
• 組成変調：局所的な \(T_c\) の変化
• 表面粗さ：薄膜の場合

ピン止め力

単一ピン止め中心による力は、渦糸コアとピン止め中心の相互作用エネルギーから：

ここで \(\Delta \kappa/\kappa\) はピン止め中心における GLパラメータの変化です。

臨界電流密度 Jc

渦糸が動き始める条件は、Lorentz力がピン止め力を超えることです：

これより：

磁束フロー（Flux Flow）

\(J > J_c\) では、渦糸が移動し始めます。移動する渦糸はエネルギーを散逸させ、有限の抵抗が現れます：

ここで \(\eta\) は渦糸の粘性係数です。この現象を磁束フロー抵抗と呼びます。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Magnetization curve for Type-II superconductor
def magnetization_curve(H, Hc1, Hc2, reversible=True):
    """
    Calculate magnetization curve M(H).

    Parameters:
    H: Applied field array
    Hc1, Hc2: Critical fields
    reversible: If True, equilibrium (reversible) magnetization
                If False, includes pinning effects (irreversible)
    """
    M = np.zeros_like(H)

    for i, h in enumerate(H):
        if h < Hc1:
            M[i] = -h  # Perfect diamagnetism
        elif h < Hc2:
            if reversible:
                # Reversible magnetization (linear approximation)
                M[i] = -Hc1 * (1 - (h - Hc1)/(Hc2 - Hc1))
            else:
                # Irreversible (with pinning) - Bean model approximation
                M[i] = -Hc1 * (1 - (h - Hc1)/(Hc2 - Hc1))**2
        else:
            M[i] = 0  # Normal state

    return M

# Parameters (NbTi)
Hc1 = 0.03  # T
Hc2 = 15.0  # T
H = np.linspace(0, 20, 500)

M_rev = magnetization_curve(H, Hc1, Hc2, reversible=True)
M_irr = magnetization_curve(H, Hc1, Hc2, reversible=False)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# Magnetization curves
axes[0].plot(H, M_rev, 'b-', linewidth=2, label='可逆的（ピン止めなし）')
axes[0].plot(H, M_irr, 'r-', linewidth=2, label='不可逆的（ピン止めあり）')
axes[0].axvline(x=Hc1, color='orange', linestyle='--', alpha=0.7, label=f'Hc1 = {Hc1} T')
axes[0].axvline(x=Hc2, color='purple', linestyle='--', alpha=0.7, label=f'Hc2 = {Hc2} T')
axes[0].fill_between(H, M_rev, M_irr, alpha=0.3, color='green',
                      label='ピン止めによる差')
axes[0].set_xlabel('印加磁場 H (T)', fontsize=12)
axes[0].set_ylabel('磁化 M (T)', fontsize=12)
axes[0].set_title('第II種超伝導体の磁化曲線', fontsize=14)
axes[0].legend(fontsize=10)
axes[0].grid(True, alpha=0.3)
axes[0].set_xlim([0, 20])

# Critical current density vs. magnetic field
# Simplified model: Jc ~ 1/B in flux-flow regime
B_applied = np.linspace(Hc1, Hc2, 100)
Jc_0 = 1e9  # A/m² at low field (reference)

# Power-law decrease with pinning
alpha = 0.5  # Pinning strength parameter
Jc = Jc_0 * (1 - (B_applied - Hc1)/(Hc2 - Hc1))**alpha

axes[1].plot(B_applied, Jc/1e9, 'b-', linewidth=2)
axes[1].set_xlabel('磁束密度 B (T)', fontsize=12)
axes[1].set_ylabel('臨界電流密度 Jc (GA/m²)', fontsize=12)
axes[1].set_title('臨界電流密度の磁場依存性', fontsize=14)
axes[1].grid(True, alpha=0.3)
axes[1].set_yscale('log')
axes[1].axvline(x=Hc1, color='orange', linestyle='--', alpha=0.5)
axes[1].axvline(x=Hc2, color='purple', linestyle='--', alpha=0.5)
axes[1].fill_between(B_applied, 0, Jc/1e9, alpha=0.2, color='cyan')

plt.tight_layout()
plt.show()

まとめ

演習問題